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文档简介

1、一、随机变量方差的定义及性质,三、例题讲解,二、常见概率分布的方差,第二节 随机变量的方差,四、小结,上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,乙仪器测量结果,甲仪器测量结果,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢

2、?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,中心,中心,为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们要介绍的方差。,1. 方差的定义,一、随机变量方差的定义及性质,方差描述了随机变量X取值对于数学期望的分散程度.如果Var(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果Var(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2. 方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,3. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,证明,(2) 利用公式计算,证明,4.

3、 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,解,例1,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,推广,1. 两点分布,则有,二、常见概率分布的方差,2. 泊松分布,则有,所以,3. 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,4. 指数分布,则有,5. 正态分布,则有,分布名称,参数,数学期望,方差,解,例,于是,求:Var(X),解:,例 2,设连续型随机变量X的密度函数f(x)为:,设随机变量X, , 求,EX,称 为随机变量X的标准化.,解,例2,因此有,三、契比雪夫不等式,契比雪夫不等式,例 在每次试验中,事件A发生的概率为0.5. 利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中,事件A发生的次数在400 600之间的概率.,解: 设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数, 则 X B(1000,0.5), E(X)=10000.5=500,D(X)=10000.50.5=250,于是由切比谢夫不等式得,四、小结,1. 方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果Var(X)值大,表示X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果Var(X)值小, 则表示X 的取值比较集中

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