新课标人教A版高中数学必修三222用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、,.2.2,用样本的数字特征估计总体的,数字特征,第,1,课时,众数、中位数、平均数,在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击,10,次，,命中环数如下,甲运动员,7,，,8,，,6,，,8,，,6,，,5,，,8,，,10,，,7,，,4,；,乙运动员,9,，,5,，,7,，,8,，,7,，,6,，,8,，,6,，,7,，,7.,观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的,更稳定些吗？,为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过,样本的数据对总体的数字特征进行研究。,用样本的数字特征估计总体的数字特征,【创设意境】,三数概念,1,、,众数,在一组数据中，出现次数最多,的数据叫做这一组数据的

2、众数。,2,、,中位数,将一组数据按大小依次排列，,把处在最中间位置的一个数据（或两个数,据的平均数）叫做这组数据的中位数。,3,、,平均数,一组数据的总和除以数据的个,数所得的值。,求下面这组数据的众数、中位数、平均数,众数为,6,中位数为,6,平均数,6,8,10,3,6,10,4,4,10,3,10,8,8,8,6,6,6,6,4,4,4,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,也可以说平均数为各个不同数字乘以相应频率之和。,4,、,4,、,4,、,6,、,6,、,6,、,6,、,8,、,8,、,8,月均用水量,/t,频率,/,组距,o,4.5,4,3.5

3、,3,2.5,2,1.5,1,0.5,0.50,0.40,0.30,0.20,0.10,如何从频率分布直方图中估计众数？如图：,2.25,众数,在样本数据的频率分布直方图中，,就是,最高矩形的中点的横坐标,。,思考：,频率分布直方图中估计的众数与原始,数据中的众数,2.3,不同，为什么？,在频率分布直方图，我们只能直观地看出,数据的大概分布情况，从直方图本身得不出,原始的数据内容，直方图已经损失一些样本,信息。,讨论：,众数估计总体情况有什么优缺点？,能够体现样本数据的,最大集中点,，但它,对其它数据信息的忽视,使得无法客观地反映,总体特征。,如何从频率分布直方图中估计中位数？,0.02,0.

4、04,0.06,0.14,0.25,0.22,0.15,0.08,0.04,月均用水量,/t,频率,/,组距,o,4.5,4,3.5,3,2.5,2,1.5,1,0.5,0.50,0.40,0.30,0.20,0.10,前四个小矩形的,面积和,=0.49,2.02,后四个小矩形的,面积和,=0.26,分析：,在样本数据中，有,50%,的个体小于或等于中位数，也有,50%,的个体大,于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图,的面积应该相等。,总结：,在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分,左右两,个面积相等的分界线与,x,轴交点的横坐标,称为,中位数,。,注,:,图中

5、的数据是小矩形的面积即频率,上图中，设中位数为,x,，则,02,.,2,5,.,0,5,.,0,),2,(,22,.,0,15,.,0,08,.,0,04,.,0,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,思考：,2.02,这个中位数的估计值，与样本数据的中,位数,2.0,不同，为什么？,从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容，,频率分布直方图已经损失一些样本信息。,思考：,中位数不受少数极端值的影响，这在某些情,况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成,为缺点，你能举例说明吗？,考察,100,位居民的月均用水量表中的数据，如果把,最后一个数据错写成,22,，并不会对样本中位数产生影,响

6、也就是说,对极端数据不敏感,的方法能够有效地预防,错误数据的影响，而在实际应用中人为操作的失误经,常造成错误数据。,对极端值不敏感有利的例子,:,某人具有,初级计算机专业技术水平,，想找一,份收入好的工作。这时如果采用各个公司计算机,专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考,指标就会冒这样的风险：,很可能所选择公司的初,级计算机专业技术水平人员的收入很低，,其原因,是中位数对,极小的数据不敏感。,这里更好的方法是同时用平均数和中位数来,作为参考指标，选择平均数较大且中位数较大的,公司就业。,对极端值不敏感有弊的例子：,如何从频率分布直方图中估计平均数,？,注,:,图中的数据是小矩形的面积即频

