一元二次方程能力拔高题

1、一元二次方程培优专题复习考点一、概念次方程。定义：|只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是.2,这样的整式方程就是一元二(2) 般表达式：ax2 bx c 0(a 0)难点：|如何理解“未知数的最高次数是 2”:该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是()2 11 2A 、3 x 12 x 1 B 20 C、ax bx c 0 D 、x xx 2x x 1变式：当k时，关于x的方程kx2 2x x23是一元二次方程。例2、方程 m 2 xm 3mx 1 0是关于x的一

2、元二次方程，则 m的值为针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是 。im 1 2、若方程 m 2 x 0是关于x的一元一次方程，求 m的值： ;写出关于 x 的一元一次方程： 。一 2 / 3、若方程 m 1 x .m ?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是()=n=2=2,n=1=2,m=1=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：|利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2y 3的值为2,则4y2 2y1的值为。例2、关于x的兀一次方程a 2 x x

3、 a40的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一兀一次方程 axbx c0 a 0的系数满足acb ,则此方程必有一根为。2例4、已知a,b是方程x 4x m 0的两个根,2b, c是方程y8y5m0的两个根，则m的值为针对练习： 1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2，则k为，另一根是。X 1 2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程3的解相同。求k的值;x 1方程的另一个解。 3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式 m2 m 。 4、已知a 是 x2 3x10的根，则2a2 6a 5、方程0的一个根为(be DO2对于xax2bx n等形式均适用直接开方法典

4、型例题：例1、解方程：1 2x20；2 25216x =0；23 1 x 90;例2、解关于x的方程：ax2 b 0例 3、若 9 x 116 x 2则x的值为针对练习:F列方程无解的是(A. X23 2x21 B.0 C. 2xD.x290类型二、因式分解法xx1 XxX1,或 xX2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“方程形式：如axbx n2ax典型例题：例 1、2x x 3的根为(Xi5-,X22例2、若4x y3 4x0，则4x+y的值为变式1:b22b26 0,则a2 b2变式2：0 ,则x+y的值为变式3：若 x2 xyy 14，xyx 28，则x+y的值为例3、方

5、程x0的解为A.Xi3,B.Xi3，X22C. x13,D. x12，x2例4、解方程:x22.30得Xi,X2例5、已知2x23xy 2y20,则-y的值为。Xy变式：已知2x23xy 2y20,且x0, y 0,则-y的值为。x y针对练习： 1、下列说法中：方程X2px q20的二根为X1，X2，则x pxq (x xj(x X2)x26x8 (x 2)(x 4).2 2 a 5ab 6b (a 2)(a3) x 若t 2 . 3x2 12x 9，则t的最大值为 ，最小值为 y2(x y)( .、x . y)( . x . y)方程(3x 1)2 7 0 可变形为 4、若实数x、y满足x

6、 y 3 x y 2A 、-1 或-2 B 、-1 或 2 C 、2 15、方程：x22的解是。x6、已知.6x2 xy . 6 y20，且 x 0， y2ax bx c 0 a 0 x0 ,则x+y的值为（1 或-2 D 、1 或 20，求2x 6y3x y的值。2b2ab2 4ac4a2(3x 1.7 )(3x 1,7)0正确的有（）个个个个 2、以 1, 7 与 1,7为根的一元二次方程是（）A.x22x 602B . x22x 60 C . y2y6 0Dy22y 60 3、写出一个一兀二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为且两根互为相

7、反数:1,在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值 之类的问题。典型例题：例、已知x、y为实数，求代数式x2y2 2x 4y 7的最小值。a 0,且 b2 4ac 0针对练习：2 1111、 已知 x2 x 4 0，贝y xxxxb . b2 4aca 0,且 b2 4ac 02a典型例题：例、选择适当方法解下列方程： 31 x26. x 3 x 68. x2 4x 10 3x2 4x 103x 12x 5类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题：例1、已知2x 3x 20，求代数式x21的值。例2、如果x20，那么代数式x3 2x2 7 的值。

