概率统计 7系 总复习

1、第一章 随机事件的概率,2020/12/19,2,一、随机试验,二、随机事件,三、样本空间,2020/12/19,3, A 包含于B,且,1. 事件的包含,2. 事件的相等,四、随机事件的关系和运算,或,3. 事件的并(和),4. 事件的交(积),5. 事件的差,6. 事件的互不相容( 互斥),7. 事件的对立(逆事件的概念),2020/12/19,4,吸收律,重余律,差化积,幂等律,2020/12/19,5,交换律,结合律,分配律,反演律,德莫根(De Morgan)公式,2020/12/19,6,设古典型随机试验E中的事件A包含k个基本事件，,则称 为事件A的概率。,1 古典型随机试验：

2、设(1)样本空间只包含有限个基本事件， 即 (2)每个基本事件发生的可能性相等， 即 则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。,一 概率的古典定义,概率的这种定义称为概率的古典定义或古典概率。,2 古典概率的定义（计算公式）：,2020/12/19,7,1 几何概型: 设S是一个可度量的有界区域 (如：线段，平面有界区域，空间有界区域等等)， 随机试验：向区域S内投掷一质点M，观察质点位置。 若质点落在S内的任意子区域A内的可能性大小与A的 度量(记作L(A) )成正比，而与A的位置和形状无关， 则称此试验为几何型随机试验，简称几何概型。,二 概率的几何定义,2 几何概率的定义:,为事件A

3、的概率。,2020/12/19,8,统计概率的定义： 若随着试验次数n的增大， 事件A发生的频率fn(A)在某个常数p(0p1)附近摆动，并且逐渐稳定于p， 则称该常数p为事件A的概率，即P(A)=p。 并把这样定义的概率称为统计概率（经验概率）。,三 概率的统计定义,2020/12/19,9,定义 设P(A)是定义在集合F上（试验E的全体事件(包含和S)所组成的）的一个实值函数。 若P(A)满足下列三个性质： (1) 对每一个AF,成立0P(A)1; (2) P(S)=1； (3) 对互不相容的,则称P(A)为事件A的概率。,四、 概率的公理化定义,2020/12/19,10,由定义可以推导

4、出概率还具有下列几个性质：,(4) 不可能事件的概率为0，即P()=0;,(5)概率具有有限可加性,即 若A1，A2，An互不相容,则,(6)对任意事件A,有,2020/12/19,11,(7)若BA，则,且,(8)对任意事件A,B有,.,2020/12/19,12,设A,B为试验E的两个事件，且P(B)0,1 条件概率定义,在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。,则称,2 乘法公式,P(AB)=P(B)P(A|B), (P(B)0),P(AB)=P(A)P(B|A), (P(A)0),2020/12/19,13,全概率公式与贝叶斯公式,定理 设事件组B1，B2，Bn满足：,(2) B1

5、，B2，Bn互不相容； (3) P(Bi)0，i=1,2, ,n,(1),(I)对任意事件A，恒有,则,(II)对任意事件A(P(A)0)，有,(贝叶斯公式),(全概率公式),2020/12/19,14,定义 对任意两个事件A、B,若 则称A与B相互独立,简称独立.,定理 对任意事件A,B, 设P(B)0, 则A与B独立的充分必要条件是 P(A|B)=P(A),1 两个事件的独立性,第五节 事件的独立性,2020/12/19,15,定理 若A与B独立, 则 (1) A与 独立; (2) 与 B 独立; (3) 与 独立.,（1）相互独立：事件发生的概率之间的关系 互不相容：事件之间的关系,（2

