高一圆的标准方程与一般方程

1、 学科 数学年级 高一 圆的标准方程与一般方程内容标题蔡秀编稿老 一、学习目标 了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.1. .掌握用待定系数法求圆的方程2. .3. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化 .4. 体会求轨迹方程的方法与思想 二、重点、难点 重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程. 难点：根据已知条件求圆的方程. 三、考点分析填空题的形式重点考查其标准方程本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、 和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查. 圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆1. 的

2、半径.)bC(a,0r?r：方程：2. 圆的标准方程以的标准）为为圆心，半（径的圆222rb)?a)(?y?(x? 22220?F?Dx?Ey?xy0F?D?E4，圆心坐标为（. 圆的一般方程：）322F4D?EED22?r0FE?4?D?,?时，表示点），半径为（特别地，当.222ED220?E4DF?),?(? .时，不表示任何图形；当22 . 4点与圆的位置关系222r?y?a)?(?b),P(x),y:圆的方程C(x 已知点1122)?ba)PC?y?(x(? 则11PC?r?点P在圆外PC?r?点P在圆上PC?r?点P在圆内.； 知识点一：圆的方程08?3y?l:2x?上的圆，且圆心

3、在直线1例1. （1）求经过点P（，3），Q（2，2）8?3yx5 .l：上，且与坐标轴相切的圆的方程的方程.（2）求圆心在直线 【思路分析】 .题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径的垂直平分线1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ（解题思路：l 的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.方程，与直线）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列（2 出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径.),bC(a ）解法一：设圆心坐标为，【解答过程】（1?2222)?)2?(a?1)b?(b?3)?(a2? 则有，?08?a?3b?2?1a?

4、解得：，?2b?225?3)(?21r?PC?(?1)? ，所以2225?2)?(y?(x?1) 所以所求圆的方程为. PQ的垂直平分线上，解法二：根据条件可知圆心一定在线段 PQ的垂直平分线方程为由直线的点斜式方程可求得线段0?1x?y?3 ，0?3y?82x?l 上，：由已知圆心也在直线0?y?13x? 2），所以由方程组解得圆心坐标为（1?0?8?2x?3y? 以下解法同解法一.),b(a ）设圆心为，因为圆与坐标轴相切，（2ba? 所以，圆心在已知直线上，8a?3b?5 所以有，1?4a?a?|b?|a|?或 所以，解得，?8b3?5a?1?b?4b?4a?22ar?16)?(y?4)

5、(x?4 4，所求圆的方程为；时，当?4b?1a?22(x?1)?(y?1)?1ar?.时，当，所求圆的方程为 1?b?1?【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键. .）的圆的方程3，2（C，）1，0（B，）1，2（A求过点. 2例 【思路分析】 . 题意分析：利用圆的一般方程求解构成方程组，解此方程组即设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，解题思路： 可得出所求结果.220?F?x?y?Dx?Ey 、C三点在圆上，因为A、【解答过程】设所求圆的方程为B22?0F?E?1?2)(?2D4D?22?E0F?1)?E?( ，所以有，解此方程组得：?1F?22

6、0?E?F?2D?(?2)3?(?3)?2201?x?2y?x?y?4 所求圆的方程为. 本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.【题后思考】 220?2y?xy?x0?y?1x? .对称的圆的方程关于直线3. （1）求与圆例220?y?4mx?2y5mx? .（2）求方程表示圆的充要条件 【思路分析】 .题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解 （2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件. .解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标22m0?E?4FD? 的不等式，解不等式即可）直接代入

7、（2得关于.1522?)(x?)?(y?1， 1【解答过程】（）圆的方程可化为 4251)1(,?，所以圆心的坐标为，半径为 22x?y?1?0(a,b)，设圆心关于直线的对称点为 b?1?1? 1a?2?a? ?2则有，解得， ?31?b? a?2?b?1 ?2?1?0? 22?3522?)(x?2)?y.所以所求圆的方程为 422222D?E?4F?(4m)?4?20m?16m?20m?4?4(4m?1)(m?1)?0 ）2（1?m1?m?.或 4【题后思考】（1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解. 220F?x

