狭义相对论几个公式公式推导

1、 陈金江福建省永春县东关中心小学 运动物体的长度缩率公式和不同点上的时刻公式推导光的传播速度相对任何参照系都爱因斯坦曾假设：“在真空中，一样：不论发光体的运动速度如何，也不论光接受体的运动速度如”否则，我们观察到遥远何，光波相对它们的传播速度都是一样的。 的恒星（特别是双星）将会发生十分混乱的现象。根据这个假设，可以推导出：运动方向上长度的缩率和另参照 系看我参照系同时事件的情况的规律。参照系SB，它们分别在设在S系中看到两条等长线段AB和A参照S光秒/秒。并且在S参照系。S和S相对运动速度为v和 =a光秒。如图所示：B系看来：AB=A 0秒）B（t秒） （A P 秒V光秒/ S系 Q 秒）（

2、0A B（0秒） B A P Q 秒光秒V/S S系 Q 1 图 A BBB相遇时，和会发出闪光，或和相遇时，和设AAAAB 也会发出闪光。B和是同时和B和,所以AA与B我们在S系看来，由于AB=AB相遇，在S相遇的，所以它们同时发出闪光。光波将在AB中点Q系的传播速度和相遇（因为光波对S系中光波也必在相应点Q 运动无关）。S系看来，两次闪光不是的中间，所以在S点不在AB由于Q发出的光波走的距ABQ比同时的。因为B发出的光波走的距离先相遇，B后闪光。也就是B和 AQ多。因而是B先闪光，A离S系看来是不同时的，而是BAA和A后相遇。和B的时刻在 早，A迟。系看B不同时相遇，所以SAS系中，由于、

3、A和B、在先相遇，所以必是、B也不相等。因为AB和ABB到的两条段 2所示：ABAB。情况如图 秒） B（0（A0秒） /秒V光秒 秒） B（0秒）A（ t秒后 秒） （BtP t（秒）AS 秒光秒V/ 系S2v （A0秒）?1 秒）（Bt 2c Q P S 秒V光秒/图2 系S Q发出闪光时，A、A的时刻数，B、B的时刻数与在S系中看到的是一样的。光波相遇点Q在AB中的位置比例，Q在AB中的位置比例和在S系中看到的一样，所以并不矛盾。 综上所述，在S系看来是同时的事件，相等的线段，而在S系中看来却是不同时，不相等的。那它们有什么规律呢？ 在S系看来AB的长度为a光秒，而在S系看来则缩短了，小

4、于a光秒。同样，在S系看来AB也是a光秒，其实也是缩小了的，在S系中看到的AB实际长度要大于a光秒。它们的缩率是相等的，设为n。 由图1得，在S系中，从AB发光到光波相遇，两系已相对运动avav光秒。也就是AB与AB的中点错开的距离PQ=。（见图1）了 c22cav所以在=。Q系看来应是由于S系系已把这距离缩短了，在SP cn2av 光秒。发出的光波比A发出的光波多走了S系看来B cn假设S系中看到B、B相遇发出闪光后，再经过t秒，A、A才相遇发出闪光。则在S系看到的A的时刻数应比B的时刻数多光ct多波光 发出的A发出的光波比B系认为S秒。因此tav=ct (1) 秒。联系上面可列出方程： c

5、n光=aAB系中看到的由于运动方向上长度缩短，所以在SAB= a B=光秒。秒，而在S系中则看到AB=na光秒，A na-an=vt (2) 可得：由图2 n 联立（1）（2）可得方程组：av =ct （1） cna （2） -an=vt n化成： av=cnt （3） 2 a-an=vnt （4） 22n1?(4)v得：= 2v(3)c 得到长度缩率公式： 2vn= ?12c 代入（1）得到不同点上的时刻公式（和运动方向相反，越往后时刻数越多）： v?a2c t= 2v?12c 运动物体上时间缩率公式公式推导系中有S由运动上长度缩率公式可推导出时间缩率公式：设P秒。当v光秒/，S、S系的相对

6、速度是S一点P，系中有线段AB 所示：秒，如图1P时，和A时间的时刻数都是0遇A 秒）（0P /光秒秒V S 1图 系S 秒）秒） B（0A（0A光秒)，运动到秒后，P从AB，AB=vt(在S系中，看到经过t 2所示：秒，如图的时刻数都是t秒，P的时刻数是t和B /秒秒）P V光秒t（S 图2 S系 t秒）tA（秒） B（ 、系中看到P是不动的，A在S系看到这一过程又是如何？S系中看由于运动方向上的线段长度缩短，所以在SB在向右运动，2v0的时刻数也是相遇，0秒时刻时和AA在到光秒。AB=vtP?12c秒，t相遇。P和BP的时刻数是秒后，经过所示）（如图秒3。t 4秒。的时刻数是Bt（如图所示

7、） P（0秒） 秒）秒） B（A（0 图3 秒）P（t S 秒光秒/V S系 秒）B（t A（ 秒） 4图2v-1vt 2ABv2c t= t?1 2vvcB相遇，经过了t相遇到P与秒钟，而看S在系中，从P与A到S系中的P在0秒时刻与A相遇，与B相遇时，P上的时刻是t22vv秒，即t秒，比t秒钟缩小。所以时间的缩率也是： ?1122cc即运动物体上的时间缩率公式是： =tt 2v?1 2c 相对论速度合成公式的推导由于在高速（与光速相比）运动时，运动物体上的长度与时间就可因而不同参照系中速度的合成也不是简单的v+v发生了变化，21 以的。向右运动，观察，SS、S，我们在S设有三个个惯性坐标系S

8、、12132三重C、v。某个时刻，三个系的A、BS向左运动，速度分别是v、213 所示。0秒，t秒后，情形如图1 合于一点，这三点的时刻数都为 秒）A（0 V S系 11 S系 秒）（0B2 秒）（系0 CS3 V 2 t秒后 t 秒）A（A S系V 11 t S系 ）D（秒 （Bt秒）2 V 2t 秒）E（ S系E3 （C 秒） 图1 2v 此时，t =t1?1A2cv2?tv(?v)2v 212c=tt+2?1 E2c2v2?12c 2情形。S这个过程，如果我们在系观察，将会看到图3 合VS系 0秒）A（ 1 秒） 系 B（V0S 22 秒）C（0 S系3 t秒后Et 秒）A（AV合 S系

9、1 B（秒） S系t （秒）D2V 2 t 秒）C（tE 秒）（E S系 E3 图2 B点不动，重合于一点，时刻数都为、B、C0秒。C开始时，A 速度向右运动。点以V的速度向右运动，A点以更快的V合2点处的时刻数为点运动到S系的E点处。此时，Et秒后，A3E系中看到的S秒。（只有这样，才能和要At秒，而点的时刻数为t2EA ）情形相一致。 V的关系，可列出方程：、根据tt和合EA2v1?1t2vt2c =合A?1 v2tc2?tv(v?)E2v 212c2?12c2v2?12c22vv21?11?2v22cc =合?1222cvvvv?2212?1? 22cc22222)cv(c?v)(v =21合?122v?vcc21两边平方得到： 2222224vvv?)cc(?vv? 合2112=1 222c24vvc?