微积分上期末考试试题A卷附答案

1、 ) 10分一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题分，共计1 。1_?2limx ?0x? 不存在 0 （D） + （C（A ） - （B ）x?x?f(x) 。 _0?x的极限为时，2当x ）不存在）2 （D） 0 （B ） 1 （C （A _。列极限存在，则成立的是下 )(ax)?ff(a?(0)?ff(tx) ?lim)a)A?f(0)tf(B)lim? x?x?0?x0?x)?t)f(x?tf(x?)(x)?f(af ?00 )(?2fx(C)lim)(?fa(D)lim 0txa?0t?0x?(fx)?是f(x(0)?0,limf)0的_。?1,f则 ）有二阶连续导数，且（ 设

2、fxx0?x（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点 ?(xg),(x)?f则下列各式 若成立。 5 ?C)Bf(x)?(A)f(x)?x(x)?0(x)d(x(C)?(dfdd? dx(x)f(x)dx?(D) dxdx二、 填空题（每小题3分，共18分） f(2x)?1处可导，f(0)?0,且limf(x)在x?0y?f(x)在原点处的1. 设，那么曲线 sinx0?x_。 切线方程是 f(x)?x3?x 上满足罗尔定理，则定理中的= 函数 0，3。 在区间 1?(x),那么dxff(x)的一个原函数是? 3设 。 lnx x?(x)在x?f_点取得极_

3、值。,?xef(x) 那么24设阶导函数 Q?5?2P，那么在的水平上，若价格设某商品的需求量是价格的函数 5下降1，需求量将 。 x?11dy(u)f?,(u),u?yf? 6若 且 。 ux?1dx 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1lim )x(ln1?lnx 、1 求 e?x1lim ?xe(1?x)x 2、?x11,求常数a、b、x?时，无穷小量c. 3、设 2ax?2x?c1?bx1?dx 4、 1?x?2)x(x?e2)ln(?dx、 5 xexcosx?dx 、6 3xsin?(0)x?f0?(xg)?g(x)。 f7、设函数f(x)具有二阶导数，且（0）=0, 又，求

4、)(xf?x?0? x?四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。 （1） 求边际收益函数和边际成本函数； （2） 求使销售利润最大的商品单价。 2x?1?y的图形 12五、（分）作函数 2(x?1)六、证明题（每题5分，共计10分） ?(x)(a,b)f(xa),bf)a,bxf(上的表达式为在内是常数，证明在 1、设函数 上连续，且在f(x)?Ax?B,其中A、B为常数。 ?(x)?k?0,f(0)?0.f(x)(0,?f)0,)(fx?)内仅有一个设函数、2证明且在上可导，在零点。 微积分（上）期末

5、考试试卷答案(A) 一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题分，共计10分) 1C； 3.B C; 4.A; 5.B C. ； 2 D二、 填空题（每小题3分，共18分） 1?1 2 31. C?y?x 22xlnxdy22% 上升? X=2,极小值 5 64 2dxx?1 分）：三、计算题（每小题6分，共421lim )x(ln1?lnx 、 求1ex?11 xy?(ln)ln(ln)_2?x分lnyxln1? 解：令，则 1?lnx11 xlnx=-1-3分ln(lnx）?limlimlny?lim 1xln1?0?0x?x0x? x?1-1e分limy? x?01lim ?x?x)e

6、(1x 3、 ?x11lim x(1?)e?1?2分x 解：原式= xx?111 e?e?1xx1xlim ?分?2?4?lim(1?e)?x 1?x?x x11c.、b,求常数a、x?时，无穷小量 3、设 2bx?2x?c1ax?2cax?2x1?解：由3分 1bx? 3分 c得a=0，b=-2，取任意实数。 1111 ?ddx?x?1dx? 4解： 3分 22x(?x11?1)?(?2)x(?x?11x11 ?arctgx?1?C 3分 2 x?2)e1ln(x?x?xx?dxe?2)?ln(e2)de?eln(dx? 5、解 2分 xxe?e2 xxe21e?xx?dx?2)?eln(e

7、 2分 x22e? 11x?xx?2)ln(?2)?C?eex?ln(e? 22 分 211 xx?C)ln(e2)?e?x?( 22xcosx11?xddx? 分 2 6、解： 322sinxsinx 1x2?xdxcsc? 2分 22sinx 1x1?ctgx?C? 2 分 22sinx2 ?(0)x?0f?g(x)? ， f(x)具有二阶连续导数，且f（0）=0, 又7、设函数)f(x?x?0? x?(x)g 求?(x)?f(xfx)?(x)?0时，g当x)gx(解： 连续，这时 2分 2x ?1?f(0)f(0)(x)f(x)?xf?(0)lim?lim?时，当x?0gf(0) 3分

8、22x2x 0x?x?0?(x)?f(xxf)?,x?0,? 2?x?(x)g? 1所以分 ?1 ?0.?(0),fx ?2?四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。 （3） 求边际收益函数MR和边际成本函数MC； （4） 求使销售利润最大的商品单价。 25;?,MC1200?P?8PMR?PQ 3分1解：（） 2）利润函数 （2?1240P?P?CPQ)(LP?88500, 分 1 155?,得P=1240?0P)?16P令L?( 2?(p)?唯一驻点，又L16?0, 2分 P=155/2时利润最大。

9、 2分 2x?1?y的图形五、（12分）作函数 2(x?1)?,x?1?11,?,是间断点 答案： （1）定义域是 1分 （2）渐近线 2x?1lim,0? 为水平渐近线因故y=0 2(x?1)?x2x?1lim,?因 2分 为垂直渐近线故x=1 2)1x?( 1?x (3)单调性、极值、凹凸及拐点 ?2x,y?,?0y令得x=0 3(x?1)12x?4?y,0y?x 令得 42)?1(x 再列表 x11101),1(0(1,?)?)(?,0),?(?222?y 19(?,?)1)f(0?. 是极小值；拐点6分 28 135x?y?x 时，当时时,y=8;当x=2,y=3；当x=3 1分选点当(4) y=0; 时， 224 分2 略 描点作图(5) 六、证明题（每题5分，共计10分） ?(x)(a,b)ff(x)a,bxf()a,b上的表达式为上连续，且在 1、设函数内是常数，证明 在在f(x)?Ax?B,其中A、B为常数。 ?(x)?fk,在（a，b）内任取一点x，在区间a，证明：设x上由拉格朗日中值定理有：?x?x)a?x)?k?f(x)?f(a)f(a)(a 2分 f(x)?kx?ka?f(a)?Ax?B(其中A?k,B?ka?f(a) 则 2分 时，上式也成立。 当x=a 1分 ?)f0,f(0)?0.(x)?(0,kf0,f(