第三章_几何光学的基本原理

1、第,3,章,几何光学的基本原理,引,言,光的干涉、衍射现象，说明光是一种电磁波；光的传播过程就是,无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性,波长、振幅和,位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发,精确地,描述了光现象,事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时空周期性,而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本相符的结论（如光的,在所研究的对象中，若其几何的尺寸远,反射、折射成像等,远大于所用光波的波长（如对一定大小,的透镜或面镜，研究由它们成像的物距,这种撇开光的波动本性，而仅以光的直线传播为基础，研究光,和像距等），则由几何光学可以获得与,在透明介质中有传播规律的学科称为,几何

2、光学，也称为光线光学,实际基本相符的结果；反之，当其几何,尺寸可以跟波长相比拟，此时需撇开光,的直线传播的概念，而采用以光的波动,由于光的直线传播性对于光的实际行为只具有近似的意义，仅是,性质为基础的波动光学来研究,即：几,波动的近似，所以，将它作为基础的几何光学，只能用于,有限的范,何光学所研究的是波动光学在障碍物尺,寸远大于,波长时的极限情况,围,和给出,近似的结论。,第,3,章,几何光学的基本原理,主要内容,以光的直线传播为基础,用光线、波面的概念和几何方法来近似描述光的传播行为,利用费马原理和新笛卡尔符号法则，研究光在平面、球面介,面上的成像规律,教学目的,1,牢固掌握,新笛卡尔符号法

3、则、高斯公式、牛顿公式,2,掌握,光具组基点基面,的物理意义和作用,3,能正确运用,物象公式和作图求象法求解成象问题,4,理解,虚物、实象、虚象,概念及其性质,第,3,章,几何光学的基本原理,3.1,基本概念及基本实验定律,一、光线与波面,1,光线,形象表示光的传播方向的几何线,说明,同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型,它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分,仅,代表光的传播方向,任何想从实际装置（如无限小的孔,中得到“光线”的想法均是徒劳的,光束：无数光线构成,光束,光沿光线方向传播时，位相不断改变,2,波面,光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面,说明,波面即等相

4、面，也是一种抽象的数学模型,波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球面的,称为球面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称为柱面光波,如缝光源所发光波,3,光线与波面的关系,在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即,光线与波,面总是垂直的,平面波,球面波,柱面波,二、几何光学的基本实验定律,1,直线传播定律,在均匀介质中，光总是沿直,线传播的。（小孔成像，物体的影子）即：在均,匀介质中，光线为一直线,i,1,i,1,2,介质表面时的反射定律和折射定理,i,2,n,1,n,2,反射定律,反射线在入射线和法线决定的平面内,反射线、入射线分居法线两侧,i,1,i,1,1,折射定律,i,i

5、,1,i,2,n,1,n,2,折射线在入射线和法线决定的平面内；（三者一面,折射线、入射线分居法线两侧,n,2,sin,i,2,n,1,sin,i,1,n,c,v,由此，我们借助光线,的概念，应用某些基,自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生,本的实验定律及几何,影响,即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响,规律，来研究光的直,线传播和成像问题,3,独立传播定律,4,光路可逆原理,在几何光学中，任何光路都是可逆的,3.2,费马原理,光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的,费马借助光程的概念，回答了该问题,一、费马原理,1657,年提出

6、,1,表述,光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。即：光,沿光程为最小值、最大值或恒定值的路程传播,B,ds,A,2,表达式,B,A,n,ds,极值,n,3,说明,或,n,ds,0,A,B,意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传,播规律,用途,A,可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理,的正确性,B,推求理想成象公式,极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取,极小值。费马本人最初提出的也是最短光程,二、费马原理的证明,1,直线传播定律：,在均匀介质中,在均匀介质中,n,const,n,ds,n,ds,而由公理,两点间直

7、线距离最短,A,A,B,B,B,2,折射定律：,在非均匀介质中,如图示：点发出的光线入射到两种介,质的平面分界面上，折射后到达点,折射线在入射线和法线决定的平面内,只需证明折射点,C,点在交线,OO,上即可,利用反证法,设有另一折射点,C,位于,OO,线外,则,必可在,OO,上找到其垂足,C,A,ds,的极小值为直线,AB,故,光在均匀介质中沿直线,传播,得证,Y,M,A,i,1,O,n,1,n,2,B,C,A,C,C,i,2,B,P,O,有,AC,AC,C,B,C,B,rt,中斜边最长,光程,AC,B,AC,B,而非要极小值,这与费马原理不符,因而假设错误,即,折射点应在交线,OO,上,X,

8、Z,故,折射线在入射线和法线,所决定的平面内,折射线、入射线分居法线两侧,A,B,C,点坐标如图示。沿此方向入射，必有,x,x,1,光程,ABC,n,1,AC,n,2,CB,n,1,x,x,1,2,y,2,1,n,2,x,2,x,2,y,2,2,由费马原理有,d,n,1,x,x,1,n,2,x,2,x,dx,x,x,2,y,2,1,1,x,2,2,0,2,x,y,2,x,x,1,0,必有,x,2,x,0,x,2,x,故,x,1,x,x,2,即,折射线,入射线分居法线两侧,Y,A,x,1,y,1,M,i,O,1,x,0,B,P,n,A,C,1,i,O,2,X,Z,n,2,B,x,2,y,2,n,

