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文档简介

1、兰州大学2009年数学分析考研试题及解答1 计算题1. 求.解 原式 注：，2. 求.解 原式 .3. 计算.解 原式 .4. 求抛物线与它在处的法线所围成的有限区域的面积.解 在处，法线的斜率为，设法线方程为，法线与抛物线交于，于是所求的面积 .5. 求幂级数的收敛域与和函数.解 设，当时，由于,当时，原幂级数绝对收敛，当时，为条件收敛，当时，为条件收敛，当时，原幂级数发散， ，.6. 计算曲线积分，其中是从沿着曲线到点的一段.解 记,则，于是，曲线，即，由Green公式原曲线积分 .二证明：不存在.证明 由于区间，长度为，而存在整数；同理存在，假若存在，则有，由于，从而，这是矛盾的，所以不

2、存在.3 设函数，满足，任意其中,为正常数.证明 （1）当时，恒为常数；（2） 当,存在唯一的，使得.证明 （1）当时，由，知，于是恒为常数；（2） 显然连续，又，存在，使得，下证唯一性.设，也满足，则,由于，所以，故存在唯一的，使得.4 设是区间上的有界函数，证明在区间上一致连续的充分必要条件是对任给的，总存在正数，使得当，且时，就有.证明 充分性 用反证法.假若在区间上不一致连续，则存在，存在，使得，但，即有，由假设条件，对，只需要充分大，就有，矛盾所以在区间上一致连续；必要性 设在区间上一致连续，用反证法若结论不成立，则存在，对任意正整数，存在，使得，但.即有，这与一致连续矛盾.注：对函

3、数，或者，显然在上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的，不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.5 设是连续映射，若对中任何有界闭集，均是有界的，证明是闭集.证明 设是的任意一个极限点，则存在，使得，而集合，作为中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一）其原像是有界的，现因，所以是有界的，由Weierstrass聚点定理，存在子列及，使得，由得连续性，所以，故是闭集.6 证明二元函数在点处连续，存在但在点处不可微.证明（1）显然，所以在点处连续，由，知， ，当时，不存在极限，所以在处不可微.7 设，证明（1）在上可导，且一致连续；（2） 反常积分发散.证明 （1）记，对任意，所以在一致收敛，在上连续，对，

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