湖南省衡阳市2016届高三下学期第二次联考(二模)试数学理

1、湖南省衡阳市2016届高中毕业班联考（二）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A B C D2. 复数的虚部是（ ）A B C D3. （ ）A B C D14.给出下列三个命题：(1)“若，则”为假命题；(2)命题：，则；（3）“=”是“函数y = sin(2x+)为偶函数”的充要条件；其中正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值为（ ）A B C D6.下图是计算500名学生毕业测试成绩（满分为100分）

2、及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A B C D7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为（ ）A B C D8. 已知变量满足，则的取值范围是（ ）A B C D9.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面面积之比为：（ ）A B C D10.如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为

3、双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D11.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A动点在平面上的射影在线段上B异面直线与不可能垂直C三棱锥的体积有最大值D恒有平面平面12.已知函数的图象在点处的切线方程，若函数满足(其中为函数的定义域)，当时，恒成立，则称为函数的“转折点”，若函数在上存在一个“转折点”，则的取值范围为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数图象过点，则 .14.二项式的展开式中，与项的系数之和是 （用数字作答）.

4、15.下侧茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵树为20棵的概率是 .16.在中，则，设为内部及其边界上任意一点，若，则的最大值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和为.18. （本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进

5、行解答.选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为,求得分布列及数学期望.附：. 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819. （本小题满分12分）

6、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，.(1)求证：平面平面；(2)若二面角为30，设，试确定的值.20. （本小题满分12分）在直角坐标系,椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与交于不同的两点，且在之间，试求与面积之比的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数满足的图象与直线相切于点（0,1）.(1)求的解析式；(2)对任意，定义.证明：对任意，均有.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所

7、示， 是的一条弦，延长到点，使得，过点作且，连接与交于点，连接与交于点.(1)求证：四点共圆；(2)若，求.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；(2)若，且，判断与的大小，并说明理由.2016年衡阳市第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1【答案】C

8、【解析】：解不等式，集合其值域为，所以2【答案】B【解析】，所以复数的虚部是3【答案】C【解析】4【答案】C【解析】（1）命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题(2)正确（3）当时，则函数）为偶函数；反之也成立故“”是“函数为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数25【答案】B【解析】：由题意，把四个选择支的值代入此式，只有A适合故选A6【答案】D【解析】：由程序框图可知，为及格的人数，为不及格人数，所以及格率，故选D.7.【答案】B【解析】：由调日法运算方法可知，第二次用调日法后得是更为精确的不足近似值，即，故第三次调

9、日法后得到为的近似分数。故选B8【答案】A【解析】：根据题意作出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示，即的边界及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得，所以 故选A9【答案】D【解析】：由三视图可知：该几何体是高为4的四棱锥，由此可计算得最小面积为2，底面积为5，比值为故选D10【答案】A【解析】：在中，故选A11【答案】B【解析】：依题意可知四边形为菱形，对角线与互相垂直平分，故A正确，在旋转过程中始终垂直和，故，所以恒有平面平面，故D正确当时，三棱锥的体积取得最大值，故正确因为，故异面直线与所成的角为，旋转过程中有可能为直角，故B选项错误答案选择

10、B。记显然；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以因此，当时；当当时所以当时函数在上不存在“转折点”。排除选项A、B、C，故选D。(本题也可以利用二阶导函数为0，求解：，显然只有当时有解，其解就为“转折点”横坐标，故，由题意，所以，故。故选D)二、填空题13【答案】【解析】：设幂函数为将点（9，3）代入可得所以故14【答案】【解析】：的展开式的通项为当时，可得的系数为；当时，可得的系数为所以与的系数之和是15【答案】【解析】：记甲组四名同学为，他们植树的棵树依次为9，9，11，11：乙组四名同学为，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个

11、，它们是（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）设选出的两名同学的植树总棵数为20为事件C，则C中的结果有4个，它们是（，）（，）（，）（，），故所求概率为16.【答案】【解析】：过点P作BC的平行线交AB、AC于点M、N，设则有设则有，由得，的最大值为三、解答题17.【解析】（1）当时，由，得： 1分由 3分-，得： 4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得： 5分（2） 7分 9分 12分18【解析】（1）由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关）3分（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本

12、事件满足的区域为（如图所示） 设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 5分由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为 7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为， ， 10分 的分布列为： X012P 12分19.【解析】解：（1）证法一：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ ADC=90，AQB=90，即QBAD 又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 6分证法二：ADB

13、C，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ ADC=90AQB=90，即QBAD PA=PD，PQAD PQBQ=Q ， AD平面PBQ AD平面PAD，平面PQB平面PAD 6分（2）法一：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD面PAD面ABCD，且面PAD面ABCD=AD，PQ面ABCD如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；，设，则， ,，在平面MBQ中，平面MBQ法向量为.二面角为30，得12分法二：过点作/交于点，过作交于点，连接，因为面,所以面，由三垂线定理知，则为二面角的平面角。 （没有证明扣2分）设，则，且三线都共面，所以/， 在中，

14、解得 12分20.【解析】（1）依题意知，设.由抛物线定义得 ，即. 1分将代人抛物线方程得， 2分进而由及，解得.故椭圆的方程为. 5分（2）依题意知直线的斜率存在且不为0，设的方程为代人，整理得 由，解得. 7分设,则 8分令，则且. 9分将代人得 ，消去得，即. 10分由得，所以且, 解得或. 又，故与面积之比的取值范围为. 12分21【解析】（1）因为的图像过点，即，所以。故且 又，由，即， 由可得4分（2）的定义域为，且在上为增函数而在上为减函数，在上为增函数在上为减函数，猜想在上为增函数，在上为减函数，5分用数学归纳法证明在上为增函数如下：当时，在上为增函数假设当时，在上为增函数=由假设可知在上为增函数，所以在上为增函数。所以命题对于时也成立。故对于任意自然数，在上为增函数同理可证在上为减函数 8分当时在上为增函数。，又由当时由复合函数单调性可知在上也为增函数。类似：由复合函数单调性可知在上也为增函数。10分所以当时，易知此时在上为增函数所以对任意当时，易知此时在上也为增函数所以对任意综上所述：对任意12分22【解析】(1)证明：如图所示，因为CA与圆O交于点B，CE与圆O交于点F，所以由割线定理，得因为，所以是等腰直角三角形