6、）有限个或可列无穷多个事件: 相互独立 两两独立 互不相容 两两互不相容,相互独立与互不相容的区别,第二章 随机变量及其分布,2020/12/19,17,定义 设随机试验E的样本空间为S=e, 如果对于每一个样本点eS,都有确定的实数值X(e)与之对应，,则称这样的实值变量X=X(e)为随机变量，简记为X。,随机事件的概率问题转化为随机变量取值的概率问题。,2020/12/19,18,第二节 随机变量的分布函数,1定义 设X为随机变量， 对于任意实数x，令,称F(x)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数。,记为,2020/12/19,19,(1)取值范围: , 且,(3)右连续,(2)单调

7、不减: 即,2分布函数 F(x)具有以下基本性质：,反之 若定义在,则F(x)一定是某随机变量X的分布函数。,上的实函数F(x)满足性质(1)-(3)，,2020/12/19,20,(4)对任意实数,(5)对任意实数x0 ，有,分布函数 F(x)还具有性质：,2020/12/19,21,1 离散随机变量的定义： 若随机变量X只可能取有限个或可数个实数值：,第三节 离散型随机变量 及其概率分布,X取各个可能值的概率,称为离散型随机变量X的概率分布(或分布律,或分布列).,则称X为离散型随机变量。,2020/12/19,22,4 离散型随机变量: 分布律和分布函数可互相确定,定理：设离散型X分布律

8、,(1) X的分布函数,(2)对于任意区间I，有,(3)由分布函数可确定分布律,，则,2020/12/19,23,第四节 常用离散型随机变量的分布,两点分布、二项分布、泊松分布,具有代表性的离散型随机变量分布:,2020/12/19,24,设随机变量X的分布函数为F(x), 如果存在一个定义在(，+)上非负可积函数f(x)， 使得对任何实数x，恒有,则称X为连续型随机变量, 称函数f(x)为随机变量X的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.,第五节 连续型随机变量及其概率密度函数,1定义,2020/12/19,25,(1) 对一切x(，+), f(x)0， (2),反之, 任何一个具有

9、性质(1)和(2)的实数域上的可积函数f(x)， 可成为某个连续型随机变量的概率密度函数.,2 概率密度函数f(x)的性质,2020/12/19,26,3定理 设X为连续型随机变量, 分布函数为F(x),概率密度为f(x),则有,是连续函数;,(2) 若f(x)在x0点连续，则F(x)在x0点可导,且,若f(x)是分段连续函数，只有有限个不连续点， 则,2020/12/19,27,连续型随机变量取任何特定值的概率都是0。,连续型随机变量在任一区间上取值的概率： 此区间上概率密度函数曲线下方的曲边梯形的面积。,2020/12/19,28,第六节 常用的连续型随机变量分布,具有代表性的连续型随机变

10、量分布有以下几种:,一 、均匀分布,二、 指数分布,三、威布尔(Weibull)分布,四、分布,五、正态分布,2020/12/19,29,1 参数=0,=1的正态分布，即N(0,1)， 称为标准正态分布， 其概率密度和分布函数分别用(x) 和(x)表示，即有,六、标准正态分布,2020/12/19,30,的性质:,即(x)在区间(-，+)上严格单调递增.,2,2020/12/19,31,3 一般正态分布N(,2)与标准正态分布N(0,1)的关系,F(x)与 (x)的关系,第三章 二维随机变量,2020/12/19,33,设试验E的样本空间为S=e, 而X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的两

11、个随机变量。 称由这两个随机变量组成的向量(X,Y) 为二维随机变量或二维随机向量。,定义1:,2020/12/19,34,称为二维随机变量的分布函数 或称为随机变量X和Y的联合分布函数.,定义2: 设(X,Y)为二维随机变量, 对任意实数x, y, 二元函数,2020/12/19,35,分布函数F(x,y)的性质：,定义域:,(1)分布函数的取值范围：,特殊值,2020/12/19,36,（2）F(x,y)对x或对y单调不减，即,（3）F(x,y)对x或对y右连续，即,(4) 对任意实数x1x2, y1y2 有,2020/12/19,37,反之: 凡满足上述性质(1)(4)的二元函数F(x,