8、?yDx?Ey用这样的方程表示并不是所有形如2（）的方程都表示圆，220?DE4?F .圆的充要条件是把方程设为标准方程更简便；求圆的方程时，【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；220F?E?4D? 为. 知识点二：与圆有关的综合问题的轨迹M：2，求动点，0），A（3，0）的距离之比为1动点例4. M到两个定点O（0 .方程，并说明该轨迹是什么曲线 【思路分析】满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化M题意分析：动点 .简整理即可 的长. 解题思路：设出动点M的坐标，分别用两点间的距离公

9、式表示MO、MA22MOyx?11?y,x，由已知，【解答过程】设动点，M的坐标为（） 22MA22y?x?3)(2222y?x?3?2x)?y?( 220?2x?3x?y? ，两边平方并整理得： .0）为圆心，以2为半径的圆所以动点M的轨迹为以（1，y,x）满足的方程，当已知条件中明确给（【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标 .出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可 2),0AD?0),B(2,A(?2, E的轨迹方程.，E. 例5为线段BD已知点的中点，求点 【思路分析】的坐标表示出来，D的坐标用点E题意分析：（1）由已知条件可知点D的轨迹方程，把点 的轨迹方程

10、. 然后代入点D 1OE? 的轨迹是以原点为圆心的圆.2（，故可知点E）利用图形的几何性质可推出 的坐标.1）设出点E的坐标，用中点坐标公式求出点D解题思路：（ 的中位线.）由图形可得OE为ADB（2)yD(x,)yx,E( 的中点，所以有解法一：设点【解答过程】E为线段，点BD，因为11x?2x?2,y?2y， 1122 2?AD?y?4(x?2)?， ，1122221?x2y)?4?y?2(2x?2)( 即，整理得：. ，则OE为ADB的中位线，OE解法二：连接1AD?1OE?， 所以 2由圆的定义可知，点E的轨迹是以原点为圆心的圆， 221?x?y 方程为. 本题的两种解法分别用到了求轨

11、迹方程的相关方法和定义法【题后思考】. y221y(x?3)?(?1)?yx,的最大值和最小值；，求：（1满足方程）例6. 如果实数 x22yx?y?3x .3）的最大值和最小值（2的最大值和最小值；）（ 【思路分析】y22y,3x?y,x? 利用题意分析：的几何意义，用数形结合的方法来解决. xyy3?x的几何意义为设解题思路：的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率； x22y?xyx?b?3yb的几何意义表示圆上的点到原点的，则轴上的截距；表示直线在 .距离的平方y ）表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，【解答过程】（1 xy33 ，最小值为则切线的斜率分别为00和.，所以的

12、最大值为 xbx?y?3yb）设，则（表示直线在2轴上的截距， 3? 6，的切线，这两条切线的截距分别为2和作圆的两条斜率为y3x? 的最大值为6，最小值为所以2.22y?x 表示圆上的点到原点的距离的平方，（3） 因为圆心到原点的距离为2， ，最小值为1，所以圆上的点到原点距离的最大值为322y?x .的最大值为9，最小值为所以122y?x是圆上的易错点是误认为【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观. .点到原点的距离 12522?3?)?)?(y(xP,Qy?kx?4 例7. 已知圆上两点C：满足：关于直线 42PQ?OQOP .，求直线的方程对称； 【思路分析】4P,Q?kxy

13、k的题意分析：由圆上两点关于直线对称可知圆心在这条直线上，故斜率0yy?OP?OQxx .值可求，进而由2211 .解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程4?kx?yP,Q 由圆上两点关于直线对称可知圆心在这条直线上，【解答过程】1k?4?32k?所以有，解得， 21)y,()x(,yx?PQ 点坐标为，Q，点坐标为的斜率为则直线，设P 211221PQb?y?x? 直线的方程为， 2220)?4(b?6b?3)5x?4(4?bx ，代入圆的方程整理得：?2206b?16(4?b)3?4?5?4(b)?)44(b?xx 所以?215?2)36b4(b?xx?