7、率,0.02,0.04,0.06,0.14,0.25,0.22,0.15,0.08,0.04,月均用水量,/t,频率,/,组距,o,4.5,4,3.5,3,2.5,2,1.5,1,0.5,0.50,0.40,0.30,0.20,0.10,.,.,.,.,.,.,.,.,0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,.,2.75,3.25,3.75,4.25,平均数,等于频率分布直方图中,每个小矩形,的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和,。,2.02,思考：,平均数估计总体情况有什么优缺点？,平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中,位数比较起来，平均数,可以反映出更多的关于样本,数据全体的

8、信息,，但平均数受数据中的,极端值的影,响较大,，使平均数在估计时可靠性降低。,想一想：,某次数学期中考试，毛毛同学得了,78,分。,全班共,30,人，其他同学的成绩为,1,个,100,分，,4,个,90,分，,22,个,80,分,以及一个,2,分和一个,10,分。毛毛计,算出全班的平均分为,77,分，所以毛毛回家告诉妈妈,说，他这次成绩处于班级“中上水平”。这种说法,对吗？,探究：课本,P,73,你认为“我们单位的收入水平比别的,单位高”这句话应当怎么解释？,以员工平均工资收入水平去描述他们单,位的收入情况。这是不合理的，因为这些员,工当中，少数经理层次的收入与大多数一般,员工收入的差别比较

9、大，,平均数受数据中的,极端值的影响大,，所以平均数不能反映该单,位员工的收入水平。这个老板的话有误导与,蒙骗行为,三种数字特征的优缺点,特征数,优,点,缺,点,众数,中位数,平均数,体现了样本数据的最,大集中点,不受少数极端值,的影响,与每一个数据有,关，更能反映全,体的信息,.,无法客观反映总,体特征,不受少数极端值的,影响有时也是缺点,受少数极端值的影,响较大，使其在估,计总体时的可靠性,降低,.,【众数、中位数、平均数的简单应用】,例,某工厂人员及工资构成如下：,人员,经理,管理人员,高级技工,工人,学徒,合计,周工资,2200,250,220,200,100,人数,1,6,5,10,

10、1,23,合计,2200,1500,1100,2000,100,6900,（,1,）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数,（,2,）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水,平吗？为什么？,分析,：,众数为,200,，中位数为,220,，平均数为,300,。,因平均数为,300,，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平,均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真,实地反映该工厂的工资水平。,【课本,P74,练习】,应该采用,平均数,来表示每一个国家项目的平均金,额，因为它能反映所有项目的信息,.,但,平均数会受到,极端数据,2200,万元的影响，所以大多数项目投资金额

11、,都和平均数相差比较大,.,假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市,26,个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为,2200,万元,人民币，另外,25,个项目的投资是,20100,万元。中位数是,25,万元，平均数是,100,万元，众数是,20,万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个,项目投资的平均额？你选择种数字特征的缺点是什么？,【课堂练习】,1.,若,M,个数的平均数是,X,，,N,个数的平均数是,Y,，则,这,M+N,个数的平均数是多少？,2.,如果两组数,x1,，,x2,，,，,xn,和,y1,，,y2,，,，,yn,的,样,本,平,均,数

12、,分,别,是,x,和,y,，,那,么,一,组,数,x1+y1,，,x2+y2,，,，,xn+yn,的平均数是,_,3.,已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到,-1,，,0,，,4,，,x,7,，,14,，中位数为,5,，则这组数据的平均数为,（,）,A.4,B.5 C.6,D.7,N,M,NY,MX,?,?,y,x,?,B,4.10,名工人某天生产同一零件，生产的件数是,15,17,14,10,15,17, 17,16, 14,12,设其平均数为,a,，,中位数为,b,，众数为,c,，则有,（,）,A.a,b,c,B.b,c,a,C.c,a,b,D.c,b,a,5.,下图是某学校举行的运动会