12、y) 必定是某个二维随机变量的分布数。,2020/12/19,38,则称(X,Y)是离散型随机变量.,称它为二维离散型随机变量(X,Y)的(概率)分布律, 或称为X和Y的联合(概率)分布律。,二维离散型随机变量,2 记,1定义 若二维随机变量(X,Y)的所有取值 为有限对或可列对,3 二维离散型随机变量(X,Y) 分布律的基本性质:,(1),(2),2020/12/19,39,其中和式是对所有使(xi,yj)D的i,j求和。,定理 设(X,Y) 的分布律为,则随机点落在平面上任一区域D内的概率,D,2020/12/19,40,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 若有非负可积函数

13、f(x,y),使得对任意实数x,y,恒有,二维连续型随机变量,1定义,则称(X,Y)是二维连续型随机变量, 称函数f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度.,2020/12/19,41,2 (X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列基本性质:,(1),(2),反之, 若二元函数f(x,y)满足上面两条基本性质, 则它一定是某个二维随机变量(X,Y)的概率密度.,显然,如果概率密度f(x,y)在点(x,y)处连续,则有,2020/12/19,42,定理 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则有,(1) 设D为平面上任一区域,则：,3 利用概率密度

14、计算概率,(2),2020/12/19,43,定义: 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y). （分量X与Y的联合分布函数）,分量Y的分布函数：,称FY( y )为(X,Y)关于Y的边沿分布函数.,边沿分布函数(或边缘分布函数),称FX( x )为(X,Y)关于X的边沿分布函数;,分量X的分布函数：,2020/12/19,44,定理 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为 则(X,Y)关于X的边沿分布律为,(X,Y)关于Y的边沿分布律为,边沿分布律的计算公式,(X,Y)关于Y的边沿分布律：联合分布律表中各列概率相加.,(X,Y)关于X的边沿分布律：联合分布律表中各行概率相加.,2

15、020/12/19,45,为在Y=yj的条件下，X的条件分布律.,定义 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,为在,的条件下，Y的条件分布律;,2020/12/19,46,条件概率密度的计算公式:,边沿概率密度的计算公式:,2020/12/19,47,例1 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求关于X和Y的边沿概率密度.,解:,当0 x 1时,当x1时, 因f(x,y)=0, 则fX(x)=0,(X,Y)关于X的 边沿概率密度为:,2020/12/19,48,定义 设X,Y为两个随机变量,若对任意实数x,y有,相互独立的随机变量,随机变量X,Y相互独立:,则称X与Y相互独立,简称独立.,

16、X,Y相互独立判别定理:,X与Y相互独立,2020/12/19,49,定理 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,离散型随机变量相互独立判别定理:,则X与Y相互独立的充要条件是:,即,2020/12/19,50,定理二 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y). 分别是(X,Y)关于X和Y的边沿概率密度,连续型随机变量相互独立,判别定理:,则X与Y相互独立 (几乎处处).,第四章 随机变量的函数的分布,2020/12/19,52,定理 设离散型随机变量X的分布律为,(1) 若对于X的不同取值xi, Y=g(X)的取值g(xi)=yi也不同, 则随机变量Y=g(X)的分布律为:

17、,(2) 若对于X的有限个或可列无穷多个不同的取值,有,则有,第一节 离散型随机变量的函数的分布,一维离散型随机变量的函数的分布律,2020/12/19,53,定理 设离散型随机变量X的分布律为,(1) 若对于(X,Y)的不同取值(xi, yi), 随机变量Z=g(X,Y)的取值g(xi, yi)也不同, 则随机变量Z=g(X,Y)的分布律为:,(2) 对于(X,Y)的有限个或可列无穷多个不同的取值,有,则,二维离散型随机变量的函数的分布律,2020/12/19,54,定理 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 函数y=g(x)在区间(a,b)上严格单调, 其反函数x=h(y)有连续导数,