14、215?2?2b4b?311112yy?(?x?b)(?x?b)?xx?b(x?x)?b? ，221112212242522?2bb?36b?3)4(b4?0OP?OQ?xx?yy?0，所以 22115535b?0成立解得. 或，经检验，24x?2y?3?02x?4y?5?0. 或所以所求直线PQ的方程为OP?OQ?xx?yy?0b的【题后思考】本题中由是解此类型题常用的结论；求出2211?0是否成立.值后，应验证 【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便. 在解答有关圆的

15、综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解. （答题时间：50分钟） 一、选择题 225y?2)?(x ）关于原点对称的圆的方程是（ 1. 圆22225?5x?(y?2)?(x2)?y? .A. B 22225?(2?(y?)?5x?y?2)x(?2) . D C. 224a)?a)?(y?x(?a ）的内部，则 的取值范围为（ 2. 点（1，1）在圆a?1?a0?1?a?1?a?1?1a?1 . CA. . B . D或 22x?y?10?4y?25?3xll的距离的上的点到直线

16、已知直线3. ，则圆的方程为最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 221?y?x ） （连线的中点的轨迹方程为）0，3（A它与点上移动，一个动点在圆. 422221?y?)?y?4(x3)(x?3 B. A. 1322221)?(2yx(2?3)?(?x?)y C. D. 2222x?2x?y?0x?y?0垂直的直线方程是（5. 经过圆 的圆心，且与直线 ） x?y?1?0x?y?1?0 A. B. x?y?1?0x?y?1?0 D.C. 2222x?y?4x?2y?4?0x?y的最大值为（ ，则 6. 已知圆） 14?6514?65 D. . B. 14 C A. 9 二、

17、填空题7. 已知点A（4，5），B（6，1），则以线段AB为直径的圆的方程是 . 222)r?0y?b)?r()(x?a?(yr,b,a应满足的条过原点且与8. 已知圆轴相切，则 . 件是 y2?x .，则圆的方程是 ，4），B（09. 圆心在直线，2上的圆与）轴交于点A（022，0，1）A、B，弦AB的中点为（相交于点10. 直线与圆3)?2x?0(ayx?y?a?4l . 的方程为则直线 l 三、解答题 .，并在0）轴上截得的弦长为10的圆的方程. 11求与轴相切于点（5，yx220y?a4(?1)x?4ayax?a并求出其中半表示圆，方程求实数的取值范围，. 12 .径最小的圆的方程22

18、0?y?x?yx?6?mQP?30,?2x?y两点，若和直线相交于已知圆13. mOQ?OP的值. ，求 一、选择题 2，0）.A 解析：圆心的坐标为（2，0），则关于原点对称的点的坐标为（. 122 .，解得2. A 解析：由已知4?(1?a)a)?(1?1?1?2? .解析：圆心到直线的距离4最小值为，51 3. B 5?d?2243?0?3yx?00 的中点为，为圆上的动点，4. C 解析：设则MA)N(x,y)y(Mx,?,?yx00222?222 .1?2?x?2x?3,y?y,Qx(2?yy?1,?x2?3)0000，故所求直线的方程为解析：圆的圆心为（1，0），直线的斜率为1 5. A 1y?x? 即.0?y?1x?22的3，所以，圆心到原点的距离为，6. D 解析：圆心为（21），半径为yx?52 最大值为.5?6?14(5?3) 二、填空题22，由两点间解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，37. ） 293)1)?(y?(x? .的距离公式得半径为29222 . 8解析：由已知：. 且ra?0