第八章检验假设

1、第八章,检验假设,假设检验的含义,?,利用样本信息，根据一定概率，对总体参数,或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，,称为假设检验。实际上是对样本平均数与总,体平均数之间是否存在显著差异进行检验。,假设检验的基本思想是概率性质的反证法。,?,第一节,假设检验的基本原理,?,如果这个随机样本统计量的值在其抽样分布上出现的,概率较大，则保留这个假设，即承认该样本来自这个,总体，而样本统计量的值与总体参数的差异是抽样误,差所致；如果这个随机样本统计量的值在其抽样分布,上出现的概率极小，则否定这个样本统计量是来自这,个总体参数值的假设，也就是说，样本统计量的值与,总体参数之间的差异不是抽样误差所致，而

2、是存在着,本质差异，故称它们之间差异显著。,一、假设,?,虚无假设,H,0,：样本均值与总体均值无显著差异,可,以直接进行检验的假设。,备选假设,H,1,：样本均值与总体均值存在显著差异,不能直接进行检验的假设,虚无假设与备择假设相互矛盾且只有一个正确。,（也叫无差假设、零假设、原假设）,?,（也叫备择假设、对立假设）,?,显著性水平与虚无假设的关系,?,虚无假设是否成立，是以由显著性水平所确,立的小概率事件的判断标准为前提的：当把,概率越小的随机事件确定为小概率事件，虚,无假设成立的可能性就越大，反之，虚无假,设被拒绝的可能性就越大。,二、推断时容易发生的两类错误,?,?,?,类型一错误,(

3、,?,),：根据统计推断结果否定虚无,假设，而实际上虚无假设是成立的；,类型二错误,(,?,),：根据统计推断结果接受虚无,假设，而实际上虚无假设不成立。,控制两种类型错误产生的方法,:,?,在保持类型一可能的错误率一定情况下，利,用已知的实际总体参数值与假设参数值之间,大小关系，合理安排拒绝区域的位置：,?,?,?,采用双侧检验,采用右侧检验,采用左侧检验,?,使样本容量增大，可以同时减少两类错误的,概率，或减少其中一种错误的概率而不增加,另一种错误的概率，因为容量越大，抽样误,差越小。,第二节,总体平均数的显著性检验,具体步骤：,?,建立假设：,?,?,?,选择检验统计量并计算,?,?,虚

4、无假设：,u,1,=u,0,；,u,1,?,u,0,；,u,1,?,u,0,；,备选假设：,u,1,?,u,0,；,u,1, u,0,；,u,1, u,0,；,Z,分布,T,分布,双侧,单侧,?,确定检验形式,?,?,?,进行统计推断,如何确定检验形式？,?,?,双侧：当根据理论或经验不能预料总体平均数,的值与假设总体平均数的值之间关系时，可采,用双侧检验,?,/2,；,单侧：当能预料总体平均数的值大于假设的值，,采用右侧检验；当能预料总体平均数的值小于,假设的值，采用左侧检验,?,。,一、总体为正态分布、总体方差已知,?,?,?,?,例,8-1,全区统一考试物理平均分,0,50,，标准差,0

5、,10,分。某校的一个班,(n,41),平均成绩,=52.5,，该班成绩与全区平均成绩差异是否显著？,解：设全区考生成绩服从正态分布,从表面看该班成绩,52,5,分，高于全区平均分，但,是并没有任何依据说明该班真实水平比全区分数高。,因而需要用双侧检验。,H,0,：,1,0,H,1,：,1,0,?,算出样本平均数分布的标准误,?,计算临界比率,CR(Critical ratio),CR,的意义与标准分数,Z,相似。在总体分布为正态、总体方差已知,时，临界比率,CR,一般用,Z,表示,。,?,?,0,-1.6,1.562,0,1.6,1.562,47.50,52.50,答：该班成绩与全区平均成绩

