非线性狄拉克方程

1、非线性狄拉克方程评论王畅游数学系肯塔基大学列克星敦，肯塔基州40506，美国概论对于一个n维自旋流形M有一个固定的自旋结构和自旋量丛M，我们可以证明对立方非线性下非线性Dirac方程弱解-正则性定理。这个定理回答了陈约斯特 - 王5提出了当n=2一个规律性的问题。介绍线性狄拉克方程，包括二维空间中的黎曼-柯西方程，是椭圆方程中最基本的一阶系统。在学习狄拉克调和映射的曲率项从一个黎曼曲面到一个黎曼流形课程时，陈-王-约斯特 4，5 介绍了立方非线性非线性狄拉克方程i=j,k,l=1NHjklij,kl,1iN. (1)在二维空间中，非线性狄拉克方程的一个有趣的特点

2、是，它是共形不变的，具有临界非线性，此时经典方法不能适用。因此，研究方程（1）弱解的正则性是一个有趣的问题。这篇文章为方程（1）的一般规律提供一个基本证明。为了描述这个规律，首先简要回顾了自旋流形的一些背景材料。有兴趣的读者可以参考劳森michelsohn 6 ，陈约斯特李王 2，3 的更多细节。对于n2，M,g是一个给定自旋结构和相关旋量丛的自旋流形。设.,.是上的一个哈密顿度量，是上兼容.,.与g的Levi-Civita连接. 上的狄拉克算符定义为=ee， e=1n是M上的局部正交场，:TMC是克利福德乘法。把（1）式写成如下形式=Hjklj,kl (2)此时=1,NN, N1,Hjkl=

3、Hjkl1,HjklNCM,RN,我们推荐读者参考书目5第一章，作者讨论了两个有趣的例子中（2）式结果很自然地可以得到。第一个例子是狄拉克-调和映射,相关的狄拉克曲率项谐波能量泛函，超弦理论中的一个非线性模型，其中关于的非线性狄拉克方程简化为（2）的时候是常数映射第二个例子是极小曲面X沉浸在R3的全纯形式和亚纯函数的Weierstrass表达式，其中方程（2）的形式自然出现。这表明方程（2）的基本函数空间为L4M。正如参考书目5所指出的那样，方程（2）的任意一个弱解是光滑的并且规定对于任意的p4 ，LPM。在 5 中，作者证明了当n=2时方程（2）三个有趣的解析性质：（i）在L4极小面积规范条

4、件下，估计方程（2）平滑解的梯度，（ii）可剔除的孤立奇点定理，及（iii）顺序弱收敛光滑解的能量身份定理。猜想1.1：当n=2时，对于方程（2）的任意弱解L4M是光滑的。在这篇文章中，猜想1.1得到了肯定的回答。事实上，我们证明了任何维度下方程弱解的一般性正则定理。这个想法是基于在Morrey空间之间的Riesz电位估计法，参考亚当斯 1 。王旭已用类似方法证明了高阶狄拉克调和映射的正则性 7 。该证明是非常普遍的，可以适用于其他类似的问题说明我们的结果之前，让我们先回忆方程（2）弱解的定义。定义1.2：切面L4N是方程（2）的一个弱解，若M ,=M Hjklj,kl,对任意光滑部分CN均成

5、立，M的单射半径为iM且iM0，Brx为空间M中的测地线球半径0r0， L4N是狄拉克方程（2）的一个弱解并且当x0M， 0r012iMsupxBrx,0rr01rn-2Brx 404则CBr02x0。根据Holder不等式得，当n2时，1rn-2Brx 4Brx 2n2n因此。我们可以立即得到定理1.3.推论1.4：n2时若L2nN是狄拉克方程（2）的弱解，则CN很明显当n=2时，推论1.4可得出猜想1.1。2证明定理1.3这一部分用来证明定理1.3，由于该规律是局部的，假定在简单的图像下，对于x0M,以g为度规的测地线球Bi Mx0M，用B2,g0来描述。B2Rn是以原点为球心，半径为2的

6、球体，g0是Rn上的欧几里得度量。同时假设 B2=B2CL，矩阵L=C此时我们回顾下morrey空间的定义。定义2.1：1pn,0n，且 URn，morrey空间Mp,U定义为Mp,UfLlocpU:fMp,U+其中fMp,Up=supr-nBr fp:BrU很容易看出当1pn,Mp,ULpU,Mp,nU=LpU 从定标的角度来看Mp,pU与LnU相似。 很显然定理1.3中的条件（4）等价于M4,2Br0x00因此定理1.3可由以下引理得出。引理2.2:对于任意的4p0使得若M4,2B1是方程(2)的弱解且M4,2B10则LpB116,CNL，进一步来说CB116,CNL且lC0B116C0,

7、l,l1证明将算符作用于方程（2），可以得到当1iN2i=Hjklij,kl通过Lichnerowitz公式cf.6,我们可以得到-i=2i因此可得-i= Hjklij,kl当m=1,2，假设mC0B1,0m1,且在B21-2m上的m1。当1iN定义fmi:RnCLfmix=Rn Gx,yyym3Hjklij,klydy其中Gx,y是在在Rn的基础解。当1iN定义gmi:B1C且i=fmi+gmi（9）直接计算表明当m=1，2，1iN，-fmi=m3Hjklij,kl =Hjklij,kl in B21-2m（10）上式与（7）式表明gmi=0 in B21-2m由（8）式可得当m=1,2，1iN时fmixCRn x-y1-nmyy3dy=CI1m33x其中I1fx=Rn x-y1-nfydy,f:RnR是一阶Riesz位势。此时回顾下Morrey空间中的亚当斯不等式（cf.1）:I1fMq-q,RnCfMq,Rn,1q0使得C022.然后可以得到M4,2Bx02M4,2B1,x0B14.由(18)式迭代可得M4,2Brx0Cr2M4,2B1,x0B14且0r14.特别是，对于任意的113可得r21-nBrx0 4CB1 4,x0B14且0r4,LpB116且LpB116Cn,pM4,2B1.因为C3,由