从一道课本习题的演化看高考复习如何回归课本

1、从一道课本习题的演化看高考复习如何回归课本原题 ：已知一曲线是与两个定点O（ 0，0）， A（3， 0）距离的比为1 的点的轨迹，求2此曲线的方程， 并画出曲线。（人教版高级中学教科书 （必修）数学第二册 （上）1特殊与一般的思考（ 1）：若将原比值1 改为 （ 0），则会对结论产生什么样的影响呢？2探究 ：学生重新审视刚才的解题过程，不难发现比值一般化后的结果为：（）=1 时，轨迹为OA的中垂线（）1 时，轨迹为圆（ 2）：若将两个定点也一般化呢？探究 ：可以确立圆心与两定点在一般化下的位置关系。点评 ：高三复习要特别关注数学知识发展的过程性和整体性，注重知识的综合与内在联系及结论的深挖和拓

2、展。通过比值的一般化 , 不但改变了结果的形式，同时也在探索中形成了结论。思考问题的深刻性也在无形中得到了熏陶和加强。2显与隐的思考cD（ 1）隐于现实情景中例：竖在地面上的两根旗杆的高分别为10m和 15m ,相距 20m ，则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的AB点 P 的轨迹是PACBDPA2即点 P 到两个定点的距离之比为常数。探究：由题意得：PBPB3PA点 P 的轨迹为圆（ 2）隐于四棱锥中例：在四棱锥 P ABCD中，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD为梯形。AD=4 ，BC=8 ，AB=6 ，APDCPB ，则满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是探究 ：由题意知 si

3、nCPBBC8sin APDAD4PCPCPD又PDCPBAPD48PCPDPC2PD由以上引申结论结合图形特点可知答案为不完整的圆（ 3）隐于圆中例：已知直角坐标平面上点Q（ 2， 0）和圆 C： x2y21 ，动点 M到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数（0）。求动点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？探究 ：（）=1 时，轨迹为直线（）1 时，轨迹为圆点评：“显” 和 “隐”不仅是知识交汇的“支撑点”，更是知识融合与交汇的“立意点”。只有能够将陌生的情景转化为熟悉的知识，完成由“隐”向“显”的转化 , 知识和能力也才算由“表” 及“里” 上升到一个新的 “理解” 层次。3. 联想与

4、类比的思考解析几何中包含着众多的比值关系，能否有效的加以联系和类比呢？（ 1）若将原题中的点O（ 0，0）变为直线xa 时，即一动点到定点A（ 3， 0）的距离与它到定直线xa 的距离的比为1 ，则动点 M的轨迹又会如何呢？2探究： 由椭圆的第二定义知道，该轨迹是椭圆，定点和定直线分别为椭圆的焦点和相应准线。（ 2）若原题中的点O（ 0， 0）变为直线xa ，比值也变为A（ 3，0）的距离与它到定直线xa 的距离的比为又会如何呢？探究 ：由圆锥曲线的统一定义不难得到下列结果：（） 01 时 , 轨迹为双曲线（）=1 时 , 轨迹为抛物线时，即一动点到定点（0），则动点 M的轨迹（ 3）由上我们

5、得到了平面上一动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，在圆锥曲线的学习中我们又知道了和为定值的轨迹是椭圆，差为定值的轨迹是双曲线，不禁让我们思考积为定值的动点轨迹方程又会是怎样的呢？探究 ：类比原问题的轨迹求解，同学们很快便得到了动点的轨迹方程。但轨迹表示的是一种什么样的曲线，却引发了同学们课后的一次大讨论。未知曲线如何识，顶点范围对称性等做探求。通过经历和体验，不仅巩固了解析几何中利用曲线的方程研究曲线性质的重要思想，更让同学们体会了一次数学的奇异美。原来它的方程所描述的曲线形似细胞分裂的轮廓线，同学们认为应称它为“细胞分裂轮廓线” 。点评 ：复习中，不仅要有横向的深入，更需要有纵向的

6、联想，组合，类比。沟通知识联系，构建知识的有机整体，实现知识由“厚”到“薄” ，由“散乱”到“有序”的转化，使学生对知识的理解以螺旋式上升，不断提升知识的系统性，关联性和网络性。提高思维的发散性，创新性。4 推广与应用的思考立体几何和解析几何“同出一门” ，常常让我们不自觉的就想起了某种联系。众所周知，在处理空间问题时，为了方便研究和简化讨论，总是把它转化为平面问题。那么，在教学中，能否将平面上的一些问题进行演变和推广，在空间深入研究，并从中探索和发现平面空间问题的内在联系呢？于是，我们得到：推广：（ 1）在空间中，有两个定点A，B，一动点P 到两个定点A，B 的距离之比为（0），则点P 的轨

7、迹是探究 ：（）=1 时，轨迹为AB的中垂面（）1 时，轨迹为球应用：（ 2）已知在长方体ABCD A1 B1 C1 D1 中，P 为对角面BDD 1 B1 上的一动点，若 P 到另外两个顶点A,C的距离之比为2，则P 点的轨迹是探究： 由上可知轨迹为不完整的圆，即面BDD 1 B1 截球的一部分。点评 ：揭示知识的内在联系，融会贯通， 引申拓广， 把单一的轨迹问题与平面几何，立体几何等知识都沟通起来，形成了一条较为完整的由平面到空间的知识链，发散链，不仅起到了举一反三，触类旁通，复习一例，解决一类的目的，更有效的提升了思维的广阔性。高三数学复习必须以课本为主，课本是知识体系的浓缩，反映的是知识间的经典关系，是高考试题的参照系和源泉。在高考数学复习过程中，要排除各种复习资料的干扰，回归课本，不能舍本逐末。并要系统掌握，提高学生运用课本知识方法去解决各类题型的能力。但以课本为主不能仅仅只是停留在表面上“重复昨天的故事”，而应该对课本上的知识和方法加以“拔高”，加以成“串” ，使知识在“拔高”和“串比”中