9、2,sin,i,2,n,1,sin,i,1,光程,ABC,n,1,AC,n,2,CB,n,1,d,dx,x,x,1,2,y,n,2,2,1,x,2,x,2,y,2,2,由费马原理有,n,1,x,x,1,x,x,1,2,y,1,2,n,2,x,2,x,2,x,2,x,2,y,2,n,1,A,C,n,2,CB,n,1,sin,i,1,n,2,sin,i,2,0,AC,CB,Y,n,2,sin,i,2,n,2,sin,i,1,由于反射、折射定律是实,验定律，是公认的正确的,结论，所以，费马原理是,正确的,Z,同理：也可证,明反射定律,A,x,1,y,1,O,n,1,n,2,i,1,A,M,C,x,0

10、,B,i,2,P,O,X,B,x,2,y,2,3.3,单心光束,实像和虚像,光线在各种情况下的行进方向,成像问题是几何光学研究的主要问题之,一,光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的,为学习研究成像规律,首先介绍几个基本概念,一、单心光束、实像、虚像,1,发光点,只有几何位置而没有大小的发射光束的光源,它也和光线一样，是一个抽象概念，一个理想模型,有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点,若光线实际发自于某点，则称该点为,实发光点,若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为,虚发光点,2,单心光束：有一定关系的一些光线的集合，称为光束,只有一,个交点的光束，亦称同心光束,该唯一的交点称为光

11、束的顶点。反之称为,像散光束,按照波动光学的观点，波面的法线即为光线，所以在各,发散单心光束,会聚单心光束,向同性的均匀光学介质中，单心光束与球面波相应；发,光点在无限远的单心光束与平面波相应,3,像、物,当顶点为光束的发出点时，该顶点称为,光源、物点,实物点,发散的入射单心光束的顶点,P,虚物点,会聚的入射单心光束的顶点,P,当单心光束经折射或反射后，仍能找,到一个顶点，称光束保持了其单心性,即光束的单心性没有被破话，该顶点便,是发光点的像，称为,象点,P,P,实,像,对能保持单心性的光束，一个物点能且只能,形成一个像点，即物与像形成一一对应关系,P,实象点,会聚的出射单心光束的顶点,P,虚

12、物点,发散的出射单心光束的顶点,P,P,实象,有实际光线会聚的象点,虚象,无实际光线会聚的象点,光束反向延长线的交点,虚,像,二、实物、实像、虚像的联系与区别,1,成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身,光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不,是看到了光束本身,宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作为散,射源,2,人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置,单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过,实发,光点,实像,虚像,对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是,发散光束的,顶点,二者之间,没有区别,实物、实像、虚像的区别,A,P,与

13、,P,P,P,各处可见,而由于透镜大小的限制,P,和,P,仅,在光束范围内可见,P,B,P,与,P,置一白纸于,P,P,处，由于有实际,光线通过,P,是亮点；由于无实际,光线通过,P,处看不到光点,P,P,物空间,光,学,系,统,像空间,光,学,系,统,实物成实象,实物成虚象,光,学,系,统,虚物成实象,a,实物成实像,b,实物成虚像,c,虚物成实像,d,虚物成虚像,3.4,光在平面介面上的反射和折射,光学纤维,保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求,保持光束的单心性,是保持形状相似从而实现理想成像的保证,所以,研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题,一般情况下，光在介面

14、上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足,适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反,射、折射时，光束单心性的保持情况,一、光在平面上的反射,如图示：点光源,P,发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束,其反向延长线交于一点,P,且与,P,点对称,P,M,P,C,D,M,A,B,显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性,是一个理想成像过程,P,是,P,的虚像,平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善,的光学系统。并且也是唯一的一个,二、光在平面分界面上的折射,1,光束单心性的破坏,介质,n,1,中的发光点,P,发,出单心光束经两面界面,

15、XOZ,折射后进入介质,n,2,现取其中一微元光束（如,图示），在,XOY,平面内,其折射光束的反向延长线,交于,P,点，并与,OY,轴交于,P,1,P,2,两点,z,O,x,1,0,i,A,1,B,1,2,i,2,i,2,A,2,B,2,n,2,n,1,x,0,y,2,P,0,y,1,P,x,y,2,1,P,i,1,x,2,0,i,1,i,1,P,y,0,y,各点坐标如图示：经计算（见附录,3,1,可得,折射定律和三角关系可得,n,2,y,1,n,1,2,2,n,2,1,y,1,n,2,x,1,2,n,2,y,2,n,1,2,2,n,2,1,y,1,n,2,x,2,2,3,2,2,3,n,1

16、,x,y,n,2,1,tg,i,1,2,2,2,n,2,n,1,y,y,1,1,tg,i,1,2,n,1,n,2,由任意两条光线,光源,P,发出的狭窄的空间光束,为此将该图绕,y,轴转过一个小的角度,则顶点为,P,的三角形,PA1A2,展成一个,单心的发散光束。将,PA,1,PA,2,沿,OY,轴,旋转一微小角度成一立体微元，则,P,P,1,P,2,三点不动，而交点,P,将画出一小,O,圆弧（近似视为垂直于,XOY,平面的一,小段直线,z,i,2,A,1,B,1,i,2,i,2,A,2,B,2,n,2,n,1,x,所以，光束内任一条光线与,Y,轴,的交点均处在直线,P,1,P,2,弧矢焦,线,