13、上七位评委为某体,操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高,分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（,）,7 9,8 4 4 6 4 7,9 3,A.84,B.85 C.86,D.87,D,B,【小结】,1,、如何从样本数据中求众数、中位数、平均数？,2,、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、,平均数？,3,、利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特,征时各自的优缺点。,作业,金太阳导学测评,（十六）,2.2,用样本估计总体,.2.2,用样本的数字特征估计总体的,数字特征,第二课时,标准差,引例,有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十,次，每次命中的环数如下：,如果你是教练，你应当如何对

14、这次射击情况作出评价？,如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？,甲,7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙,9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,众数,中位数,平均数,甲运动员,乙运动员,7,7,7,7,7,7,引例,有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶,十次，每次命中的环数如下：,如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？,如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？,甲,7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙,9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,标准差,定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，,常用,s,表示,.,1,、平均距离,n,x,x,x,x,x

15、,x,S,n,|,|,|,|,|,|,2,1,?,?,?,?,?,?,?,假设样本,数据是,表示这组数据的平,均数,到,的距离是,于是,样本数据,到,的“平均距离”是,:,n,x,x,x,2,1,?,x,i,x,x,),2,1,(,|,|,n,i,x,x,i,?,?,?,n,x,x,x,2,1,?,x,规律：标准差越大，,则,a,越大，数据的,离散程度越大；反,之，数据的离散程,度越小,.,2.,标准差,),(,),(,),(,1,2,2,2,2,1,x,x,x,x,x,x,n,s,n,?,?,?,?,?,?,?,?,它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，,标准差常被理解为稳定性。,标准

16、差的取值范围是什么,?,标准差为,0,的样本,数据有什么特点,?,标准差是怎样表现数据的离,散程度的,?,标准差的取值范围,:,0,+),标准差为,0,的样本数据都等于样本平均数,.,标准差表现为：标准差越大，表明数据的离散程,度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离,散程度就越小。,它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，,标准差常被理解为稳定性。,标准差的作用,:,例,1,：,画出下列四组样本数据的条形图，说明,它们的异同点。,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,；,（,2,）,4,，,4,，

17、,4,，,5,，,5,，,5,，,6,，,6,，,6,；,（,3,）,3,，,3,，,4,，,4,，,5,，,6,，,6,，,7,，,7,；,（,4,）,2,，,2,，,2,，,2,，,5,，,8,，,8,，,8,，,8,。,例,2,：,甲乙两人同时生产内径为,25.40mm,的一种零件,.,为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件,中各抽出,20,件，量得其内径尺寸如下（单位：,mm ),甲,乙,从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？,X,甲,25.401,X,乙,25.406,s,甲,25.401,S,乙,25.401,结论：甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳,定程度较高，

18、故甲生产的零件质量较高,.,二,.,方差的概念,:,定义,:,标准差的平方叫做方差,即,:,),(,),(,),(,1,2,2,2,2,1,2,x,x,x,x,x,x,n,s,n,?,?,?,?,?,?,?,?,【练习】,求数据,1,，,2,，,3,，,4,，,5,的平均数与标准差。,品种,第一年,第二年,第三年,第四年,第五年,第六年,甲,900,920,900,850,910,920,乙,890,960,950,850,860,890,解,:,依题意计算可得,x,1,=900 x,2,=900,s,1,23.8 s,2,42.6,甲乙两种水稻,6,年平均产量的平均数相同,但,甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定,.,1.,农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中,连续,6,年的年平均产量如下（单位：,500g,）：,那种水稻的产量比较稳定？,解,: (1),平均重量约为,496.86 g ,标准差约为,6.55,(2),重量位于,(x-s , x+s),之间有,14,袋白糖,所占,百分比为,66.67%.,2.,一个