6、差异不显著。,?,?,?,例,8-2,有人调查早期教育对儿童智力发展的影,响，从受过良好早期教育的儿童中随机抽取,70,人进行韦氏,-,儿童智力测验,(,0,100,，,0,15),，结果,103.3,，能否认为受过良好早期,教育的儿童智力高于一般水平？,解：根据题意，应该用单侧检验,(,设总体正态,分布,),H,0,：,1,0,H,1,：,1,0,?,从正态分布表查得，单侧,0.,05,时临界点,Z,1,.,645,而所得临界比率,Z=1,.,841,.,645,，,P0.05,，,这意味着在,0.0,5,水平上,与,0,的差异是显著的，,或者说在,0.05,水平上,1,0,，从统计检验的结

7、果,可以下结论；受过良好早期教育的儿童智力高于,一般水平。,二、总体分布为正态，总体标准差未知,具体步骤：,?,建立假设：,?,虚无假设：,u=u,0,；,u,?,u,0,；,u,?,u,0,；,?,备选假设：,u,?,u,0,；,u u,0,；,u u,0,；,?,选择检验统计量并计算,?,T,分布,?,确定检验形式,(df=n-1),?,双侧,?,单侧,?,进行统计推断,?,?,例,8-3,某心理学家认为一般汽车司机的视反应时平,均,175,毫秒，有人随机抽取,36,名汽车司机作为研究样,本进行了测定，结果平均值为,180,毫秒，标准差,25,毫,秒。能否根据测试结果否定该心理学家的结论。

8、,(,假,定人的视反应时符合正态分布,),解：,H,0,：,1,0,H,1,：,1,0,180 S,25 n,36,?,?,?,?,查,t,分布表,(,双侧,)df,35 t0.05,2,2.03,1.182.03,即,P0.05(,这表示否定,H,0,时犯错误的概率大于,0.05,，,因而从统计学上不能否定,H,0,),这就是说样本平均值,(180),与总体平均值,(175),的差异,不显著。因此不能否定心理学家的结论。,答：不能否定心理学家的结论。,三、总体非正态分布,?,一般认为当,n30,时，尽管总体分布非正态，对于平,均数的显著性检验仍可以用,Z,检验。,(,这时的,Z,检验是,近似

9、的,),即：,?,当总体标准差,0,未知时，由于样本容量较大，可以直,接用样本标准差代替上式中的,0,小结,?,总体为正态分布,?,?,?,Z,检验又叫大样本的检验方法，,t,检验又叫小样本的检验方法。,总体为正态分布、总体方差,已知,，用,Z,检验，,总体为正态分布、总体方差,未知,，用,t,检验。,总体分布为非正态，,大样本,，,且要求不是特别严格时,，近似,地,Z,检验。,总体分布为非正态，,小样本,，不能,Z,检验也不能,t,检验。（可,以做非参数检验或数据转换）,?,总体分布为非正态,?,?,第三节,平均数差异的显著性检验,?,?,何谓平均数差异的显著性检验？,需要考虑的条件：,?,

10、?,?,?,?,?,总体分布,总体方差,两个总体方差是否一致,两个样本是否相关,两个样本容量大小,试验设计的类型,一、两个总体都是,正态分布,，两个总体方差都,已知,?,两个样本平均数之间的差异：,D,?,X,?,Y,?,两个样本平均数之间的差异的总体平均数：,经过证明：,?,D,?,?,?,?,X,?,D,Y,?,?,不用考虑大样本还是小样本。,（一）独立样本的平均数差异检验,?,?,?,?,X,?,Y,?,?,X,?,Y,2,2,2,2,D,?,X,?,Y,2,2,2,?,D,Z,?,?,?,?,?,1,n,1,n,(,X,?,Y,),?,(,?,?,?,),X,Y,Z,?,X,?,Y,?