17、内，但不相交；交点,P,也处,在直线,P,P,子午焦线,上，也,不相交。即：发光点经折射后,成象为两条相互垂直的焦线而不,是象点，称为,象散,P,2,P,1,P,i,1,i,1,i,1,P,y,折射后，光束的单心性已被破坏,2,象似深度,n,2,当,i,1,0,即光束垂直入射到分界,时,x,0,y,y,1,y,2,y,n,1,P,P,2,和,P,三点重合在一点,光束保持其单心性,1,n,2,象似深度,y,y,n,n,2,n,1,y,y,例：水深度为,60cm,处有一,个青蛙，在水面上方看到的,青蛙上升了多少,cm,像方折射率,n,2,解,y,y,n,1,像距,物距,空气,n,2,1,水,n,1

18、,1.5,上升的高度为,H=(1-n,2,n,1,*,水,深度,像距,y=40cm,物距,y=60cm,y,特殊情况,三、全反射,光学纤维,1,全反射,n,1,由折射定律有,sin,i,2,sin,i,1,当,n,1,n,2,时,n,2,折射角随入射角的增大,而增大且有,i,2,i,1,当,i,1,i,c,时,可使,i,2,90,0,当,i,1,i,c,时,光线将全部反射不再有,折射线,O,A,1,i,1,i,2,A,2,A,3,n,2,x,n,1,i,c,P,只有反射而无折射的现象称为全折射,全折射条件,n,1,n,2,1,y,i,1,i,c,临界角,n,2,0,1,n,2,其中,i,c,s

19、in,n,sin,90,sin,n,1,1,n,2,sin,i,c,n,1,n,1,1,52,n,2,1,1,0,i,c,arcsin,41,1,1,52,玻璃到,空气的,临界角,倏逝波原理,光束在全反射时折射波的性质,在入射平面,xoz,内，透射的折射波,i,k,i,k,2,x,cos,i,2,k,2,z,sin,i,2,t,2,r,t,E,2,A,20,e,A,20,e,2,n,2,2,1,由折射定律,cos,i,2,1,sin,i,2,1,sin,i,1,n,2,1,2,n,1,2,2,全反射时,cos,i,2,sin,i,c,sin,i,1,n,2,1,2,n,2,2,1,如果,i,1

20、,i,c,cos,i,2,i,sin,i,1,sin,i,c,n,2,1,2,1,n,n,2,2,所以,E,2,A,20,exp,k,2,x,1,sin,i,1,sin,i,c,2,i,k,2,z,1,sin,i,1,t,n,2,n,2,n,1,0,2,2,令,d,p,k,2,sin,i,1,sin,i,c,2,2,2,n,2,n,1,sin,i,1,n,2,2,x,n,2,i,k,2,z,1,sin,i,1,t,d,p,n,2,得,2,20,1,2,1,E,A,e,e,代表一个沿,z,方向传播但振幅在,x,方向按指数衰减的波,这种波称为,倏逝波如,P122,图,3.2,倏逝波光强与界面入射深

21、度,d,p,的关系,d,p,x,全反射的应用,利用全反射规律而是光线沿着弯曲路程传播的光学元件,2,光学纤维,直径约为几微米至几十微米,的单根或多根玻璃,或透明塑,料,纤维,低损耗透明介质,单根构造：内层,原理,外层,n,1,1,8,n,2,1,4,n,0,n,2,i,2,i,c,的光线折射出光纤,i,2,i,c,的光线在两层介质间多,次全反射从一端传到另,一端,n,1,在顶角为,2i,的园锥体内的光线,均能在光纤内顺利传播,i,i,i,2,i,c,由折射定律有,n,0,sin,i,n,1,sin,i,2,n,0,sin,i,n,1,sin,90,0,i,c,n,1,1,sin,2,i,c,n

22、,1,2,n,2,n,2,sin,i,c,n,1,2,n,0,sin,i,n,1,2,n,2,光线在光纤内发生全反射,时，入射角满足的条件,四、棱镜,棱镜是一种由,多个平面界面,组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产,生,两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折,最常用的棱镜,是,三棱镜,如图示,三棱镜两折射面的夹角称三棱镜,顶角,A,出射光与入射光之间的夹角称棱镜的,偏向角,1,偏向角、最小偏向角,偏向角,i,1,i,2,i,i,1,2,B,A,i,2,i,2,A,i,1,i,1,A,n,1,如果保持入射线的方向不变，而将棱,镜绕垂直于图面的轴线旋转，则偏向,角将跟着改变,也就是说，当折

