推理与证明复习指导

1、第二章推理与证明复习指导山东王振宝史纪卿对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力一推理部分1知识结构：演绎推理推理归纳和情推理类比2和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理归纳推理： 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理定义特点 ；归纳推理是由特殊到一般、由

2、部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论但是结论的可靠性有待证明 类比推理的另一特点是两类对象具有某些类似特征，这是类比、 猜想的前提例如：已知f (n)n25n3，可以 f (1)10 ， f (2)30,f (3)30, f (4)10 ，于是推出：对入任何nN ，都有f (n)0 ；而这个结论是错误的，显然有当 n5 时， f (5)30 因此， 归纳法得到的结论有待证明例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到： “在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的” 类比线与面得到： 在空间与同一个平面垂直

3、的两个平面平行； 显然此结论是错误的推理过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比猜想类比推理是本章的重点和难点例 1 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解：猜想如下：1分类类比对象猜想结果平面三角形空间四面体图形PBacS1S2DFAS3CEb元素两条直角边 a,b ，三 个 直 角 三 角 形 面 积斜边 cs1s2 , s3 ，斜三角形面积 s元素c2a2b2s2s12s22s3 2关系请问如果猜想出s3s13s2 3s33 ，这个类比是否正确？答；这个类比猜想是不正确的 由表可见， 应该是两类对象某些特征的类比解题剖析：我们知道类比的结果不一定正确因

4、此在解答此类题时，一般是关心类比的结果的正确性 但是，有时类比就发生错误， 因此我们要抓住类比的实质，不要被一些表面现象所迷惑例如：同一数轴上两点之间的距离公式d | x2x1 |( x2x1 )2 ；类比得到同一坐标平面两点距离公式为d(x1 x2 )2( y1y2 )2；再 类 比 得 到 在 空 间 坐 标 系 中 两 点 距 离 公 式 为 ，d(x1x2 )2( y1y2 )2(z1 z2 )2 由此可见；在类比时分清要类比的元素是很重要的3演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）定义特点： 演绎推理是由一般到特殊的推理；数学应用：

5、演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：大前提：已知的一般原理（ M 是 P ）；小前提：所研究的特殊情况（S 是 M）；结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是 P ）；以集合简述：大前提： xM 且 x具有性质 P ；小前提： yS 且 SM ；结论：y 也具有性质P ；例题 1若定义在区间D 上的函数f (x) 对于 D 上的 n 个值 x1 , x2 ,xn ，总2满足 1f ( x1)f ( x2 )f (xn )f ( x1x2nxn ) ，称函数f ( x) 为 Dn上 的 凸 函 数 ； 现 已 知 f ( x)si nx在 (0,) 上 是 凸 函 数 ，

6、 则ABC 中 ，si nAsi nBs iCn的最大值是解答：由 1f ( x1 )f ( x2 )f (xn )f ( x1x2xn )（大前提）nn因为 f ( x)sin x 在 (0,) 上是凸函数（小前提）得f( )f(B)f(C) 3f( A B C )（结论）A3即 sin Asin B sin C3sin3332因此， sin Asin Bsin C 的最大值是 332注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型和情推理与演绎推理的关系：和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例 设 f (x)a x

7、a x， g (x)axa x（其中 a 0 且 a1 ）22（ 1）请你推测g (5) 能否用 f (2),f (3), g(2), g (3)来表示；（ 2）如果（ 1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答 :（ 1）由 f (3) g (2)g(3) f (2)a3a 3 a2a2a3a 3 a2a2a5a 522222又 g(5) a5a 52因此， g(5) f (3) g(2)g(3) f (2)（ 2）由 g(5) f (3) g (2)g (3) f (2)即 g(23) f (3) g(2)g (3) f (2)于是推测 g (xy) f ( x)g ( y)g (x

8、) f ( y)3证明：因为：f (x)axa xa xa x2， g( x)（大前提）2所以 g ( xy) ax yax y，2g( y) a ya y， f ( y) a yay，（小前提及结论）22所以 f ( x) g( y) g( x) f ( y)a xa xa ya ya xa xa ya y2222ax yaxyy)2 g (x解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造g(23) f (3) g (2) g (3) f (2) 是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论g ( xy) f ( x) g( y) g( x) f ( y) 二

9、证明部分知识结构数学归纳法综合法证明直接证法分析法间接证法反证法综合法与分析法综合法； 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立分析法 ：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止综合应用： 在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程例 已知： ab0 ，求证：(a b) 2a b(a b) 28a2ab8b4证明：因为 ab0所以 (ab)2abab(a b) 28a28b(a b)2( ab)2(a b)24a4b| ab |a| ab

10、 |2ab |b2ab2abab1b2a1abb1aab又由已知 a b0 ，因此，ba1成立ab由于以上分析步步等价，因此步步可逆故结论成立解题评注： (1) 以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法(2) 这里表示了b1aa b 0 ) 是结论成立的充要a,(b条件 , 当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例 4. 求证抛物线y22 px( ppx相切 .2证明：（如图）作AA 、 BB 垂直准线，取 AB的中点 M，作 MM垂直准线 .要证明以 AB为直径的圆与准线相切0) ，以过焦点的弦为直径的圆必与yAAMxM oFBB1只需证 MM AB2由抛物线的定义：

11、AA AF， BB BF所以 AB AA BB 51因此只需证 MM2（ AA BB ）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与xp相切 .2以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注 : 分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合, 即综合法与分析法相结合, 可使很多较为复杂的问题得到解决 .三高考要求高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理” 是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础. 逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察 . 试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大， 命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察

12、， 又考虑如何使用解答题型， 以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.例 （湖南 2005 年高考 20）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量， n N *，且 x1 0不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与xn2 成正比，这些比例系数依次为正常数a，b， c.（）求 xn+1 与 xn 的关系式；（）猜测：当且仅当x1， a， b， c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）（删去）20解（ I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为 cxn2,因此 ：xn