18、 则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为:,其中(c,d)为y=g(x)的值域.(证明见书),y =g(x)在区间(a,b)上严格单调递增，,y =g(x)在区间(a,b)上严格单调递减，,第二节 一维连续型随机变量的函数的分布,2020/12/19,55,该定理实际做题时可套用, 也可按其证明的方法进行做题:,求随机变量的函数的概率密度的一般方法:,的分布函数,然后,对,求导数得到概率密度,先求,2020/12/19,56,若定理的函数y=g(x)不是严格单调的, 但是在不相重叠的区间I1, I2, 上逐段严格单调, 其反函数分别为h1(y), h2(y), , 而且 均为连续函数

19、， 则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为:,其中，I*是使得 连续的y的集合。,2020/12/19,57,第三节 二维连续型随机变量的函数的分布,一、Z=X+Y的分布,二、Z=max(X,Y)的分布,三、Z=min(X,Y)的分布,2020/12/19,58,A,B,O,x,y,x+y=z,第二型曲线积分,一、Z=X+Y的分布,2020/12/19,59,已知(X,Y)的概率密度函数f(x,y), 求Z=aX+bY+c的概率密度函数fZ(z). (其中a,b不全为0),公式,2020/12/19,60,二 Z=max(X,Y)的分布函数,2020/12/19,61,设X1,X2,

20、Xn是n个相互独立的随机变量, Xi的概率密度为fi(xi),分布函数为Fi(xi), i=1,2,n. 则Z=max(X1,X2,Xn)的分布函数为,上述结果推广到n个随机变量的情形:,特别地, 当X1,X2,Xn相互独立, 且具有相同的概率分布 (概率密度为f(xi),分布函数为F(xi), i=1,2,n),如果X与Y独立,此时,则,2020/12/19,62,三、Z=min(X,Y)的分布,2020/12/19,63,如果X与Y独立,则,或,2020/12/19,64,当X1,X2,Xn独立同分布， (概率密度为f(xi),分布函数为F(xi), i=1,2,n)时,则,设X1,X2,

21、Xn是n个相互独立的随机变量, Xi的概率密度为fi(xi),分布函数为Fi(xi), i=1,2,n. 则Z=min(X1,X2,Xn)的分布函数为,上述结果推广到n个随机变量的情形:,第五章 随机变量的数字特征,2020/12/19,66,若级数,绝对收敛(即,收敛)，,定义 设X的分布律为：,记为,1. 离散型随机变量X的数学期望：,为X的数学期望，,则称级数,2020/12/19,67,2. 离散型随机变量X的函数的数学期望：,设Y=g(X)，g(x)是连续函数；,定理 设X是离散型随机变量,且,若级数,绝对收敛,则有：,2020/12/19,68,定义 设X的概率密度为f(x)，,绝

22、对收敛(即,收敛),为X的数学期望，,3. 连续型随机变量X的数学期望：,记为,若积分,则称积分,2020/12/19,69,4.连续型随机变量X的函数Y=g(X) 数学期望:,定理 设随机变量X的概率密度为f(x)， 若积分,则随机变量Y=g(X)的数学期望,绝对收敛，,2020/12/19,70,定理 设(X,Y)为随机变量，g(x,y)为连续函数， 那么Z=g(X,Y)是一个随机变量.,5. 随机向量的函数的数学期望,(1) 若(X,Y)为离散型随机变量， 其分布律为,则有:,其中,绝对收敛.,2020/12/19,71,(2) 若(X,Y)为连续型随机变量, 其概率密度为f(x,y),

23、 则有:,其中,绝对收敛.,2020/12/19,72,(1) 设C为常数,则有E(C)=C;,(3) 设X,Y为任意随机变量,二. 数学期望的性质,(2) 设C为常数,X为随机变量,则有,则有,随机变量, 则有,性质(3)可以推广到任意有限个随机变量的和的情形:,设,为常数,利用性质(1,2,3):,2020/12/19,73,(4) 设X,Y为相互独立的随机变量,则有,性质(4)可以推广到任意有限个随机变量的积的情形:,设,为相互独立的随机变量,则有,2020/12/19,74,若E(X EX)2 存在,一. 方差概念,定义,即 D (X ) = E(X EX)2,则称其为随机变量 X 的