23、射棱,镜角给定时，偏向角随着入射角的改,变而改变,n,2,D,i,1,i,2,i,2,E,C,i,1,A,可以证明,当光路对称,即,i,1,i,1,时,达最小值,0,最小偏向角,0,2,i,1,A,n,2,n,1,0,A,A,此时,入射角,i,1,折射角,i,2,i,2,2,2,若此时三棱镜处于空气,中,即,n,1,1,则由折射定律有,sin,i,1,sin,n,2,sin,i,2,i,1,B,i,2,D,i,2,C,i,1,E,0,A,2,A,sin,2,说明,只要测出最小偏向角，就可以确定棱柱型透明物体的折射率,之所以利用最小偏向角而不用任意偏向角，是因为它在实验中最容,易精确地被测定,2

24、,掠入射法,i,2,a,i,1,1,n,sin,i,1,sin,n,sin,i,2,sin,cos,a,2,n,1,sin,a,1,2,A,i,1,n,i,i,2,1,B,若光线自光疏介质进入光密介质，入射角大于折射角当光线,以,90,角入射,掠,射,时仍有光线进入光密介质，此时的折射角亦为临界角,除掠入射光线,1,外,其它光线如光线,2,在,AB,面上的入射角均小于,90,因此经三棱镜折射，最后从,C,AC,面折射进入空气时，都在光线的左侧由于入射角,i,不可能比,90,大，因而在,三棱镜内不可能出现比临界角大的光线，即,AC,面上出射的光线中，没有比,角,小的折射光线，故称,为极限角当用望

25、远镜对准,AC,面观察时,视场中将看到,明暗两部分，其分界线就是,i,90,的掠入射引起的极限角方向,2,应用,棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射,45,0,45,0,率的不同，出射光将展开,成彩带即光谱,所以，三棱镜也是一种分光装置,全反射棱镜,改变光路如,右图示,热光源,线光源,dn,棱镜的色分辨本领,P,d,第四章,海市蜃楼,分,析,2003,年,12,月,21,日下午,18,时许，乌鲁木齐市东南方向地平线处,的空中，隐约,飘浮,着几幢建筑物，大约,25,分钟后又消失在,人们的视线中,例,解：根据几何学外角公式，由图可知,而,故,试证双镜两次反射定理：光线被交角等于,的两镜面反射时，反射

26、光线和入射光线的交,角等于两个镜面交角,的两倍,两镜面间的成,像个数,0,2,i,N,max,360,1,i,2,1,2,i,1,2,i,2,i,i,1,1,i,2,2,经常要用,i,2,3.5,光在球面介面上的反射和折射,研究光在球面的反射和折射，是研究一般光学系统成像的基础,一、球面的几个概念,1,基本概念,符号法则,C,r,O,主轴,球面顶点,O,球面曲率中心,C,球面曲率半径,r,球面主轴：连接,O,C,而得的直线,主截面：通过主轴的平面,新笛卡尔法则,2,符号法则,为使计算结果普遍适用，对,线段和角度正负取法,的规定,沿轴线段,线段长度均从,顶点,算起,A,凡光线与主轴交点在顶点,右

27、方,者线段长度数值,为正,凡光线与主轴交点在顶点,左方,者线段长度数值,为负,B,物点或像点至主轴的距离在主轴,上方为正,下方为负,光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于,90,0,的角度；由主轴,垂轴线段,或法线）转向有关光线时,A,顺时针转动，角度为正,B,逆时针转动，角度为负,注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关,A,图中出现的长度和角度只用正值,例：球面反射成像各量的正负,无论光线从左至右还是从右至,左，无论是球面反射还是折射,以上符号法则均适用,以下的讨论假设光线从左至右进行,Q,y,P,u,l,C,r,i,l,i,u,P,s,O,s,对,l,l,不适用,二、球面,反射,对单

28、心性的破坏,从主轴上,P,点发出单心光束，其中一条光线在球面上,A,点反射，反射光与,主轴交于,P,点。即,P,为,P,的像,按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示,s,物距,s,象距,在,PAC,和,ACP,中,由余弦定理有,l,l,r,2,r,s,2,2,r,r,s,cos,r,2,s,r,2,2,r,s,r,cos,光程,PAP,nl,nl,n,r,2,r,s,2,r,r,s,cos,2,2,A,n,r,s,r,2,2,r,s,r,cos,对给定的物点，不同的入射点,对应着不同的入射线和反射线,P,u,l,C,对应着不同的,d,PAP,由费马原理可知,当,0,时,d,PAP,取得极值

29、,此处是恒定值,i,i,l,u,P,s,O,r,s,由,d,PAP,d,n,n,2,r,r,s,sin,2,r,s,r,sin,0,l,l,r,s,s,r,1,1,1,s,s,化简有,0,即,l,l,l,l,r,l,l,对一定的球面和发光点,P,S,一定），不同的入射点对应有不同的,S,即,同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点,由,P,点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏,三,近轴光线条件,下球面反射的物像公式,1,近轴光线条件,当,很小时,cos,1,l,l,r,2,r,2,r,s,2,r,r,s,2,r,r,s,2,s,s,r,2,r,s,r,2,r,s,r,2,s,

30、1,1,1,s,s,由,l,l,r,l,l,得,1,1,2,s,s,r,即：对一定的反射球面,r,一定,和一一对应，而与入射点无关,由,P,点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点,P,光束的单心,性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应,光学上称,很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线,在近轴光线条件下：像点称为,高斯,像点；研究物像关系的内容为高斯光学,2,物像公式,A,r,当,s,有,s,2,焦点,沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于,主轴上一点，该点称为反射球面的焦点,F,焦距,焦点到球面顶点的距离,1,1,1,s,s,f,C,s,F,r,f,P,s,O,r