8、例3、已知a是一元二次方程x2 3x 10的一根，求22a 5aa21考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：2/-例1、若关于x的方程x2. kx 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是()A. m 0且m1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式9x2 (m 6)

9、x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组x2 2y26,mx y 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针对练习:23x 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?1当k时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。3、已知方程 mx2 mx2 0有两个不相等的实数根，贝Um的值是4、k为何值时，方程组y kx 2,2(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)y 4x 2y 1 0.有两组不相等的实数解；(3)没有实数解.5、当k取何值时，方程2 2x 4mx 4x 3m 2m 4k 0的根与m均为有理数？2、当k取何值时，多项式2(2012山东德州

10、中考,15,4,)若关于x的方程ax 2(a2)x a 0有实数解，那么实数 a的取值范围是.(2012湖北襄阳，12, 3分)如果关于x的一元二次方程kx2 2k1x+ 1 = 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A. k v 1 B. kv 1 且 k 工 0 C. 1 0时，关于x的一元二次方程2 2 c x m b x m 2 max 0有两个不相等的实根，试判断三角形ABC的形状。10已知方程x2 5x 60与方程2x2 2x m 0的公共根和方程3x2 x 240与1 2 1 方程一 x x n 0的公共根相同，求 m n的值。2 211 m n是方程x2 2x 1 0的两个

11、根，且7m2 14m a 3n2 6n 7 12求a的值。12甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和5。乙把常数项看错了得两根为2.6和2. 6，求原一元二次方程。13已知关于x的方程x2 2（m 2）x 3m2 1 0（1 ）求证无论m为何值，方程总有两个不相等的实根（2）设方程的两根为 x1, x2 ， x1 x22&3求m的值。14要使关于x的一元二次方程x22（m2）x 3m210的两根的平方和最小,求m的值。215已知函数 y= 和y=kx+1 （x丰0）x（1）若这两个函数都经过（1，a）求a和k的值（2）当k取何值时，这两个函数图像总有公共

12、点16某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1元则每天可以多销售2件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？17为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从2010年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011年投资了 3亿元人民币。预计 2012年底三年累计共投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求市政府投资的年增长率?18某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价元，则可卖出(350-10a

13、)件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？一元二次方程培优训练一部分2 21. 已知方程3ax -bx-仁0和ax +2bx-5=0,有共同的根-1,贝U a=_ = . 22. 关于x的方程(m . 3)xm x 30是一元二次方程，则 m ；3. 设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2 b2)(a2 b2 1) 12，则这个直角三角形的斜边长为；2114当x 时，代数式x-x一的值为0225.已知：m 12 ,则关于x的二次方程(m 1)x2 (m 5)x40的解6. 方程(23)x2 x的解是 ；7. 若一元

14、二次方程 ax2+bx+c=0(a丰0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零，则c= .8.某食品连续两次涨价10%后价格是a元，那么原价是9.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm的正方形，而后折起来做一个没盖的盒子，铁片的长是宽的 2倍，作成的盒子容积为1.5 立方分米，则铁片的长等于,宽等于10、3x 4 y2 6y 90 贝 H xy= 12、在一条线段上取n个点，这n个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= 13、方程2x2 3x 0的根是。14、 如果x2 2 m 1

15、 x 4是一个完全平方公式，则m 。15、 已知两个数的差等于 4,积等于45，则这两个数为 和。16、 当m 时，关于x的方程m2 1 x2 m 1 x 2 0为一元二次方程。217、（x 3） =1 的根是.18、方程（x+1）（ x 2）=0 的解是.19写出一个一元二次方程，使它的一个根为2.20. 当x=时，代数式x2 4x的值与代数式2x 3的值相等.21. 我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个月净化污水量的平均每月增加的百分率为 .22. 一个立方体的表面积是 384cm2，求这个立方体的棱长.设这个立方体的棱长为 xc

16、m,根 据题意列方程得 ，解方程得 x=.23. 在一幅长80cm,宽50cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边（如图所示），制成一幅长方形挂图如果 要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm,则由题意列方程得.二部分1、 关于y的一元二次方程 2y y 34的一般形式是 。22、 3x x 7的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。3、方程2x2. 3x 0的根是。2 24、用配方法解方程x 4x 60，则x 4x 6,所以 x-i , x2 。5、当 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0的求根公式为 6个三角形的两边长为3、6,第三条边长疋方程 (x2)(x

