第八章二阶电路(04电气)

1、第八章,二阶电路,用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。,（,含有两个动态元件，零输入响应不是按指数衰减）,三种情况：,（欠阻尼、临界阻尼、过阻尼）,特点,：,产生振荡,(,振荡是一重要特性,),内容：,方程的编写、响应的求解,8.1 LC,电路中的正弦振荡,电能、磁能,相互转换,如图,8.1-1,电路,t,?,0,?,求,u,c,(,0,?,),?,U,0,i,L,(,0,?,),?,0,t,?,0,时,u,c,(,t,),和,i,L,(,t,),。,图,8.1-1,一、定性分析：,1,、,t,?,0,?,u,c,(,0,?,),?,u,c,(,0,?,),?,U,0,?,L,di,L,

2、t,?,0,?,u,c,?,u,L,?,L,?,U,0,dt,di,di,dt,?,0,i,L,(,0,?,),?,0,t,?,t,1,2,、,u,c,(,t,1,),?,0,t,?,t,1,dt,电感电压的存在要以,电感电流的变化,为前提，电容对电感充电,i,L,?,、,u,c,?,。,且,L,?,0,i,L,(,t,1,),?,I,0,du,c,i,L,?,?,i,c,?,?,C,?,I,0,?,0,dt,电容电流的存在要以电容电压的变化为前,u,c,反向增大。,提,电感对电容反向充电,i,L,?,、,3,、,t,?,t,2,u,c,(,t,2,),?,?,U,0,i,L,(,t,2,),

3、?,0,t,?,t,2,u,?,u,?,L,di,L,?,0,c,L,dt,u,c,?,、,i,L,反向增大。,4,、,t,?,t,3,u,c,(,t,3,),?,0,i,L,(,t,3,),?,?,I,0,?,可见：,由于电能和磁能的相,互转换，电路两端的电压及,电流不断改变大小和方向,产生电磁振荡。,二、定量计算：,u,c,?,u,L,du,c,i,L,?,?,i,c,?,?,C,dt,2,di,d,u,c,di,L,c,u,c,?,L,?,?,L,?,?,LC,2,dt,dt,dt,2,2,d,i,L,1,d,u,c,1,?,i,L,?,0,?,u,c,?,0,或,2,2,LC,LC,d

4、t,dt,特别：,C,?,1,F,L,?,1,H,u,c,(,0,),?,1,i,L,(,0,),?,0,有：,u,c,(,t,),?,cos,t,i,L,(,t,),?,sin,t,结论,1.,无耗,LC,电路，有初始贮能,会产生等幅振荡,2,振荡周期由,L,、,C,确定,?,0,=,1,LC,3,振荡振幅与初始贮能有关,u,C,(0-),i,L,(0-),8.2 RLC,串联电路的零输入响应,应用对偶概念可得出并联,GLC,电路,图,8.2-1,如图,8.2-1,电路，求：,t,?,0,u,c,(,t,),解：,t,?,0,u,L,?,u,R,?,u,c,?,0,du,c,?,i,?,i,

5、c,?,C,dt,2,du,c,u,R,?,RC,dt,d,u,c,u,L,?,LC,2,dt,2,d,u,c,du,c,?,LC,2,?,RC,?,u,c,?,0,dt,dt,令,u,c,(,t,),2,?,Ke,st,有,LCs,?,RCs,?,1,?,0,?,特征方程,R,R,2,1,s,?,?,?,(,),?,2,L,2,L,LC,?,特征根,R,S,?,?,?,2,L,R,2,1,(,),?,2,L,LC,令,R,?,?,2,L,?,0,2,?,2,0,1,LC,S,1,?,?,?,?,?,?,?,讨论：,?,?,?,0,(,过阻尼,),2,S,1,?,?,?,?,?,2,?,?,0

6、,S,为不相等的实根,?,?,?,0,(,临界阻尼,),S,为相等的实根,?,?,?,0,(,欠阻尼,),S,为共轭复根,2,一过阻尼：,?,?,?,0,(,R,?,4,L,/,C,),u,c,(,t,),?,K,1,e,?,K,2,e,u,C,(,0,?,),?,0,s,1,t,s,2,t,例一：,L,?,1,H,R,?,3,?,C,?,1,F,P135,i,L,(,0,?,),?,1,A,例,8.1,S,1,?,?,0,.,382,S,2,?,?,2,.,618,u,C,(,t,),?,0,.,447,e,?,0,.,382,t,?,0,.,447,e,?,2,.,618,t,V,du,C