31、,它同样遵守符号法则,f,2,球面反射物像公式,说明,1,它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立,2,式中各量必须严格遵从符号法则,3,对凸球面反射同样适用,4,当光线从右至左时同样适用,例题,3-1,P,129,例,3-3,一个点状物放在凹面镜前,0.05m,处，凹面镜的,曲率半径为,0.20m,试确定像的位置和性质,解,设光线从左至右,已知,s,0,05,m,r,0,20,m,C,P,1,1,2,由球面反射成像公式,s,s,r,rs,0,2,0,05,得,s,0,1,m,2,s,r,2,0,05,0,2,r,s,O,P,s,最后像是处于镜后,0.1,米处的,虚像,当光线从右至左时,

32、可得到相同结论。说明符号法则均适用,四、球面,折射,对光束单心性的破坏,A,i,从主轴上,P,点发出,1,n,n,单心光束，其中一,l,l,i,2,条光线在球面上,A,u,u,点折射，折射光与,O,C,r,P,主轴交于,P,点。即,P,为,P,的像,设,nn,P,s,r,r,s,2,r,r,s,cos,2,2,s,在,PAC,和,ACP,中,由余弦定理有,l,l,r,s,r,2,2,2,r,s,r,cos,2,光程,PAP,nl,n,l,n,r,r,s,2,r,r,s,cos,2,n,r,s,r,2,2,2,r,s,r,cos,对给定的物点，不同的,入射点，对应着不同的,入射线和折射线，对应,

33、着不同的,n,P,l,i,1,O,A,i,2,r,l,n,P,u,s,u,C,s,由费马原理可知,当,d,PAP,d,PAP,取得极值,此处是极小值,d,PAP,d,0,时,由,n,n,2,r,r,s,sin,2,r,s,r,sin,0,l,l,n,r,s,n,s,r,n,n,1,n,s,ns,化简有,0,即,l,l,l,l,r,l,l,对一定的球面和发光点,P,S,一定），不同的入射点对应有不同的,S,即,同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点,由,P,点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏,五,近轴光线下,球面,折射,的物像公式,1,物像公式,当,很小时,cos,1,l,

34、l,r,r,s,2,r,r,s,2,2,r,r,s,2,s,2,r,s,r,2,r,s,r,2,2,r,s,r,s,n,n,1,n,s,ns,由,l,l,r,l,l,2,讨论,n,n,n,n,得,s,s,r,当介质和球面一定时,n,n,r,一定,S,与,S,一一对应，即：在近轴,n,n,当介质和球面一定时,n,n,r,一定,const,r,n,n,光线条件下光束单心性得到保持,计算时,r,取米,为单位,物像公式对凹球面折射同样适用,r,光焦度,表征球面光学性质,单位,屈光度,D,物像共轭,P,为,P,的像点，反之，当物点为,P,时，像点必在,P,点；这种,物像,可易性,称为物像共轭。它是,光路

35、可逆,原理的必然结果,其中,P,P,称为共轭点，光线,PA,AP,称为共轭光线,物空间与像空间,规定：入射线在其中进行的空间,物空间,折射线（或折射线）在其中进行的空间,像空间,物空间,像空间,物空间,像空间,n,P,s,O,物空间,像空间,n,s,P,S,0,实像,n,S,0,虚像,物空间,像空间,P,O,s,P,s,n,P,s,P,s,O,S,0,实像,P,s,s,P,虚像在物空,间,但实际,存在的是像,空间的发散,光束,故像,方折射率仍,为,n,S,0,虚像,焦点、焦距,A,像方焦点,F,像方焦距,f,n,n,n,n,当,s,时,由物像公式,s,s,r,n,得,f,s,r,像方焦距,n,

36、n,n,s,n,O,F,s,f,B,物方焦点,F,物方焦距,f,n,n,n,n,当,s,时,由物像公式,s,s,r,n,得,f,s,r,物方焦距,n,n,f,n,C,f,n,F,n,s,f,O,n,s,n,n,f,f,号表示,f,与,f,永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧,球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例,在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反,在数学处理方法上，可假设,f,n,球面折射,f,n,n,n,n,n,s,s,r,n,n,物理上无意义,球面反射,f,f,1,1,2,s,s,r,六、理想成象的两个普适公式,1,高斯公式,n,n,n,n,将物像公式,变形

37、为,s,s,r,n,n,r,r,f,f,n,n,n,n,1,1,s,s,s,s,高斯公式,对任何理想成像,过程均适用,2,牛顿公式,若将取值原点由,顶点,O,改为物,像方焦点,F,F,则有如下关系,如右图示,s,f,x,s,f,x,n,P,x,n,F,f,O,r,f,C,P,F,s,x,s,f,f,则高斯公式变为,1,化简可得,xx,ff,f,x,f,x,牛顿公式,对任何理,想成像过,程均适用,n,n,n,n,f,f,1,xx,ff,三者等效,在球面折射中,s,s,r,s,s,3,说明,高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同,情况,下，焦距的形式不同而已,如,球面反射,r

