立体几何平行垂直问题专题复习

1、实用文档 立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1 直线与平面平行的判定与性质 定义 判定定理 性质 性质定理 图形 条件 a b b结论 a aa2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ，a? aab 结论 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的 都垂直，就说直线l与平面互相垂直 2直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平 面垂直如果在两条平行直线 中，有一条垂直于平 推论 面，那么另一条直线也 垂直这个平面

2、 3直线与平面垂直的性质定理 文案大全实用文档 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一条直线的两平面平行 二、平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定定理1 文字语言 图形语言 符号语言一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 判定定理 面垂直 平面与平面垂直的性质定理2 文字语言 图形语言 符号语言两个平面垂直，则一个 2 平面内垂直于交线的 性质定理 直线垂直于另一个平 面 【典例探究】 类型一、平行与垂直,?BCAP?PC,ACBPC?APBDAB

3、PMBM中点，为中，已知三棱锥1、如图，且为例中点，APCDM 平面（）求证：为正三角形。；APC?ABC （）求证：平面平面；A BCMD?20?ABBC4? 的体积。（）若，求三棱锥，M PC DB 文案大全 实用文档 2?2AB4?ABCAA?AAABC2?AC?BCABC，底面如图，已知三棱柱，中，例2. ，11111CCCNABM. ，分别是棱中点1 1AABB?CN （）求证： 平面； A11B1 1 M BMA/CN 平面； （）求证：1C AMN?B （）求三棱锥的体积1 B A N ?AAABCABC?CAABC?B为等腰直角三角形，【变式1】. 如图，三棱柱中，侧棱平面，1

4、111?90?BAC?BC,CCAAAB?BAFE,D, ，且的中点。分别是，111ABC/DE ；平面（1）求证：B1C1 ?BFAEF （2）求证：平面；1A1AEFD?a?AB 的体积。（3）设，求三棱锥 E D F BC A 文案大全 实用文档 二、线面平行与垂直的性质PADDCABCDP?ABCDAB?PAD是等边三角，中，平面、如图4，在四棱锥平面，例3 52?2DC?AB4?BD2AD ，形，已知PCDA?PAD?BD 平面的体积； （2 （1）求证：）求三棱锥 ABCD?PD的中PCBC=PD=2为正方形，中，例4、如图，四棱锥PABCDE为平面ABCD，底面1?CGCB.BC

5、PC?点， C（II）求三棱锥DEG的体积； （I）求证： ； 3/PA 的长；否则，说明理由。若存在，求MIII（）AD边上是否存在一点，使得AM平面MEG 文案大全 实用文档 2. 2CD2ADABCD底面是直角梯形，BADADC90，ABB【变式2】直棱柱ABCD-ACD1111?，都平行？与平面ACBDP与平面) AB上是否存一点PBCB使得()求证：ACBB平面CC；(111111. 证明你的结论 三、三视图与折叠问题 、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。例54 PCD?AFPDF ；的中点，求证：若面为2 PECBD 面证明：1） ；（4 4 PBCE? ）（2 求三

6、棱锥的体积。 侧视图 正视图 4 4 俯视图 P E A B C D 文案大全实用文档 例6.AB?3,DC?1,?BAD?45?,DE?ABABCD?ADE现将1）是等腰梯形，。已知四边形（如图AC,ABEBAE?DE。 ）（如图沿2折起，使得，连结ACD?ADE； （I）求证：平面平面V:V?2:1EMCMAB；，使截面 （II）试在棱把几何体分成两部分的体积比上确定一点MECBADCMEEMCADM，并说明理由。是否平行于平面满足（II）的情况下，判断直线（III）在点 A M BAE E B CD CD 1 图2 图 .PD为中点【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E网科P

7、ABC? AECPB/平面；（II）求四棱锥的体积；I（）求证：PF ?为何值时，上一点，且，则为侧棱（）若FPA FA?PABDF. 平面 P E D CA B 文案大全 实用文档 ABC?的中点。现BCAC，边上的高，E，1所示，正F分别是的边长为2a，CD是AB【变式4】如图ABC? 2）ACD（如图将平面BCD沿CD翻折，使翻折后平面 DEF的位置关系，并说明理由；1）试判断翻折后直线AB与平面（ C-DEF的体积。（2）求三棱锥 A A E E C DCD FFB B ）2图（）1图（ 四、立体几何中的最值问题 例7.图4，AA是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异

