【全程复习方略】（陕西专用）2013版高中数学 6.5合情推理与演绎推理配套课件 北师大版

1、第五节 合情推理与演绎推理,三年20考 高考指数: 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，了解合情推理在数学发现中的作用； 2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异; 3.掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.,1.归纳推理与数列相结合问题是考查重点； 2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点； 3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.,1.推理 (1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的_. (2)分类：推理一般分为_与_两类.,思维过程,合

2、情推理,演绎推理,【即时应用】 (1)思考：一个推理是由几部分构成的？ 提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论. (2)数列2,5,11,20,x,47,中的x等于_. 【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32. 答案：32,(3)已知数列1, , , ，, ，则3 是第 _项. 【解析】由题可知该数列的第n项an= ,由 =3 ， 得2n-1=45，n=23. 答案：23,2.合情推理,归 纳 推 理,类 比 推 理,由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_ _的推理

3、，或者由个别事实概括出_,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的_，推出另一类对象也具有_,定义,全部对象都具有,这些特征,一般结论的推理,某些已知特征,这些特征的推理,归 纳 推 理,类 比 推 理,由_到_、由_到_的推理,由_到_的推理,一般 步骤,特点,(1)找出两类事物之间的 _或_； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想),(1)通过观察_情况发现某些_； (2)从已知的相同性质中推出一个明确的_ _(猜想),特殊,特殊,部分,整体,个别,一般,个别,相同性质,一般性,命题,相似性,一致性,【即时应用】 (1)判断下列命题是否正确.(请在括号中

4、填“”或“”) (ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn; ( ) loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则有sin(+) =sinsin; ( ) (a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2. ( ),(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积的比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积的比为_.,【解析】(1)错.(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2; 错.sin(+)=sincos+cossinsinsin; 对.(a+b)2=(a+b)(

5、a+b)=a2+2ab+b2满足向量数量积的运算. (2)两个正四面体的棱长的比为12，则其高之比为12，底面积之比为14，故其体积的比为18. 答案：(1) (2)18,3.演绎推理 (1)定义：从_出发，推出_下的结 论，我们把这种推理称为演绎推理. (2)特点：演绎推理是由_到_的推理.,一般性的原理,某个特殊情况,一般,特殊,【即时应用】 (1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假.(填“真”或“假”) 使用了归纳推理 ( ) 使用了类比推理 ( ) 使用了演绎推理 ( ),(2)判断下列推理过程是否是演绎推理.(请在括号中

6、填“是”或“否”) 两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180 ( ) 某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人 ( ) 由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 ( ) 在数列an中，a1=1,an= (an-1+ )(n2,nN+)，由此归纳出an的通项公式 ( ),【解析】(1)假：不满足归纳推理的定义； 假：不满足类比推理的定义； 真：满足演绎推理的定义. (2)是，满足演绎推理定义. 不是，使用了归纳推理不是演绎推理. 不是，使用了类比推理. 不是,使用了归纳推理. 答案：(1)假 假 真 (

7、2)是 否 否 否,归纳推理 【方法点睛】归纳推理的特点 (1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. (2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性往往通过演绎推理来证明. (3)它是一种发现一般性规律的重要方法.,【例1】(1)已知：f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)= fn-1(fn-1(x)(n1且nN+),则f3(x)的表达式为_，猜想 fn(x)(nN+)的表达式为_. (2)观察式子： 你可以猜出的一个一般性结论是 _. (3)设f(x)= ，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),

8、f(-2) +f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x). (2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论. (3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).,【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)= 得 f2(x)=f1(f1(x)=f1( )= , f3(x)=f2(f2(x)=f2( )=,= f4(x)=f3(f3(x)=f3( )= = ,故猜想fn(x)= . 答案：f3(x)=

9、 fn(x)=,(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125 =53，所以第n个等式的第一个数应为第1+2+(n-1)+1个奇数，即为 2 +1-1=n(n-1)+1, 共有n个奇数，即第n个等式应为 n(n-1)+1+n(n-1)+3+n(n-1)+5+ n(n-1)+2n-1=n3. 即(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3. 答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3,(3)f(0)+f(1)= = = ， 同理可得：f(-1)+f(2)= ,f(-2)+f(3)= . 由此猜想f(x)+f(1-x