24、方差, 记为D (X ) 或 Var (X ), 描述 X 的取值 偏离均值的平均偏离程度.,(常用计算公式),2020/12/19,75,(2) 设k为常数,X为随机变量,则有,D(X+Y)=D(X)+D(Y),二.方差的性质,(1) 设C为常数,则有D(C)=0;,(3) 设X,Y相互独立的随机变量,则有,(a,b,c为常数),设X1,X2,Xn为相互独立的随机变量, 则有,(4),2020/12/19,76,第三节 常用随机变量的 数学期望和方差,2020/12/19,77,正态分布的性质,(k1,k2,b为常数, k1,k2不全为零),定理1: 设,则 (1),(2) X1,X2相互独

25、立,(3) 当0时,服从正态分布,2020/12/19,78,定理2 设随机变量,相互独立,是连续函数,设：,则Y1, Y2相互独立,2020/12/19,79,第四节 协方差和相关系数,定义 称数值E(X-EX)(Y-EY) 为随机变量X与Y的协方差。,一 协方差,即,另一个常用的计算公式:,2020/12/19,80,协方差的性质:,其中a,b是常数,若X与Y相互独立, 则,但是由, 推不出X与Y相互独立.,(4),若X与Y不相互独立, 则,2020/12/19,81,X与Y独立,则D(X+Y)=DX+DY,2020/12/19,82,定义 称数值,相关系数或标准协方差,二 相关系数,为随

26、机变量X与Y的,记作XY, 或简记作,即:,显然:,2020/12/19,83,定理 若X与Y相互独立，则,即： X与Y相互独立X与Y不相关,但是, 由X与Y不相关推不出X与Y相互独立。,定义 若随机变量X与Y的相关系数=0, 则称X与Y不相关。,2020/12/19,84,定理 对相关系数,相关系数的性质:,其中a,b是常数.,第七章 统计量及其分布,2020/12/19,86,(1) 所谓总体就是一个随机变量X, (2) 所谓样本就是n个相互独立且与X有相同分布的随机变量X1,X2,Xn。, 简单随机样本,2020/12/19,87,第二节 样本矩和统计量,一、样本矩 设X1,X2,Xn为

27、来自于总体X的一个样本,称,为样本均值,为样本方差,为样本k阶矩（或k阶原点矩）,为样本k阶中心矩。,显然，上述样本矩都是随机变量。,2020/12/19,88,定义1 设X1，X2，Xn为总体X的一个样本， g(x1, x2, , xn)为一个连续函数， 则称 g(X1, X2，, Xn)为样本的一个统计量,在研究总体的性质时， 除了用到样本外，还要用到由样本构造的某种函数。 这种函数在数理统计中称为统计量。,二、统计量,2020/12/19,89,第三节 统计量的分布,2020/12/19,90,设总体XN(，2)， X1,X2,Xn是来自于X的一个样本, 则样本的线性函数:,服从正态分布， 且它的数学期望和方差分别是,1、正态总体样本的线性函数的分布,特别地，当,线性函数Y正好是样本的均值，即,2020/12/19,91,2.,分布,( n为自由度 ),定义 设,相互独立,且都服从标准正态分布N (0,1),称 服从自由度为n的 分布, 记作,2020/12/19,92,1 若X2(n), 则X的数学期望和方差分别是EX=n, DX=2n.,2分布的性质:,设X1,X2，,Xn相互独立, 且都服从N(,2), 则,3,与S2相互独立；,(2),(1),其中：,2 若,且X1与X2相互独立，,则,2020