17、4)0的根，则这个三角形的周长是( )A 11B. 13C. 11 或 13D.无法角定7、下列方程是一元二次方程的是()A 、x 2y1 B、2x x1 2x2 3 C、3x 1 D4、x220x8、关于x的一兀二次方程x2k0有实数根，则()A、 k V 0B、k 0C、k 0D、k w 02 29、将方程x 2x 30化为x m n的形式，指出 m,n分别是()A 、1 和3B1和3C 、1 和 4 D 、1 和 410、方程 x(x 1)( x 2)0的解是；11、当y=时，y2-2y的值为3；12、已知方程x2+kx+3=0 的一个根是-1 ，贝U k= 另一根为；13、 写出以4，

18、 5为根且二次项系数为 1的一元二次方程是 ;14、某校去年投资2万元购买实验器材， 预期今明两年的投资总额为 8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程15、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2b2)(a2 b21)12，则这个直角三角形的斜边长为三部分1.方程不一定是一元二次方程的是2A.(a-3)x=8 (a 工 0)+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.、3x2一x572、2若关于x的一元二次方程a 1 x10的一个根是0,贝y a的值是()A、1B、-1 C、1或-1D 、123、把方程x28x320化成x mn的形式，则mn的值是(

19、)A4，13 B、-4，19C、-4，13 D、4，194、已知直角三角形的两条边长分别是方程x2 14x480的两个根，则此三角形的第三边是()A 6或8B、10 或2. 7 C、10或8D、2.75.关于x的方程(a2 a 2)x2 ax b 0是一元二次方程的条件是-()A a 1 B a 2 C a 1 且 a 2 D a 1 或 a 26等腰三角形的两边的长是方程x2 20x 910的两个根，则此三角形周长为A. 27 B. 33 C. 27和33 D.以上都不对7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片,如果全班有x名同学，根据题意，列

20、岀方程为()A. x(x + 1) = 1035 B . x(x 1) = 1035 X 2C. x(x 1) = 1035 D . 2x(x + 1) = 10358. 一元二次方程 2x(x 3) = 5(x 3)的根为 ()555A. x = 2 B . x = 3 C . X1= 3, X2 = 2 D . x = 29. 已知 x2 5xy 6y20，则 y：x 等于()111A.-或 1B.6或1C. -或 D.2或3632x25x 69.使分式x一5-6的值等于零的x是 ()x 1或 6C.-1210方程x -4 | x | +3=0的解是()= 1或x= 3=1 和x=3 =-

21、1 或x=-3 D. 无实数根11. 关于x的方程x2-k 2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根，k的值是()或 4C.-412、 请判别下列哪个方程是一元二次方程()23A 、x 2y 1 B 、x 50 c、2x8 D、3x86x2x13、 请检验下列各数哪个为方程x2 6x 8 0的解（）A 、5 B 、2 C 、8 D 、214、 下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）A 、若 x24,则 x 2 ；B 、若 3x2 6x,W x 2 ；C x2 x k 0的一个根是1,则k 2 ；D若分式V 2的值为零，则x 2。x2 3x 215、如果x2 bx 1

22、6 x 4 2，则b的值为（）A 、4B、4C、8D、816、将方程x22x 320化为x mn的形式，指出m,n分别是（）A 、1 和3B1和3C、1和 4D、1和417、已知一元二-次方程mx2 n 0 m0，若方程有解，则必须（）A 、n 0 B 、mn同号 C 、n是m的整数倍 D、mn异号18、 若a为方程x2 x 5 0的解，则a2 a 1的值为（）A 、12 B 、6 C 、9 D 、1619、 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为 288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）A 10% B 、15% C 、20% D 、25%、解一元二次方