10、)= .,证明：f(x)+f(1-x),【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2 012)+ f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值. 【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得 方法一：f(-2 012)+f(2 013)= , f(-2 011)+f(2 012)= , 故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)= 2 013 =671 .,方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+f(2 013) 则S=f(2 013)+f(2 012)+f(-2 012) 2S=4

11、 026f(-2 012)+f(2 013)=4 026 , S=2 013 =671 .,【反思感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中 的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观 察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第 (2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过 观察可看出是第1+2+(n-1)+1个奇数，从而确定其等式 关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3= -2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x， 即f(-x)+f(1+x)=

12、 也成立.,类比推理 【方法点睛】 1.类比推理的步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).,2.类比的方法 类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：,点,线,线,面,圆,球,三角形,三棱锥,角,面积,周长,二面角,体积,表面积,【例2】(2012盐城模拟)已知命题：“若数列an是等比数 列，且an0，则数列bn= (nN+)也是等比数列”.类 比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？

13、并证明 你的结论. 【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.,【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列， 则数列bn= (nN+)也是等差数列. 证明如下： 设等差数列an的公差为d,则bn= = =a1+ (n-1), 所以数列bn是以a1为首项， 为公差的等差数列.,【反思感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想

14、，而后加以证明的. 2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性。,【变式训练】请用类比推理完成下表：,平 面,空 间,三角形两边之和大于第三边,三棱锥任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积,三角形的面积等于任意一边的 长度与这边上高的乘积的一半,三棱锥的体积等于任意一个面的面 积与该面上的高的乘积的三分之一,三角形的面积等于其内切圆半 径与三角形周长的乘积的一半,【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：,故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.(本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，证明略) 答案：三棱锥的体积等于其

15、内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一,【变式备选】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如一组对边平行且相等、两组对边分别平行等.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件：_ 充要条件：_,【解析】两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行.一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等. 答案：三组对面分别平行 两组对面分别平行且全等(答案不惟一),演绎推理 【方法点睛】演绎推理的理论依据 其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.,【例3】已知函数f(x)= +bx(a0,b0)

16、,x(0,+)，试确 定f(x)的单调区间，并说明在每个区间上的增减性. 【解题指南】证明函数的增减性，其理论依据是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.,【规范解答】f(x)在(0， 上是减函数，在 ,+) 上是增函数，证明如下： 设00,即f(x1)f(x2),f(x)在(0, 上是减函数； 当x2x1 时， f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), f(x)在 ,+)上是增函数.,【反思感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，它是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.,【变式训练】已知函数y=f(x)

17、，满足：对任意a,bR,ab， 都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数. (2)若x,y为正实数且 =4，比较f(x+y)与f(6)的大小.,【解析】(1)设x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)， x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0， f(x2)-f(x1)(x2-x1)0， x10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)为R上的单调增函数.,(2)因为x,y为正实数,且 =4， 所以x+y= (x+y)( ) = (13+ ) (13+ )= ， 当且仅当 即 时取等号， 因为f(x)在R上是增函数，x

18、+y 6， 所以f(x+y)f(6).,【易错误区】归纳推理之解答误区 【典例】(2011江西高考)观察下列各式：55=3 125,56= 15 625;57=78 125，则52 011的末四位数字为( ) (A)3 125 (B)5 625 (C)0 625 (D)8 125,【解题指南】由55,56,57可继续求58，59，从而寻求末四位数字 的变化规律可解. 【规范解答】选D.由题意可得，58=390 625,59=1 953 125, 510=9 765 625，经观察易知，每个数的末四位数呈周期变化， 周期为4，又因为2 011=4502+3，所以52 011的末四位数字为 8 125.,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011山东高考)设函数f(x)= (x0),观察： f1(x)=f(x)= ， f2(x)=f(f1(x)= f3(x)=f(f2(x)= f4(x)=f(f3(x)= 根据以上事实，由归纳推理可得： 当nN*且n2时，fn(x)=f(fn-1(x)=_.,【解析】由已知：f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x)= = f3(x)=f(f2(x)= = f4