中考数学图形的相似与位似解答题

1、中考数学图形的相似与位似解答题（1）1. （2014上海，第23题12分）已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且CDE=ABD（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定分析：（1）证BADCDA，推出ABD=ACD=CDE，推出ACDE即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案解答：证明：（1）梯形ABCD，ADBC，AB=CD，BAD=CDA，在BAD和CDA中BADCDA（SAS），ABD

2、=ACD，CDE=ABD，ACD=CDE，ACDE，ADCE，四边形ACED是平行四边形；（2）ADBC，=，=，=，平行四边形ACED，AD=CE，=，=，=，=点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中2. （2014四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1（2）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出A2B2C2（3）求A1B1C1与A2B

3、2C2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比分析：（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得出各点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案解答：（1）如图所示：A1B1C1即为所求；（2）如图所示：A2B2C2即为所求；（3）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，A1B1C1与A2B2C2的相似比为：1：2，：=1：4故答案为：1：4点评：此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位

4、置是解题关键3. （2014四川巴中，第29题10分）如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的O交BC于点D，过D作MNAC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BGMN于G（1）求证：BGDDMA；（2）求证：直线MN是O的切线考点：相似三角形的判定，切线的性质分析：（1）根据垂直定义得出BGD=DMA=90，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出DBG=ADM，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明BGDDMA；（2）连结OD由三角形中位线的性质得出ODAC，根据垂直于同一直线的两直线平行得出ACBG，由平行公理推论得到ODBG，再由BGMN，可

5、得ODMN，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是O的切线解答：证明：（1）MNAC于点M，BGMN于G，BGD=DMA=90以AB为直径的O交BC于点D，ADBC，ADC=90，ADM+CDM=90，DBG+BDG=90，CDM=BDG，DBG=ADM在BGD与DMA中，BGDDMA；（2）连结ODBO=OA，BD=DC，OD是ABC的中位线，ODACMNAC，BGMN，ACBG，ODBG，BGMN，ODMN，直线MN是O的切线点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可4. （2014山东潍坊，第22题1

6、2分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G(1)求证：AEBF；(2)将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；(3)将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得ABE=BCF=90，AB=BC，又由BE=CF，即可证得ABEBCF,可得BAE=CBF，由ABF+CBF=

7、900可得ABF+BAE=900，即AEBF；（2）由BCFBPF, 可得CF=PF,BC=BP,BFE=BFP，由CDAB得BFC=ABF,从而QB=QF，设PF为x,则BP为2x,在RtQBF中可求 QB为x，即可求得答案；（3）由可求出AGN的面积，进一步可求出四边形GHMN的面积解答：(1)证明：E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，CF=BE，RtABERtBCF BAE=CBF 又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900， AEBF (2)根据题意得：FP=FC，PFB=BFC，FPB=900， CDAB, CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB 令

8、PF=k（kO），则PB=2k，在RtBPQ中，设QB=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinBQP=(3)由题意得：BAE=EAM,又AEBF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 四边形GHMN=SAHM SAGN=1一= 答：四边形GHMN的面积是.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用5. （2014山东烟台，第24题8分）如图，AB是O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上设PCB=，P

9、OC=求证：tantan=考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出PBDPAC，再求出=，最后得到tantan=解答：证明：连接AC，则A=POC=，AB是O的直径，ACB=90，tan=，BDAC，BPD=A，P=P，PBDPAC，=，PB=0B=OA，=，tanatan=点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出PBDPAC，再求出tantan=6.（( 2014年河南) 20.9分）如图，在直角梯形OABC中，BC/AO，AOC=900，点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线

10、y=（x0）经过点D,交BC于点E.（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积。解：（1）过点B、D作x轴的的垂线，垂足分别为点M、N. A (5.0)、B（2，6），OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3 DNBM,ANDABM. DN =2,AN=1, ON=4 点D的坐标为(4,2)3分 又 双曲线y=(x0)经过点D， k=24=8双曲线的解析式为y=5分 （2）点E在BC上，点E的纵坐标为6. 又点E在双曲线y=上，点E的坐标为(,6),CE=7分S四边形ODBE=S梯形OABCSOCESAOD =(BC+OA)OCOCCEOADN =(2+5)6652 =12四边形OD

11、BE的面积为12. 9分7. （2014江苏盐城,第25题10分）菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EFAB，垂足为M，tanMBO=，求EM：MF的值考点：菱形的性质；平行四边形的判定分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得AEO=CFO，然后利用“角角边”证明AEO和CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）设OM=x，根据MBO的正切值表示出BM，再根据AOM和OBM相似，利用相似三角形对应边成比例

12、求出AM，然后根据AEM和BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可解答：（1）证明：在菱形ABCD中，ADBC，OA=OC，OB=OD，AEO=CFO，在AEO和CFO中，AEOCFO（AAS），OE=OF，又OB=OD，四边形BFDE是平行四边形；（2）解：设OM=x，EFAB，tanMBO=，BM=2x，又ACBD，AOMOBM，=，AM=x，ADBC，AEMBFM，EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似8. (2014年山东东营,第24题11分)【探究发

13、现】如图1，ABC是等边三角形，AEF=60，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，

14、并运用上述结论求出SABC：SAEF的值考点：相似形综合题分析：根据等边三角形的性质，可得AB=BC，B=ACB=60，根据三角形外角的性质，可得AEC=B+GAE=60+GAE，根据ASA，可得AGEECF（，根据全等三角形的性质，可得结论；根据等边三角形的判定，可得AEF是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得ABC与AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案解答：证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG是等边三角形

15、，BGE=60，AGE=120FC是外角的平分线，ECF=120=AGEAEC是ABE的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE和ECF中，AGEECF（ASA），AE=EF；拓展应用：如图二：作CHAE于H点，AHC=90由数学思考得AE=EF，又AEF=60，AEF是等边三角形，ABCAEFCE=BC=AC，ABC是等边三角形，CAH=30，AH=EHCH=AC，AH=AC，AE=AC，=点评：本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度9. （2014山东淄博

16、,第23题9分）如图，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分ABE交AM于点N，AB=AC=BD连接MF，NF（1）判断BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得EAB+EBA=90，根据三角形外角的性质，可得答案；（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与

17、BC的关系，根据同角的余角相等，可得CBD与NMF的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案解答：（1）答：BMN是等腰直角三角形证明：AB=AC，点M是BC的中点，AMBC，AM平分BACBN平分ABE，ACBD，AEB=90，EAB+EBA=90，MNB=NAB+ABN=（BAE+ABE）=45BMN是等腰直角三角形；（2）答：MFNBDC证明：点F，M分别是AB，BC的中点，FMAC，FM=ACAC=BD，FM=BD，即BMN是等腰直角三角形，NM=BM=BC，即，AMBC，NMF+FMB=90FMAC，ACB=FMBCEB=90，ACB+CBD=90CBD+FMB=

18、90，NMF=CBDMFNBDC点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似10（2014四川凉山州，第27题，8分）已知：如图，P是O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交O于A、B，连接AC，BC（1）求证：PCA=PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出ACO=CAO，再由PC是O的切线，C为切点得出PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC中根据三角形内角和定理可知ACO+CAO+AOC=180，由圆周角定理可知AOC=2PBC，故可得出ACO+PBC=90，再根据PCA+ACO=90即可得出结论；（2）先