7、,?,0,.,382,t,?,2,.,618,t,i,L,(,t,),?,C,?,?,0,.,171,e,?,1,.,17,e,A,dt,图,8.2-3,u,C,(,t,),?,0,.,447,e,?,0,.,382,t,?,0,.,447,e,?,2,.,618,t,V,du,C,?,0,.,382,t,?,2,.,618,t,i,L,(,t,),?,C,?,?,0,.,171,e,?,1,.,17,e,A,dt,二临界阻尼,?,?,?,0,1,例：,R,?,1,?,L,?,H,4,求,t,?,0,i,L,(,t,),解：,(,R,?,4,L,/,C,),s,2,t,2,u,c,(,t,),

8、?,K,1,e,?,K,2,te,C,?,1,F,s,1,t,u,c,(,0,?,),?,?,1,V,i,L,(,0,?,),?,0,s,1,2,?,?,2,s,1,t,s,2,t,i,L,(,t,),?,K,1,e,?,K,2,te,i,L,(,0,),?,K,1,?,0,u,c,(,0,),?,(,0,),?,s,1,K,1,?,K,2,?,?,i,L,?,4,L,di,L,L,?,dt,0,?,u,c,(,0,),?,Ri,L,(,0,),?,0,图,8.2-4,解得,K,1,?,0,K,2,?,4,?,2,t,di,L,（令,?,0,t=0.5,i,L,max,?,0,.,74,）,d

9、t,i,L,(,t,),?,4,te,A,t,?,0,三欠阻尼：,?,?,?,0,2,(,R,?,4,L,/,C,),2,2,s,1,2,R,1,R,1,?,R,?,?,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,j,?,d,2,L,LC,2,L,LC,?,2,L,?,?,2,L,?,?,d,?,1,?,R,?,2,2,?,?,?,?,?,0,?,?,LC,?,2,L,?,?,?,t,2,?,d,振荡的角频率,?,0,谐振角频率,u,c,(,t,),?,e,?,K,1,cos,?,d,t,?,K,2,sin,?,d,t,?,?,?,t,?,e,K,cos(,?,d,

10、t,?,?,),?,K,?,K,1,?,K,2,K,2,?,?,?,Arctg,K,1,?,衰减系数,2,2,u,c,(,0,),?,K,1,i,L,(,0,),?,(,0,),?,?,?,K,1,?,?,d,K,2,?,u,c,C,u,C,(,t,),?,e,?,?,t,K,cos(,?,d,t,?,?,),图,8.2-5,?,衰减系数,?,d,振荡的角频率,?,0,谐振角频率,例：,R,?,1,?,u,c,(,0,),?,1,V,解：,s,1,2,(,P,146,),L,?,1,H,C,?,1,F,i,L,(,0,),?,1,A,求,u,c,(,t,),、,i,L,(,t,),R,R,2,

11、1,1,3,?,?,?,(,),?,?,?,?,j,?,?,?,?,?,d,2,L,2,L,LC,2,2,?,?,t,u,c,(,t,),?,e,(,K,1,cos,?,d,t,?,K,2,sin,?,d,t,),解得：,?,u,?,(,0,),?,?,?,K,?,?,K,u,c,(,0,),?,K,1,?,1,i,L,(,0,),?,1,c,1,d,2,?,C,1,?,t,3,3,2,?,u,c,(,t,),?,e,(cos,t,?,3,sin,t,),2,2,1,?,t,3,?,2,?,2,e,(cos,t,?,),V,2,3,1,?,t,du,c,3,?,2,i,L,(,t,),?,C,

12、dt,?,2,e,cos(,t,?,),2,3,?,K,1,?,1,K,2,?,3,t,?,0,A,t,?,0,1,0,3,t,u,C,(,t,),?,e,1,?,t,2,3,3,cos,t,?,3,sin,t,2,2,3,?,cos(,t,?,),U,(,t,),V,2,3,?,2,e,1,?,t,2,i,L,(,t,),?,2,e,1,?,t,2,3,?,cos(,t,?,),U,(,t,),A,2,3,特别：,S,?,?,j,?,d,t,当,R,?,0,?,?,0,?,d,?,?,0,电路产生等幅振荡,图,8.2-5,小结：,S,1,2,?,?,?,?,?,2,?,?,0,2,1,S,1

13、,，,S,2,在负实轴上,过阻尼,(,不等实根,),衰减,2,S,?,S,1,2,临界阻尼,?,?,0,3,S,1,2,在复平面上,(,共轭复根,),欠阻尼,S,4,1,2,在虚轴上等幅,在右半平面不稳定系统,欠,阻,尼,j,过,阻,尼,等幅,过,阻,尼,j,?,d,临界,s,1,欠阻,尼,s,2,?,?,j,?,d,等幅,在复平面上的极点,8.3,二阶电路分析示例,图,8.3-1,例,1,1,如图电路,已知,L,1H C,1F,R,1,?,1,?,R,2,?,10,?,u,s,?,10,V,u,C,(,0,?,),?,1,V,i,L,(,0,?,),?,1,A,求,t,?,0,u,C,(,t

