深入理解拉格朗日乘子法

1、深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？

2、本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。一.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类：(i) 无约束优化问题，可以写为: min f(x); (ii) 有等式约束的优化问题，可以写为: min f(x), s.t. h_i(x) = 0; i =1, ., n(iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为： min f(x), s.t. g_i(x) = 0; i =1, ., n h_j(x) = 0; j =1, ., m对于第(

3、i)类的优化问题，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；如果是凸函数，可以保证是最优解。对于第(ii)类的优化问题，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) ，即把等式约束h_i(x)用一个系数与f(x)写为一个式子，称为拉格朗日函数，而系数称为拉格朗日乘子。通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。对于第(iii)类的优化问题，常常使用的方法就是KKT条件。同样地，我们把所有的等式、不等式约束与f(x)写为一个式子，也叫拉格朗日函数，系数也

4、称拉格朗日乘子，通过一些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件。(a)拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)对于等式约束，我们可以通过一个拉格朗日系数a 把等式约束和目标函数组合成为一个式子L(a, x) = f(x) + a*h(x), 这里把a和h(x)视为向量形式，a是横向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.。然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联立等式进行求取，这个在高等数学里面有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后面，将简要介绍其思想。(b)KKT条件对于含有不等式约束的优化问题，

5、如何求取最优值呢？常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件：1. L(a, b, x)对x求导为零；2. h(x) =0;3. a*g(x) = 0;求取这三个等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣，因为g(x)=0，我们可以把f(x)写为：max_a,b L(a,b,x)，为什么呢？因为h(x)=0, g(x)=0，现在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是=0，所以L(a,b,x)只有在a*g(x) = 0的情况下才能取得最大

6、值，否则，就不满足约束条件，因此max_a,b L(a,b,x)在满足约束条件的情况下就是f(x)，因此我们的目标函数可以写为 min_x max_a,b L(a,b,x)。如果用对偶表达式：max_a,bmin_x L(a,b,x)，由于我们的优化是满足强对偶的（强对偶就是说对偶式子的最优值是等于原问题的最优值的），所以在取得最优值x0的条件下，它满足 f(x0) =max_a,bmin_x L(a,b,x) =min_x max_a,b L(a,b,x) =f(x0)，我们来看看中间两个式子发生了什么事情：f(x0) =max_a,bmin_x L(a,b,x) =max_a,bmin_x

7、 f(x) + a*g(x) + b*h(x) =max_a,b f(x0)+a*g(x0)+b*h(x0) = f(x0)可以看到上述加黑的地方本质上是说min_xf(x) + a*g(x) + b*h(x) 在x0取得了最小值，用fermat定理，即是说对于函数f(x) + a*g(x) + b*h(x)，求取导数要等于零，即f(x)的梯度+a*g(x)的梯度+ b*h(x)的梯度 = 0这就是kkt条件中第一个条件：L(a, b, x)对x求导为零。而之前说明过，a*g(x) = 0，这时kkt条件的第3个条件，当然已知的条件h(x)=0必须被满足，所有上述说明，满足强对偶条件的优化问题

8、的最优值都必须满足KKT条件，即上述说明的三个条件。可以把KKT条件视为是拉格朗日乘子法的泛化。梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数的含义 想必单独论及“ 梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数”等四个基本概念的时候，绝大部分人都能够很容易地谈个一二三，基本没有问题。其实在应用的时候，这几个概念经常被混淆，本文试图把这几个概念之间的关系整理一下，以便应用之时得心应手。这四个概念中，Hessian矩阵是最不容易混淆，但却是很多人难以记住的概念，其它三个概念很容易记住，但却在某些时候很容易混淆。 Hessian矩阵：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,., xn

9、)，Hessian矩阵M定义为：M的第i行,第j列元素为df(X)/dxidxj, 即为f(X)对于变量xi和xj的二次偏导数。 梯度：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,., xn)，函数f(X)在点X0处的梯度是一个向量，等于（df(X0)/dx1, df(X0)/dx2, ., df(X0)/dxn), 即是对于各个变量的偏导数的向量。例子：如果方程是z=f(x,y)，梯度是在XOY平面内的一个向量，与z无关。因此要特别注意梯度不是点(X，f(X)处的切线方向。 平面方程的法线：设平面方程Ax+By+Cz+D = 0，向量（A, B, C)为这个平面的法线方向。 函数导数：二维直线

10、的方程y= kx+b，我们说k是直线的斜率；二维曲线y=f(x)的导数f (x)表示在点x处的切线的斜率，注意是切线的斜率，不是切线的方向，它是标量，不是向量。任意曲线y=f(x1,x2,.xn)，对每一个变量求取偏导数，得到一个向量（df(X)/dx1, df(X)/dx2, ., df(X)/dxn)，这个向量就是函数在点X处的梯度，即梯度是表示曲线f(X)在X处变化最剧烈的方向，特别注意梯度并不是在点(X, f(X)处的切线方向, 梯度只是在点(X, f(X)处的切线方向在X构成的“平面”上的投影。注意，对于二维直线y=kx+b，它也是可以求取梯度的，它的梯度是向量（k），只有一个值，表

11、示的是x方向上的向量，大小是x方向上的单位变化导致y变化量的大小，即就是切线的斜率。一个问题，我们把二维直线方程y=-kx-b写为平面方程的形式，kx + y+b = 0，这个时候怎么理解？我们可以理解为把y=-kx-b这条直线往z轴的两个方向拉伸得到的平面，就是kx+y+b=0。那么这个平面方程的法线就是（k, 1, 0)，这个法线向量与平面kx+y+b=0垂直，这个时候如果我们用XOY平面去与这个平面相交，即令z=0，就表示直线y=-kx-b，因此法线（k,1)是与直线垂直的。注意y=-kx -b的导数的含义：（-k）表示的是x轴方向的梯度，值为直线的斜率。一定要注意平面方程的形式与其它三个