空间向量在立体几何中的应用

1、 空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤：AC,AB 、选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如1)zx,y,n?( 2、设坐标：设平面法向量的坐标为?0?n?AB? 3、解方程：联立方程组，并解方程组?0n?AC? 4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标 二、利用向量求空间角： 1、求异面直线所成的角：b,DaB,abA,Cba所成的角为为异面直线，点设上任意两点，点为上任意两点， BDAC?cos 为，则BDAC? ?0?90?cos?0? 的范围是：，因此【注】由于异面直线所成的角 2、求

2、直线与平面所成的角：?nanall与所成的角为的法向量为，直线的方向向量为，平面与平面 设直线 n?a?sincos 所成的角为，则na?0sin?0?90 ，因此【注】由于直线与平面所成的角的范围是： 、求二面角：3?,?lnn,?nn,?或别分为平面二法的向量， 面设角为则，2121n?n?21?n,cos?n?n?n, ，其中 2121n?n21 三、利用向量求空间距离： 、求点到平面的距离1 AB?n?n,?A?BA 设平面 的法向量为，则点，到平面的距离为n 、求两条异面直线的距离2nC,DABl,lll上的任意两点，是两条异面直线，是公垂线段分别为的方向向量， 设2112 CD?n

3、 ?ABll与 的距离为则21n【重要题型】 P?ABCDABCD为矩形，底中，四理东，）如图所示，在棱锥面20121、（广PA?平面ABCDPC?平面BDEPCE 上，在线段，点BD?平面PAC ）证明：（1PA?1,AD?2B?PC?A的正切值（2）若，求二面角 ED,ABC6?A?90?BC分别是，2013广东，理）如图，在等腰三角形中，（2、2?CD?BEAB,ACBCODEADE?折起，得到如图的中点。将为沿，上的点，?O?3ABCDE?A ，其中。所示的四棱锥?BCDEO?A平面 ）证明：（1?BCDA? ）求二面角的平面角的余弦值（2 ABCD?ABCDBCCBE是正方形2已知正

4、方体，点的棱长为理）3、（2009广东，如图，111111E,GCDAADCCDGGE,F,内分别是棱在平面、分别是点的中心，点的中点，设1111111的正投影。 DCCDFGAEE内的正投影为底面边界的棱锥的体1）求以为顶点，以四边形在平面（11积； FG?平面FEE；）证明：直线 （211EGEA所成角的正弦值。 ）求异面直线（3与11 ,BBBCABABC?AE,D的中点，中，2013（课标，理）如图，直三棱柱分别是4、11112AB?CBAA?AC 12BC/平面ACD；）证明： （111D?AC?E的正弦值. （2）求二面角1 ?AAC?ABAC?90?ABC?AABB?C?，辽宁，

5、理）如图，直三棱柱（2012，5、?N,MCBBA的中点和点 分别为?CACMN/平面A； 1）证明：（?C?MNA的值.为直二面角，求2）若二面角 （ PA?平面ABCAB?P?ABCAC，中，6、（2010辽宁理）已知三棱锥，1ABPA?AC?SM,BCPB,NAN4AB?AB 的中点。上一点，分别为，为 2SNCM? （1）证明：；SNCMN （2）求与平面.所成角的大小 aCACBE和点7、（2010广东，理）如图，是半径为为直径，点的半圆，为的中点，点FD?5aFE?FB?6aAECFAD ，满足的三等分点，平面外一点为线段FDEB? （1）证明：；22FR?FBFEFQ?R,QFB

6、FE,BED，上的点，已知点（2）使得求平面分别为线段 33RQD 与平面所成二面角的正弦值. ，汕头高二统考，理）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，（、82013 点在线段上，且 ；）求证：1（2）求证：平面; （3）求二面角的余弦值 【参考答案】 ?PA?平面ABCDBD?平面ABCD?PA?BD ，）证明：，1、1（?PC?平面BDEBD?平面BDE?PC?BD ，又PPC?PA?PAC?平面?BD ，PAC平面PACAC?BD?平面AC?BD? ，（2）解：，ABCD?矩形 是正方形xyzA? 建立如图所示的坐标系，则)(2,0,0,0,1)C(22,0)B,A(0

7、,00)P(0 ，)(2,2,0AP,?(0,01)AC? ，),(02,0?(?2,0,1)BCBP? ，PAC)xz,y,n?( 设平面的一个法向量为1111?0?z0n?AP?11 则，即?0?2x2y?0?AC?n?11101,z?x?1y?)01,n?(1,? ，即令，则1111PBC),z,n?(xy 设平面，的一个法向量为2222?0y?0n?BC?22 ，即则?0?z?2?x?0n?BP?2222z?1y?0,x?),2?(1,n0 令，即，则2222n?n10121?n?cos?,n 21105?2nn2110103?sincos?A?B?PC，则，设二面角的大小为 1010

8、?3?tan OEOD, ）证明：连接2、（12AD,?2?OC3,AC?32 由图得， OCD? 中，由余弦定理可得， 在2225OD?545?OCCD?cos?2CDOCOD? ，即 ?D?ADA?22 由翻折的不变性可知， 222?D?AO?OD?AODO?A ，?OEO?A 同理可证， ?O?OD?OE?BCDE?A平面O? 又， xyz?OO （2）解：以如图所示点为原点，建立空间直角坐标系?),02),D(1,?,0,0,3),C(0,?3A0( 则)?(0,3,3)DACA?(3,2,?1 所以 ，?0n?CA?)x(n?,y,zCDA 的一个法向量为 设平面，则?0DA?n?0