23、程(1)x (2x - 7) = 2x（2）x 2 -2x +4 =0(3)2 2y 23y 1（4）22y +7y-3=0(5)3x212 0（6）2(y 2)9(7)x2 2x 40（8）x(x 7) 5x 36(9)4x270(10)3x22x(11)y2223y 1 2(12)x2；4x20(13)2x24x5 0(14)3x.2, 3x,2 x(15)(3x2)25(3x 2) 40(16)x(x1) 1(x1)(x 2)341、 试证明关于x的方程（a2 8a 20）x2 2ax 1 0无论a取何值，该方程都是一元 二次方程；2、 将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个

24、，已知这种商品每涨价 1元，就会少销售10个。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。3、 有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2 4x k 0的两根，求这个三角 形的周长，（8分）4、 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件。求（1）若商场平均每天要赢利 1200元，每件衬衫应降价多少元？ （ 2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。（10分）5、已知 x2 3xy 4y20（ y 0），求的值。x y6.国家为了加强

25、对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元，不加收附加税时，每年产销100万条，若国家征收附加税,每销售100元征税x元（叫做税率x%）,则每年的产销量将减少 10x万条.要使每年对 此项经营所收取附加税金为168万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过50万条，问税率应确定为多少？7、已知 x2 3xy 4y20（y0），求的值。x y23.（本题9分）已知关于 x的方程g2 a）x2 ax a2 1 0（1 ）当a为何值时，方程是一元一次方程；（2 ）当a为何值时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求

26、a的值.12cmA6cmB24.（本题 8 分）如图，在 ABC中，/ B=90 度，AB=6cm, BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点 Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点 P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后 PBQ的面积等于8cm.一元二次方程拔高题（90分钟120 分）一、学科内综合题（每小题8分，共48分）1随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，？某城市到2006?年要将该城市的绿地面积在2004?年的基础上增加 44%同时,要求该城市到2006年人均绿地的占有量在 2004年基础上

27、增加21% ?为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%）2.如图，在 ABC中，/ B=90, AB=4cm BC=10cm 点 P?从点 B?出发沿 BC?以 1cm/s 的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点 P到点A的距离的平方比点 P到点B?的距离的8倍大1?3.已知关于x的方程(a 1) x2( 2a 3) x+a=O有实数根.(1) 求a的取值范围；(2) 设 xi，X2是方程(a 1)x2 ( 2a 3)x+a=0 的两个根，且 Xi2+X22=9,求 a 的值. 2 24.设m为整数，且4m4Q方程x 2 (2m 3) x+4m 14m+8=

28、0有两个整数根， 求m的值.5. 一扇上部是半圆形下部是矩形的钢窗，它的高等于宽，如果窗的全部面积是的高和宽.(10元，每天可售出 500?千克，经6. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，？日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天赢利 6 000元，同时又要使顾客得到实惠， 那么每千克应涨价多少元?、学科间综合题（10 分）7.如图，AO=OB=50cm 0C是一条射线，OCX AB 只蚂蚁由 A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由 O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，？两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450

29、cm2?三、应用题（每小题 10分，共20分）2 1&在等腰厶ABC中，a=3, b, c是x+mx+2 m=0的两个根，试求 ABC的周长.29.一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第 2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，？往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有 32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）四、创新新（12分）111ab2 110.问题：构造 ax2+bx+c=0解题，已知：

30、+ 1=0, b4+b2仁0,且一工b2,求a aaa的值.五、中考题（共30分）11. （6分）某商场今年2月份的营业额为 400万元，3?月份的营业额比2月份增加10% 5月份的营业额达到万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率是 .12. （6分）解方程： 坐 卫 6（X 1）=7时，利用换元法将方程化为6y2 7y+2=0, ?则x 1 x21应设y=.13. （ 6分）已知关于x的方程x2 3x+m=0的一个根是另一个根的 2倍，则m的值为. 2 214. (12分)已知：关于 x的两个方程2x + ( m+4 x+m 4=0与mx+ (n 2) x+m- 3=0,方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根.(1)求证：方程两根的符号相同;(2)设方程的两根分别为a、B，若a：3=1： 2，且n为整数，求 m的最小整数值.附加题(20分)设m是不小于1的实数，