1998年高考数学试题及答案(全国文)

1、98年全国高校招生数学统考试题（文史类）一、选择题：本大题共15小题；第（1）（10）题每小题4分，第（11）（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）sin600的值是 （A）1/2 （B）-1/2 （C）/2 （D）-/2（2）函数y=a|x|(a1)的图象是（3）已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2（4）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 （A）A1A2+B1B2=0 （B）A1A2-B1B2=0 （C）A1A2/B1B2=-1 （

2、D）B1B2/A1A2=1 （5）函数f(x)=1/x(x0)的反函数f-1(x)= （A）x(x0) （B）1/x(x0) （C）-x(x0) （D）-1/x(x0)（6）已知点P（sin-cos,tg）在第一象限，则0,2)内的取值范围是 （A）(/2,3/4)(,5/4) （B）(/4,/2)(,5/4) （C）(/2,3/4)(5/2,3/2) （D）(/4,/2)(3/4,)（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆 心角为 （A）120 （B）150 （C）180 （D）240（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （A）/21/2 （B）

3、-/21/2i （C）/2+1/2i （D）/2-1/2i（9）如果棱台的两底面积分别是S，S，中截面的面积是S0，那么 （A）2=+ （B）S0 （C）2SOSS （D）S022SS（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士。不同的分配方法共有 （A）6种 （B）12种 （C）18种 （D）24种（11）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象 如右图所示，那么水瓶的形状是（12）椭圆x2/12+y2/31的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在 y轴上，那么点M的纵坐标是 （A）/4 （B）/2 （C）/2 （D

4、）3/4（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过 这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为 （A）4 （B）2 （C）2 （D）（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 （A）arccos-1/2 （B）arcsin-1/2 （C）arccos1-/2 （D）arcsin1-/2（15）等比数列an的公比为-1/2，前n项的和Sn满足Sn=1/a1，那么a1 的值为 （A） （B）3/2 （C） （D）/2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（16）设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个

5、焦点，圆心在双曲线上， 则圆心到双曲线中心的距离是_。（17）(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为_（用数字作答）。（18）如图，在直四棱柱A1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_ 时，有A1CB1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所 有可能的情形。）（19）关于函数F(x)=4sin(2x+/3)(xR)，有下列命题： 由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍； y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-/6)； y=f(x)的图象关于点（、6，0）对称； y=f(x)的图象关于直线x=-/6对称。其中正确的命题的序号是_。（注：

6、把你认为正确的命题的序号都填上。）三、解答题：本大题共6小题；共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（20）（本小题满分10分）设ab，解关于x的不等式 a2x+b2(1-x)ax+b(1-x)2.（21）（本小题满分10分）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b， A-C=/3，求sinB的值。以下公式供解题时参考： sin+sin=2sin+/2cos-/2, sin-sin=2cos+/2sin-/2, cos+cos=2cos+/2cos-/2, cos-cos=-2sin+/2sin-/2（21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，

7、l1l2，点Nl1。 以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。若 AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标 系，求曲线C的方程。（22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底 宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。 设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数 与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略 不计）。（23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A

8、1ACC1与底面ABC 垂直，ABC90，BC2，AC2，且AA1A1C，AA1A1C。 （）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； （）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。（24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分 别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。 （）写出曲线C1的方程； （）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称； （）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t0。（25）（本小题满分12分）已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145。 （）求数列b

9、n的能项bn； （）设数列an的通项an=loga(1+1/bn)（其中a0，且a1），记Sn是 数列an的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1的大小，并证明你 的结论。数学（文史类）一、选择题题 号12345678910答 案DBCABBCDAB题 号1112131415答 案BABCD二、填空题 （16）16/3 （17）-5120（18）ACBD （19）， 三、解答题： （20） 解：将原不等式化为 (a2-b2)x-b2(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 4分 移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)0， ab 即(a-b)20， x2-x0， 7分 即 x(x-1

10、)0。 解此不等式，得解集 x|0x1。 10分 （21） 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB。 2分 由和差化积公式得 2(sin(A+C)/)2(cos(A-C)/2)=2sinB。 由A+B+C=，得sin(A+C)/2=cosB/2， 又A-C=/3，得/2cosB/2=sinB，(/2)cosB/2=2(sinB/2)(cosB/2)。 6分 0B/20),(xAxxB,y0)，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|。所以 M(-p/2,0),N(p/2,0)。 4分 由|AM|=，|AN|=3得 (xA+p/2)2+2pxA=17， (x

11、A-p/2)2+2pxA=9。 6分 由，两式联立得xA=4/p，再将其代入式并由p0解得 p=4, xA=1； 或p=2, xA=2。 因为AMN是锐角三角形，所以p/2xA，故舍去p=2, xA=2。 p=4, xA=1。 由点B在曲线段C上，得xB=|BN|-p/2=4。 综上得曲线段C的方程式为y2=8x(1x4,y0)。 12分 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点。 作AEl1，ADl2，EFl2，垂足分别为E、D、F。 2分 设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)。 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3， yA=|DM|=2，

12、 由于AMN为锐角三角形，故有 xN=|AE|+|EN|=4。 xB=|BF|=|BN|=6。 7分 设点P(x,y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合(x,y)|(x-xN)2=x2,xAxxB,y0。 10分 故曲线段C的方程 y2=8(x-2)(3x6,y0)。 12分 （23） 解：（）作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD为A1A与面ABC所成的角。2分 AA1A1C，AA1A1C， A1AD45为所求。 4分 （）作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB。 A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。

13、6分 由已知，ABBC，得EDBC。又D是AC的中点，BC2，AC2， DE1，ADA1D，tgA1EDA1D/DE=。 故A1ED60为所求。 8分 （）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。 10分连结HB，由于ABBC，得ABHB。 又A1EAB，知HBA1E，且BCED， HBCA1ED60。 CHBCsin60为所求。 12分 解法二：连结A1B。 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h。 10分 由V锥CA1ABV锥A1ABC得1/2SAA1Bh1/2SABCA1D， 即 1/32h=1/32， h=为所

14、求。 12分 （24） 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。 根据题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)， 4分 得 b=30-a/2+a (0a0,b0)， 4分 即 a+2b+ab=30 (a0,b0)。 a+2b2， 2+ab30， 当且仅当a=2b时，上式取等号。 由a0，b0，解得0， 取n=2有(1+1)(1+1/3)， 由此推测(1+1)(1+1/3)(1+1/2n-1)。 5分 若式成立，则由对数函数性质可断定：Sn1/2lgbn+1。 7分 下面用数学归纳法证明式。 (i)当n=1时已验证式成立。 (ii)假设当n=k(k1)时，式成立，即 (1+1)(1+1/3)(1+1/2k-1)。 8分 那么，当n=k+1时，