38、,高斯公式,1,1,2,f,f,2,s,s,r,P,133,例,3.4,一个折射率为,1.6,的玻璃哑铃，长,20cm,两端的曲率半径为,2cm,若在离哑铃左端,5cm,处的轴上有一物点,试求像的位置和性质,解,两次折射成像问题,1,P,为物对球面,O,1,折射成像,P,1,已知,s,1,5,cm,r,1,2,cm,n,1,n,1,6,n,n,n,n,由折射成像公式,r,1,s,1,s,1,得,s,1,n,P,O,1,P,2,P,1,n,O,2,n,s,1,s,1,n,n,n,n,r,s,1,1,代入数据,16,cm,s,2,s,2,2,P,1,为物对球面,O,2,折射成像,已知,s,2,20

39、,16,4,cm,r,2,2,cm,n,1,6,n,1,同,1,有,s,2,也可用高斯公,式、牛顿公式,求解,n,n,n,n,r,s,2,2,代入数据,10,cm,3.6,光连续在几个球面上的折射,虚物,实际的,光学系统大多由两个或两个以上的球面,所构成。研究多个球面上的,折射成像更具实际意义,一、共轴光具组,由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线,1,定义,上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴,反之，称为非共轴光具组,n,1,P,1,n,2,P,2,n,3,P,1,n,4,n,5,P,4,P,3,2,共轴光具组的特点,光在连续折射时，前一球面的像就是后一球

40、面的物,通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保,证整个系统最后能够成像,光线是近轴的,二、逐个球面成像法,1,定义,依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光,P,1,n,1,具组的像,P,3,P,2,n,2,P,2,n,3,n,4,n,5,P,4,P,1,P,S,1,4,P,3,2,方法特点及注意事项,必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像,前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空,间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示,必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点,为取值原点，不能混淆,计算次一个球

41、面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示,d,12,S,2,s,2,d,12,s,1,其中,d,12,始终取正值,三、虚物,P,1,n,1,P,3,P,2,n,2,P,2,n,3,n,4,n,5,P,4,1,定义,P,1,P,4,P,3,会聚的入射光束的顶点，称为,虚物,如上图中,P,4,发散的入射光束的顶点，称为,实物,如上图中,P,1,P,2,和,P,3,2,说明,实物、虚物的判断依据,A,入射光束,发散,实物,会聚,虚物,B,物所处空间,物空间,实物,像空间,虚物,虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如,P,1,P,2,有,P,3,无,虚物处像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故

42、折射率就取,物方折射率。（与虚像类似。如上图中,P,4,物方折射率为,n,4,虚物仍遵从符号法则。（如上图中,S,4,0,3.7,薄透镜,一、透镜,1,定义,用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个,平面所形成的薄片。通常做成园形,2,分类：按表面形状分,凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜,r,2,c,2,双凸,r,1,o,1,o,2,r,2,c,1,c,2,平凸,o,1,o,2,c,1,c,2,r,2,r,1,o,1,弯凸,r,1,r,1,平凹,o,2,凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜,双凹,r,1,r,2,o,1,o,2,c,2,c,2,c,1,c,1,o,1,o,2,c,1,r,1

43、,r,2,o,1,弯凹,o,2,r,2,3,有关透镜的几个概念,r,2,r,1,主轴,两球面曲率中心的连线,c,c,2,o,1,o,2,c,1,1,c,2,主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个,注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内,光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了,孔径,垂直于主轴方向透镜的直径,厚度,两球面在主轴上的间距,o,1,o,2,当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为,薄透镜,当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为,厚透镜,二、近轴条件下薄透镜的物像公式,1,物像公式,在近轴光线条件,下，对透镜两面,的折射过程分别,应用球面折射成,象公式（

44、逐个球,面成像法,n,1,P,c,2,A,A,n,o,1,n,2,P,o,2,c,1,r,1,P,r,2,s,t,第二个球面面,s,第一个球面,对薄透镜,t,n,n,1,n,n,1,s,s,r,1,0,即,略去,t,s,n,2,n,n,2,n,s,s,t,r,2,s,后，两式相加得,薄透镜物像公式,t,n,2,n,1,n,n,1,n,2,n,s,s,r,1,r,2,2,讨论,对薄透镜,重合为一点,t,0,o,1,和,o,2,称为,光心,它是薄透镜,o,中所有长度量的,取值原点,当,n,1,n,2,时,通过光心,o,点的光线不改变方向,当光线从左至右时,s,0,虚物,s,0,实物,s,0,实像,

45、s,0,虚像,当光线从右至左时，成像公式同样成立,s,0,实物,s,0,虚物,s,0,虚像,s,0,实像,薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关,设,n,1,n,2,n,则,当,n,n,时,凸透镜是会聚镜,凹透镜是发散镜,当,n,n,时,凹透镜是会聚镜,凸透镜是发散镜,空气中的,薄透镜,高斯公式,n,2,n,1,n,n,1,n,2,n,由,物像公式,s,s,r,1,r,2,得,物方焦距,f,lim,s,n,1,s,n,n,1,n,2,n,r,r,2,1,像方焦距,f,lim,s,s,n,2,n,n,1,n,2,n,r,r,2,1,f,f,物像公式变为,1,薄透镜高斯公式,s,