11、,D,?,?,?,1,2,2,2,2,n,1,n,?,?,例,8-4,在参加了全国统一考试后，已知考生成,绩服从正态分布。在甲省抽取,153,名考生，得,到平均分为,57.41,，该省的总标准差为,5.77,分；,在已省抽取,686,名，得到平均分数,55.95,分，该,省的总标准差为,5.17,分。问两省考生在这次考,试中平均分数是否有显著的差异？（取,=0.01,）,答案：,Z=2.88,2.58,，两省考生的平均分数差,异极为显著。,（二）相关样本的平均数差异检验,?,?,?,2,?,?,X,?,Y,?,?,X,?,Y,r,?,2,2,2,X,?,Y,?,D,Z,?,?,?,?,2,r,

12、?,?,1,?,2,?,1,?,2,n,2,2,（,X,?,Y,）,n,?,?,2,r,?,?,1,?,2,?,1,?,2,2,2,?,例,8-5,某幼儿园在儿童入园时对,49,名儿童进行,了比奈智力测验（标准差,=16,），结果平均智,商为,106,，一年后再对同组被试进行施测，结,果平均智商为,110,。已知两次测验结果的相关,系数为,0.74,，问能否说随着年龄的增长与一年,的教育，儿童智商有了显著的提高？,n,?,49,?,?,?,1,?,?,2,?,16,X,1,?,116,X,2,?,110,解：已知,（,1,）假设：,H,0,：,1,0,H,1,：,1,0,（,2,）确定检验形式

13、：右侧检验,（,3,）计算临界值：,?,Z,?,（,X,?,Y,）,n,?,?,?,1,2,2,?,2,r,?,?,2,1,?,2,?,（,116,?,110,）,49,16,?,16,2,2,?,2,?,0.74,?,16,?,16,（,116,?,110,）,49,?,?,2.34,1.71,（,4,）查表获得,Z,值,（,5,）比较推断：差异显著,（,6,）答：略。,二、两个总体都是,正态分布,，两个总体方差都,未知,?,一般不用考虑大样本还是小样本,（一）独立样本的平均数差异检验,?,D,?,n,n,1,1,?,?,?,2,2,2,2,（,1,）两个总体方差相等,?,?,?,1,2,2

14、,2,时，,?,D,?,?,?,?,1,2,2,2,2,n,1,n,?,2,2,?,（,n,?,n,）,1,2,2,1,1,?,s,s,n,n,联合方差,?,?,n,?,n,?,2,2,1,1,1,2,2,2,t,?,X,?,Y,1,1,?,n,1,s,1,?,n,2,s,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,n,1,n,2,?,n,1,n,2,?,2,2,t,?,X,?,Y,1,1,?,x,?,?,y,?,?,?,?,?,?,?,2,n,n,?,n,n,2,1,2,1,2,?,?,?,2,?,?,例,8-6,对甲、乙两校小学一年级的学生进行智,力测验，两个学校分别测查,100,人和,9

15、0,人，他,们的平均智商分别为,110,和,107,，标准差分别,为,17,和,16,，检验两校一年级学生智商是否有,显著差异？,解：,已知：,所以有,X,1,?,110,X,2,?,107,S,1,?,17,S,2,?,16,n,1,?,100,n,2,?,90,X,?,Y,t,?,n,s,?,n,s,n,?,n,?,2,1,1,1,2,2,2,2,2,3,?,?,?,1.242,2,2,5.8325,?,1,1,?,?,100,?,17,90,?,16,?,?,?,?,100,?,90,?,2,?,100,90,?,?,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,n,1,n,2,?,110,?

16、,107,1.242,1.96=t,0.05/2,因此，两所小学一年级学生智力测验结果没有显著差异。,答：两所小学一年级学生智力测验结果没有显著差异。,（,2,）两个总体方差不相等,?,解决方法,?,?,第一步，需要做方差齐性检验,第二部，阿斯平,威尔士（,Aspin-Welch,）检验,k=,s,?,s,n,n,1,1,2,s,n,2,1,1,2,2,2,df=,1,k,n,2,1,?,k,?,?,?,n,2,2,(df,取整数,),t,1,?,X,?,Y,1,s,?,s,n,n,1,1,2,2,2,2,例,8-7,?,为了对某门课程进行教学改革，该学校对各方,面条件类似的两个班学生进行测验