8、于A，B的任意一点，AA= 11AB=2. (1)求证: BC平面AAC； 1(2)求三棱锥A-ABC的体积的最大值. 1 A1 AB C 4图 文案大全实用文档 ?，AB?BC?2,P为AB边上一动点，?ABC中，?B=PD/BC交AC于 例8. 如图，在点D,现 2?PDA沿PD翻折至?PDA,使平面PDA?平面PBCD. 将?APBCD的体积最大时，求PA的长； （1）当棱锥.DEAB?AC的中点，求证： AB的中点，E为）若点（2P为 C?PF0A?E?PB9BAAA?PCC?，F，于，已知在】如图【变式53中，平面ABC于E?AEF?F2?EAAPAP?B 体积的最大值。，当变化时，

9、求三棱锥 文案大全 实用文档 立体几何平行、垂直问题（答案）高三文科数学专题复习: 【典例探究】 （）例1解：,为PB中点M为AB中点,D ，又APCMD?平面APMDA APC平面DMM为中点，（）为正三角形,且PBPBPMBDMD? CP 又由（1）知 ,?APMDPB?APDBPBC?平面AP ， 又已知PC?AP ，又BCAP?BC?ACAPC?平面BC, 平面平面,PACABC? （）,10PB?MB?1020AB?， 212?100?16?84?PC ，又4?BC111 ?S?2214S?PC?BC?221 BDC?PBC44211 22 310?5MD?AP?20?又 2211

10、71021?53?V?VS?DM?2 BDCBCDMD?BCM?33 ?AA?ABCABC底面（）证明：因为三棱柱中，2.例ABC 1111CN?AA 1， 所以 分. 又因为平面ABC?CN1 ，是中点，因为N2BCAC?ABC 分 2 所以 . ABCN?1 AAB?AAI 3因为分 ， 1AB1 1 M AABB 4分 平面所以?CN11G C AB ，连结的中点，（）证明：取，NGGMG1AB ，因为分别是棱，中点，GNABB A N 1 文案大全 实用文档 1，. 所以BBNG/?BBNG 1121BB/CM ，又因为BB?CM 112. ，所以NGCMNG?CM/ 6分所以四边形是

11、平行四边形. CNGM 7分所以. MGCN/ 分 8因为平面，平面， AMBAMB?GMCN?11 分 9所以平面 AMB/CN1 分 10（）由（）知平面. NAB?GM1 4211 所以 13分. ?4?2?V?V NABMAMN?B?332211 FAF?B，在根据勾股定理的逆定理证明2）易证1）根据中点寻找平行线即可；（变式1.（1B?EFABBF距的距离是点是线段到平面的中点，故点到平面由于点；（3）AEFDDAEF1111 离的，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 2 ）取中点，连接【解析】（1DOCO,OAB 1形边平行四?,AA,?DO/CE,DO?CE?DO/AA,DO?

12、 112平，平面，平面，?DECO,DE/ABC?CO?DOCEABCDE 分） （4面。ABC 中（2）等腰直角三角形为斜边的中点，BC?ABC?AFFCBCBBCABC?A ，面面又直三棱柱?ABC?11111FAF?BCB? ，面?AF11363222?F?BAA?1,AB?EF?BE?,BF?,EF?,BE,?BFEF设 111111222?BF 分） 又（8。面 ,F?EF?AFAEF11BAB。到平面的距离是点距离的是线段（3）由于点到平面的中点，故点AEFAEFDD 112 2? 6622a为的高，所以三棱锥，；在中AEF?Rta?FB?aaAEF?D?1422? 6232EF?

13、aaa,AF的体积，故三棱锥，所以三棱锥的底面面积为AEF?AEFD?D 822 116632?a?aa （12分）为。 16438 文案大全 实用文档 二、线面平行与垂直的性质 5?2ABABD4AD?2BD? 中，由于，例3.（1）证明：在222AB?AD?BD 分. 2 BD?AD PADABCDADABCD?ABCD?BDPAD? 平面平面平面，平面又平面，PAD?BD 分. 平面 4OADPO?ADP. 交作于（2）解：过ABCD?ABCDPO?PAD 分又平面平面 6平面， 3?POPAD. 2的等边三角形， 是边长为PABDRtBD?AD 1由（）知，中，在 54AD?BD?h?