46、s,当透镜两边介质相同时,f,f,牛顿公式,x,x,仍成立,f,f,1,1,1,高斯公式变形为,s,s,f,薄透镜简化模型,F,f,凸透镜,o,f,F,F,f,o,f,F,凹透镜,三、横向放大率,1,定义,Q,在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比,y,y,2,说明,y,s,x,P,F,f,o,2,f,F,s,x,P,y,Q,对处于同种介质中的薄透镜,n,1,n,y,s,s,POQ,相似于,P,OQ,y,s,s,也可表示为,f,x,x,f,像的性质判断,0,正立像,1,放大像,0,倒立像,1,缩小像,四、薄透镜作图求像法,作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作

47、图来确定象的,位置或光的传播方向。在近轴条件下适用,1,主轴外的近轴物点,方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即,为所求像点,Q,Q,F,o,F,F,Q,Q,o,F,物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点,F,且与主轴垂直的平面,像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点,F,且与主轴垂直的平面,付轴,焦平面上任一点与光心,O,的连线。有无穷条,像方焦平面,焦平面的性质,2,主轴上的物点,P,O,F,F,P,O,物方焦平面,F,P,O,O,P,F,利用物方焦平面,B,P,F,A,O,第一条,第二条,付轴,A,P,B,P,P,O,F,利用像方焦平面,A,P,O,A,B,F,P,P,B,P

48、,O,F,3.8,近轴物点近轴光线成像条件,前几节研究了在近轴光线条件下，主轴上的发光物点的反射和折射成像规,律。实际的物体总有一定的大小，它可以看成由无数个发光物点构成。这些发,光物点有的在主轴上，有的在主轴外。因此，研究具有一定大小的物体的成像,就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像,一、费马原理的推论,费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值,两点一定，其极值为一个,确定值,无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光,程都必须且只能等于这个,确定值,Q,要使物体上的任一点,Q,定点,理想成像于,Q,另一定点），即,从,Q,点发出的所有光线经反射或,折射后均会聚于,

49、Q,必须满足,x,h,A,y,P,从,Q,点发出的所有光线到达,Q,时，光程均相等,费马原理的推论,等光程成像原理,适用于所有理想成像过程,y,P,Q,O,二、近轴物近轴光线球面反射成像,1,物像公式,x,A,Q,由近轴物点,Q,发出的光线，一条在,球面顶点,O,处反射，另一条在球面任,P,意位置,A,点处反射，两反射光交于,Q,点,由图可求得从,Q,点到,Q,点的光程为,y,y,P,Q,h,A,O,s,2,s,2,2,QAQ,QA,AQ,h,y,s,x,y,h,h,y,s,x,s,x,2,s,2,s,y,h,s,x,2,2,2,对近轴物点和近轴光线,y,h,s,x,y,h,s,x,用二项式定

50、理将,QAQ,展开,并略去高次项有,QAQ,2,y,2,y,2,y,y,h,1,1,2,s,s,h,2,s,2,s,s,s,2,s,s,r,当反射点,A,的位置不同时,h,值将不同，因而会得到不同的光程值,若要使,Q,点理想成像于,Q,点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值,即其光程与,h,无关。为此令上式中所有含,h,的项的系数为,0,有,1,1,2,0,s,s,r,2,说明,上述式实为,y,y,0,s,s,像公式，由于,Q,点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式,此公式是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用,当轴上物点,P,和近轴物点,Q,具有同一,物距,s,值时，轴上象点,P,

51、和近,轴象点,Q,必有同一象距,s,值，物和象具有几何相似性，即近轴光条,件下近轴物可实现理想成象,上述式反映了物与像的大小关系,系直接得到,1,1,2,即主轴外任一物点经球面反射的成,s,s,r,y,s,可由图中几何关,y,s,三、近轴物近轴光线球面折射成像,1,物像公式,Q,近轴物点,Q,发,出的两条光线,分别在球面的,O,点和,A,点发,生折射，折射,光交于,Q,点,从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像，必须满足近轴条件,A,光线必须是近轴的,B,物点必须是近轴的,n,A,n,h,P,y,y,P,O,s,x,s,Q,同近轴物球面反射的情,形类似，从,Q,Q,的光程为,QAQ,n,QA

52、,n,AQ,n,y,h,s,x,2,2,n,y,h,s,x,2,2,在近轴光线和近轴物点条件下，用二项式定理展开并略去高次项得,QAQ,2,2,2,ny,n,y,ny,n,y,h,n,n,n,n,ns,n,s,h,2,s,s,2,s,s,2,s,s,r,当折射点,A,的位置不同时,h,值将不同，因而会得到不同的光程值,若要使,Q,点理想成像于,Q,点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值,即其光程与,h,无关。为此令上式中所有含,h,的项的系数为,0,有,ny,n,y,0,s,s,n,n,n,n,0,s,s,r,2,说明,上述式实为,n,n,n,n,即主轴外任一物点经球面折射的成,s,s,r,