9、?3z3y? 即 ?0y?3z?x?2?3?,z?y11?x),31(,?1n? ，即 令，则CDB),30?(,0OA 为平面）知，的一个法向量由（115OA3n?cos?n,OA? 55?3OAn15?CDA?B的平面角的余弦值为 即求二面角 5EE?平面DCCDDCCDFGAE内的正投）解：依题意得，且四边形在平面3、（111111FGDE 影为四边形11BCCB?EE?1E? 是正方形的中心， 点111?S?S?S?S?S DCEEC?FDGF?FGDE?DDCC1111111111112?2?2?1?1?21?1?1? 222211?SVEE?21 故所求的四棱锥的体积为 1FEDE

10、FCE?DG3331111?ECF?GDF都是等腰直角三角形（2）证明：由（1与）知， 1111?GFE?90?FG?FE ，即 1111FG?EE?平面DCCDFG?平面?EEDCCD ， 又，11111111FEE平面E?FG?EEFE? ， 111111 DDyxDDADC,DD,z个单3（）解：以轴的正向，分别为为轴，为原点，轴，1112)2,1,1),E(0,0,1),F(01,2),G(,0,E(12)0,A,0(2, 位长度，建立空间直角坐标系，则11)?G(0,?2,0?EA,?(1?2,?1)E ，11GEEA?6411?GEA,?cos?E? 11326?GEAE11362

11、?sin?EA,EG?1?() 1133ACACACFF 为交，则于点中点（4、1）证明：连接111DFBC/DFDAB 是又，则中点，连接 1CD?DF?平面ACDA/平面ACD?BCBC?平面 ， ，111112AB?CBAC?BCAC? ）由（2得， 2CAxxyzC?C，的方向为建立如图所示的空间直角坐标系轴正方向，以为坐标原点，2?CA ，则设)0,2A(2,),10,D(11,0)E(,2 ， ，1),20CA?(2,)CD1?(,1,0)CE?(0,2,1 ，1CDA)x,yz,?n( 的法向量，则设是平面11111?0x?y0?n?CD?111)1,?1,?1n?( ，即，可取

12、?102x?2z?0n?CA?1111CEA)z(n?x,y, 是平面的法向量，则同理，设12222?z?2y0n?CE?0?222n?(2,1,?2) ，即，可取?22x?2z?0?n?CA0?2212n?n33621?,nsin?n?,ncos?n? ，故从而 2121333?3nn?216ECD?A? 即二面角的正弦值为 13?CABA, 5、（1）证明：连接?CAABC?BBMA? 为直三棱柱，的中点 为三棱柱?B?MA 为 的中点?CB?N 的中点 又为?C/A?MN ?C?AC平面?平面AAACCACMN? ，?CAAC?MN/平面 ?yxAAAC,AAB,z轴的正方向建立空间直轴

13、，为坐标原点，分别以直线轴，（2）以为xyzA? 角坐标系，如图所示：?AB?AC1AA? ，则设?),(A0,0,0)B(C,0,0)(0,0 ，于是，?),1)C)B(0,0,1A,(0,01 ，?1),1)M(N(,0, 因此， 2222?MNA),z(n?x,y 的法向量，设是平面1111?1?0z?x?0?n?AM 11?221?)n,?1?(1 ，可取由得，?1?1?0n?MN?0?yz?1? 1122?MNC)z,(xy,n? 的法向量，同理，设是平面2222?0?z?x?y?0NC?n? 222?222?),?13n?(?, 得，由，可取?2?1?0MN?n?0?z?y2? 2

14、222?CA?MN? 为直二面角2?20?3?1?0n?n? ，解得，即21z,x,yA1PA?APAB,AC,轴正方向建立空间直角为原点，1（）证明：设，以分别为6、 坐标系，如图所示：11),00,),C(0,1,0),B(20,0),M(1,0,),N(,P(00,1 则 221)1(,0S 2111)?,?,01CM?(1,?,),SN?( 222110?0CM?SNSNCM? 由可知， 221)?,1,0(NC? （2） 2CMN)x,y,zn?( 设为平面的一个法向量1?0?x?y?0?n?NC ?2)2?(2,1,?n ，可取由得，?1?0n?CM?0x?y?z? 2?SNCMN

15、 所成角为与平面，则设1 ?12n?SN2 ?n,SN?sin?cos 22SNn?32?45 ACBC?ABE? 为直径7、（1）证明：， 为的中点，AD?EB? 222EBFB?FE? FB?EB B?FBAD?BDF?EB?平面 又， BDF?FD?平面FD?EB ， yx,BECBBBDBE,的垂线，建立轴正方向，过为原点，分别为2（）如图，以作平面xyzB?FC 空间直角坐标系，连接 由此得，B(0,0,0),C(0,a,0),D(0,2a,0),E(a,0,0) ?FD?FB,BC?CD BDFC? a2?FC? 22FB,FQ?FEFR? 3321)a0(,?a,R 3322)0a,0,?RQBE?( 3325)a,?RD(0,a 33RQD),yzn?(x, 设平面的法向量为，111152?0az?ay?0?nRD 11?331)2,5n?(0, 由得，可取 ?12?0?RQn?0?ax1? 13?BED),10?()n?x(,y,zn0, 同理，设平面，可取的法向量为22222n?n295521?n?cos?n?, 212929nn?21292?nn,?sin? 2129229RQDBED? 所成二面角的正弦值为与平面平面 29