14、 D5ABAB边上的高为 斜边. 8分CODCAB，AB 5141 2?h?5S?CD? ACD522 10分. 3121 ?32?V?V?S?PO ACDPPCD?ACDA?333 14分. 平面ABCD，4、（I）证明：例BCPD?PD CD，又ABCD是正方形，BC PCD BC平面， PDICE=D BC ，面PBCPC又PC? 的高。GDEC是三棱锥II）解：BC平面PCD，GC（ 11111)?(?2?2?S?S?S? E是PC的中点， PDCEDCEDC?22222211?1?V?VGC?S? DEC?DECG?CDEG9333平面，则PA/MADGOGOEOOA CACIII

15、（）连结，取中点，连结、，延长交于点 MEG。 文案大全 实用文档 下面证明之 PA，是AC的中点，EO/平面E为PC的中点，O 平面MEG 又，PA/MEG?平面?EO?平面MEG,PA O是AC中点，中，在正方形ABCDOAM?OCG?22 所求AM的长为 .,?AM?CG 33 . ，BBAC-ABCD中，BB平面ABCD变式2.证明：()直棱柱ABCD111111 ，CD=2ADC=90，AB=2AD=2又BAD= 22. ，BCCAB=45，BCAC=AC，平面C，AC，BB，BC平面BBC又BBBC=B?1111. BBCC11 B的中点。P)存在点，P为A(111 AB. AB，

16、且PB=B证明：由P为A的中点，有PB1111 21 ，PB，且DC=PBDCAB，DC=AB，DC又11 2?. ACBACB，DP又CBACB,DP面面DPDCBP为平行四边形，从而CB.?111111. BCB同理，DP面1 2 5、例4 P 2 4 4 E 侧视图 正视图 A 4 B 4 C D 俯视图 ，是边长为4的正方形，面（1）由几何体的三视图可知，底面ABCDABCD?PA ，4.EB?PA?2EBPA 为中点，,ADPA?.?PD?AFPDF 又。面,?PACDDA?CD,?,CDAFPCD?AF 文案大全 实用文档 1 ，与的交点为，（2）取的中点,MN?PA?MNACPC

17、NPAMBD 2 ，故为平行四边形，,EB?MNBEMNMNEB 。，面PECBNBD?EM1611）3 （?BCAB)?V?(BEV PBE?PBCCE 323 例6.答案略 , 为菱形（）由三视图得，四棱锥底面ABCD变式3.解： 即是棱锥,则棱锥的高为3,设POOBD?AC? ，连接分别的高,底面边长是2OE,OE ，是的中点，DBDP,OE?BPAEC?面面AEC,BPOE?AEC面 PB? 1111? 2）（3?3?(?2?23)V?V?V? P-ABCDC-PABP-ABC四棱锥三棱锥三棱锥2322? 3 ?AF3,PA?23POA,在Rt中,PO?3,AO?OF?PA -10作（

18、3）过分O 2?,?FA?3时即PA=3时,OF?PF: -12分PAC面O?BD?POPO?BD,AC?BD,?AC? BDF面?PA?且BD?OF?OOF?BD?PA,由?PA 分-14 分平面DEF.2解：（1）判断：AB/变式4. 证明：AABC? 分别是中，E因在，FA 的中点，有AC，BC E EF/AB.5分E 又因C? AB，平面DEFDCDDEF.6EF平面?M 分FFB 所以B面平AB/）图（2）图（1 分DEF.7 文案大全 实用文档 ，于点M）过点E作EMDC（2?ACD 面，而EMACD面BCDCD面ACD面BCD，面? 分的高.9 于是EM是三棱锥E-CDF故EM平

19、面BCD ? 31111 222a?a?a?CD?BD?(2a)S?S的面积为CDF 又? BCD?CDF4422211 分11EMaAD? 22 C-DEF故三棱锥的体积为 3311132 分.14?a?a?S?EM?aV?V CDFCDF?E?C?DEF244233 四、立体几何中的最值问题 B的任意一点，C是底面圆周上异于A，例7.证明: 2分 是圆柱底面圆的直径，ABBCAC, A1 ABC，BC?平面AA平面ABC，1 4分 AABC， 1 ，平面AA C平面AA C，AC?AAAC=A，AA?1111 分 6 BC平面AAC. 1 中，RtABC解法1：设AC=x，在(2) AB 222 分 7 (0x2) , x?4=ABAC?BC C4图1111 2(0x2), 故x?x4V=S?AC?BC?AA?AA? 11ABCA-ABC32331 分9 111 22222. 11即分 42)?x4?x(x?x(4?x?)?=V -ABCA3331 22x=2时，即4，当x ，0x20x=22. 14分 三棱锥A-ABC的体积的最大值为1 3222 分 7 =AB=4， ACRt解法2: 在ABC中，+BC111AA?AC?BCSV=?AA? 9分 1ABC-ABCA12331 222