53、像公式，由于,Q,点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式,所以，它是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用,由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴，则其像为线状也垂直于主,轴，满足理想成像条件,上述式反映了物与像的大小关系,若令,n,n,则此公式变成,球面反射的物像的大小,关系,y,y,s,n,s,n,y,s,y,s,例题,3-3,用一个焦距为,20cm,的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜,位于透镜右边,10cm,处，今置高为,1cm,的物体于透镜左方,10cm,处（系统处,于空气中），,1,求最后成像的大小和性质；,2,作出准确的光路图,解,此题属三次成像问题。如图示,1,物,

54、y,对凸透镜,由高斯公式有,s,f,10,20,1,1,s,1,20,cm,s,1,f,1,10,20,s,1,-10cm f,1,20cm,y,2,y,F,1,O,1,O,2,F,1,y,1,y,3,1,s,1,s,1,(-20)/(-10)=2,y,1,1,y=2,1=2cm,2,y,1,对平面镜,s,2,-10-20= -30cm,s,2,-s,2,30cm,2,1 y,2,2cm,3,y,2,对凸透镜,s,3,30+10=40cm f,3,-20cm,有,s,3,s,3,f,3,40,20,40,cm,s,3,f,3,40,20,3,s,3,s,3,(-40)/40= -1 y,3,3

55、,y,2,(-1,2= -2cm,最后成像在凸透镜左方,40cm,处，为放大、倒立的实像,光路图如下,y,2,O,1,O,2,F,1,y,1,y,3,F,1,y,3.9,理想光具组的基点基面,对由多个球面组成的共轴光具组，在近轴条件下，可采用逐个球面成像法,应用单个球面的成像公式依次求解，得到最后像。事实上，实际共轴光具组由,众多的球面所构成且球面与球面间相对位置关系并不知道，逐个球面成像法用,起来并非简单、有效。能有更简单有效的处理方法吗,由薄透镜成像的计算法和作图法可知：只要知道了其几个基本位置（取值,原点,光心、焦点），就可相当简单地求出像的位置和性质。这为求解多球,面的共轴光具组问题，

56、给予了启示,将复杂共轴光具组简单化，找出其类似于薄透镜光心和焦点的基本位置,用类似于薄透镜求像的方法，在根本不考虑光一其内部实际的传播路径的情,况下，解决复杂共轴光具组求像问题。这是以下几节在解决的问题,为解决这一问题高斯提出了理想光具组的模型，建立了光具组的一般理论,一、理想光具组,1,定义,能保持光束单心性，保持像和物在几何上的相似性的光具组,2,说明,即能理想成像的光具组,在高斯理想光具组中，物方的任一点、线、面，在像方均存在与,其共轭的点、线、面,高斯理想光具组理论就是建立点与点、直线与直线、平面与平面,之间的共轭关系的纯几何理论,理想光具组的近轴成像理论称为高斯光学；几何光学原理称为

57、,高斯光学原理,3,共轴光具组与理想光具组,在近轴区域内，实际光具组可看成理想光具组,在高斯理论中，除满足近轴条件外，并不要求光具组是“薄”的,研究光具组的成像问题，只需建立一系列的基点和基面（如主点、焦点,主平面和焦平面），利用它们就可描述光具组的主要光学特性，而不用去,考虑光具组中的实际光路，使问题大大简化,由两个球面所构成的厚透镜是最简单的共轴光具组。由构成它的单球面,的基点可求出整个光具组的基点基面位置。同样，采用逐个球面成像的思,想，可求出任意多个球面所构成的共轴光具组的基点位置,二、空气中的厚透镜,如图示,F,F,为,厚透镜的焦点,Q,为,Q,经厚透镜,所成的像。在近,轴条件下使用

58、逐,个球面成像法求,解,Q,r,1,F,O,1,n,r,2,O,2,F,Q,s,t,s,n,1,n,1,1,n,1,n,Q,对球面,1,成像,其像为物对球面,2,成像,s,1,s,r,1,r,2,s,s,1,t,设球面,1,的像方焦距为,f,1,则,1,n,1,f,1,nr,1,球面,2,的物方焦距为,f,2,1,1,n,f,2,nr,2,n,n,1,s,s,f,1,上述成像公式变为,1,消去两式中的,s,1,有,1,n,n,s,f,2,s,1,t,f,t,f,f,t,f,tf,2,1,1,2,1,f,2,s,s,s,s,2,0,n,f,1,f,2,t,n,f,1,f,2,t,n,f,1,f,

59、2,t,由于,s,是以,O,1,为原点,s,是以,O,2,为原点,用上式求像相当复杂,研究发现，只要选择适,当的取值原点，可使上,式简化为与薄透镜相似,形式的成像公式。现将,物方取值原点从,O,1,移至,H,点，像方取值原点从,O,2,移至,H,点，上式可变,为,1,Q,r,1,F,O,1,H,n,r,2,F,Q,H,O,2,f,f,p,s,t,p,s,1,1,其中,p,O,1,H,p,O,2,H,s,p,s,p,f,f,是厚透镜作为一个,整体的像方焦距,可以求得,f,1,f,2,f,n,f,1,f,2,t,tf,p,f,2,tf,p,f,1,如图示,原点移动后,物方取值原点,H,物距,s,像方取值原点,H,像距,s,1,1,1,成像公式为,s,s,f,Q,s,s,r,1,F,O,1,H,n,r,