14、,),?,?,解：,1.,方程的编写,参考方向,两种约束,KVL,：,u,C,?,u,S,?,u,R,1,u,C,?,u,L,?,u,R,2,KCL:,i,?,i,L,?,i,C,7,个变量,元件约束：,u,R,1,?,R,1,i,u,R,2,?,R,2,i,L,du,C,di,L,u,L,?,L,i,C,?,C,dt,dt,代入、，有：,du,C,),u,C,?,u,S,?,R,1,(,i,L,?,C,dt,u,C,、,i,L,两个变量,di,L,u,C,?,L,?,R,2,i,L,dt,由解出,i,L,，微分代入，有,2,d,u,C,du,C,R,2,R,2,L,LC,?,(,?,R,C,

15、),?,(,?,1,),u,?,u,2,C,S,2,R,1,dt,R,1,R,1,dt,元件值代入：,2,d,u,C,du,C,?,11,?,11,u,?,100,C,2,非齐次二阶方程,dt,dt,2,方程求解：,令,u,C,(,t,),?,u,Ch,(,t,),?,u,CP,u,Ch,：,令,u,Ch,2,?,Ke,，代入有,st,S,?,11,S,?,11,?,0,S,1,?,?,1,.,12,S,2,?,?,9,.,89,u,Ch,(,t,),?,K,1,e,u,CP,：,令,u,CP,s,1,t,?,A,?,K,2,e,s,2,t,代入方程有,u,CP,?,u,C,(,t,),?,K

16、,1,e,s,1,t,100,?,11,?,K,2,e,s,2,t,?,100,11,求,K,1,，,K,2,t=0,u,C,(,0,?,),?,1,?,K,1,?,K,2,?,du,C,dt,t,?,0,?,100,11,i,C,(,0,?,),?,?,K,1,S,?,K,2,S,C,i,C,(0,+,)=?,画,t=0,+,时的等效电路,1,?,i,C,(,0,?,),+,10V,-,图,8.3-2,10,?,+,1V,-,1A,迭加法：,10V,?,i,C,(,0,?,),?,10,A,1A,?,i,C,(,0,?,),?,?,1,A,1V,?,i,C,(,0,?,),?,?,1,A,/

17、,1,?,i,C,(,0,?,),?,?,+,10V,-,图,8.3-2,10,?,+,1V,-,1A,?,i,C,(,0,?,),?,i,C,?,i,C,?,i,C,?,8,A,即,K,1,S,1,?,K,2,S,2,?,8,解得,K,1,?,?,8,.,2,K,2,?,0,.,11,?,?,/,?,u,C,(,t,),?,(,?,8,.,2,e,?,1,.,12,t,?,0,.,11,e,?,9,.,89,t,?,100,11,),V,例,2,如图电路，,u,c,(,0,?,),?,0,V,i,L,(,0,?,),?,0,A,若要求,u,0,为等幅振荡,A,?,?,求此时的,u,0,(,t

18、,),t,?,0,t=0,+,U,S,-,R,R,u,1,+,-,+,Au,1,-,+,u,0,-,图,8.3-3,解：等效变换：,图,8.3-4,由图：,i,R,即,:,du,1,2,1,u,1,?,C,?,R,dt,L,?,i,C,?,i,L,t,U,S,Au,1,?,?,R,R,U,s,Au,1,?,?,?,u,1,dt,?,R,?,R,U,s,Au,1,du,1,1,t,2,u,1,?,C,?,?,u,1,dt,?,?,R,dt,L,?,?,R,R,2,d,u,1,du,1,1,1,求导合并,:,2,?,(,2,?,A,),?,u,1,?,0,RC,dt,LC,dt,显然,:,当,A,?,2,时,产生等幅振荡,2,1,d,u,1,?,u,?,0,dt,2,LC,1,(P149,例,8-5,）,解方程,:,s,?,?,j,?,0,?,0,?,1,LC,u,1,(,t,),?,K,1,cos,?,0,t,?,K,2,si,n,?,0,t,u,1,(,t,),?,K,1,cos,?,0,t,?,K,2,sin,?,0,t,t,?,0,u,1,(,t,),?,0,?,K,1,?,?,?,?,du,1,dt,t,?,0,?,i,C,(,0,?,),?,?,?,?,0,K,1,sin,?,0,t,?,?,0,K,2,cos,?,0,t,C,?,?,K,?,?,?