17、，甲班,45,人，,采用教师免受的教学方法；乙班,36,人，采用教,师讲授要点，学生讨论的方法。一年后，用同,一试题对两个班的学生进行测验，结果如下：,甲班平均数,69.5,分，标准差,8.35,；乙班平均数,78,分，标准差,16.5,。试问两种教学方法是否有,显著差异？（,=0.01,）,解：,n,n,1,2,?,45,X,?,69.5,s,1,?,8.35,?,36,Y,?,78.0,s,2,?,16.5,2,2,因为两个样本标准差差距太大，可以认为,?,1,?,?,2,k=,s,?,s,n,n,1,1,2,2,s,n,2,1,1,2,2,2,1.549,=,=0.17,1.549,?,

18、7.563,1,df=,1,1,?,k,?,?,k,?,n,n,1,2,2,?,0.17,45,2,2,1,?,0.17,?,?,?,36,2,2,?,50,t,1,s,?,s,n,n,2.682,?,t,1,1,?,X,?,Y,2,2,2,2,?,69.5,?,78.0,8.35,?,16.5,45,36,1,?,?,2.816,0.01/2(50),?,t,?,2.816 ,故两种教学方法有极其显著的差异。,（二）相关样本的平均数差异检验,?,标准误：,?,D,?,检验公式：,n,?,1,?,?,?,?,1,2,2,2,?,2,r,?,1,?,?,2,n,?,1,t,?,(,X,?,Y,)

19、,n,?,1,?,?,?,1,2,2,2,?,2,r,?,1,?,?,2,例,8-8,?,?,从某小学四年级随机抽取,15,名学生，学期初,进行了一次推理测验，学期末有进行了一次相,似的推理测验，两次成绩如下。问学生的推理,测验成绩是否显著提高？,（已知：,S,1,=3.53,，,S,2,=4.13,，,r=0.42,）,52,54,期,初,期,末,53,52,51,50,53,54,56,55,51,59,60,61,58,59,55,55,53,54,60,62,65,63,58,64,53,58,60,63,解：,t,?,(,X,?,Y,),n,?,1,?,?,?,1,2,2,?,2,r

20、,?,?,2,1,?,2,?,?,3.19,2,t,?,(54.93,?,58.47),15,?,1,3.53,?,4.13,?,2,?,0.42,?,3.53,?,4.13,2,2.624,?,3.19 P,?,0.01,?,答：这一学期的学生推理能力有极其显著的提高。,例,8-9,?,从某小学一年级随机抽取,100,名学生作为样本，在学,期初进行了阅读测验，学期末又进行了类似的测验，,计算得到两次测验的相关系数为,0.50,，其他数据如下。,问这,100,名学生的两次测验成绩差异显著吗？,（,=0.01,）,测验时间,期初,n,100,平均分,45,S,6,r,0.50,期末,?,100,

21、50,5,答案：,t=8.98,2.640,，极其显著。（提高极为显著）,研究生入学考试真题（,2005,，北师大）,?,在一项反馈对知觉判断的影响研究中,n,（人数）,X(,平均数,) S,（标准差）,60 X1=80 S1=18,52 X2=73 S2=15,试验组（有反馈）,控制组（无反馈）,?,问实验组的平均结果是否显著高于控制组？,三、两个总体非正态分布,当两个样本都大于,30,可以用近似,Z,检验。,?,不用考虑总体方差已知否,X,?,Y,1,（一）独立样本的,?,2,平均数差异检验,?,Z,?,?,?,1,2,2,2,n,1,n,（二）相关样本的,平均数差异检验,Z,1,?,（,X,?,Y,）,n,?,?,?,1,2,2,2,?,2,r,?,1,?,?,2,三种,T,检验,应用最多的三种平均数差异的显著性检验,?,单样本,T,检验,?,?,样本平均数与总体平均数之间的比较检验。,条件,总体正态分布，总体方差未知,来自同一个总体的两个样本的平均数之间差异的显著性检验。,条件,总体正态分布，总体方差未知,来自不同的两个总体中的两个样本