【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练：8.7双曲线(人教A版·数学理)

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(五十四)(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012金华模拟）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k0），离心率则双曲线方程为( )（A） （B）（C） （D）2.（2012沈阳模拟）双曲线的两个焦点为F1,F2,P在双曲线上，且满足则PF1F2的面积为( )(A) (B)1 (C)2 (D)43.（预测题）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )（A） （B） （C） （D）4.已知双曲线

2、的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于( )（A）4 （B）2 （C）1 （D）5.（2012哈尔滨模拟）已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，过A作x轴的垂线，B为垂足，且（O为原点），则此双曲线的离心率为( )(A) (B) (C)2 (D)6.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )（A）3x4y=0 （B）3x5y=0（C）4x3y=0 （D）5x4y=0二、填空题（每小题6分，共18

3、分）7.（2012杭州模拟）已知直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是_.8.P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为_.9.（易错题）以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点其中真命题的序号为_ (写出所有真命题的序号)三、解答题（每小题15分，共30分）10.点P是以F1

4、，F2为焦点的双曲线E：上的一点，已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|，O为坐标原点(1)求双曲线的离心率e；(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且0，求双曲线E的方程.11.已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|17，求证：过A、B、D三点的圆与x轴相切【探究创新】（16分）某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A，B，C），B地在A地正东方向上，两地相距6 km； C地在B地北

5、偏东30方向上，两地相距4 km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4 s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.(1)求A、C两地救援中心的距离；(2)求P相对A的方向角；(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点（如图2，返回仓经Q点垂直落至P点）处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论.答案解析1. 【解析】选C.双曲线的渐近线方程可表示为由已知可得又离心率所以故a=2b，所以双曲线方程为.2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则又|PF1|2+|PF2|

6、2=|F1F2|2,F1PF2=90,3.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为，则双曲线的渐近线的斜率一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，所以（显然不符合）,即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0，解得（负值舍去）.【变式备选】双曲线的离心率为2,则的最小值为( )（A） （B） （C）2 （D）1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以即c=2a，c2=4a2；又因为c2=a2+b2，所以a2+b2=4a2，即因此当且仅当时等号成立.即的最小

7、值为4. 【解析】选A.设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的定义知：|MF2|-|MF1|=10,又因为|MF2|=18，所以|MF1|=8,而5. 【解题指南】解答本题的关键是求出点A的横坐标，可先设出双曲线方程、焦点F的坐标，求出直线FA的方程从而联立方程组求A的坐标.【解析】选B.不妨设双曲线方程为,渐近线方程为则直线FA的方程为由得=()，由得6.【解析】选C.设PF1的中点为M，因为|PF2|=|F1F2|，所以F2MPF1，因为|F2M|=2a，在直角三角形F1F2M中，故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c2=a2+b2，所以(2b-a)2=

8、a2+b2,即3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是即4x3y=0.【变式备选】F1,F2是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，且F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )（A） （B） （C） （D）【解析】选A.设双曲线C的焦距为2c,依题设不妨令|F1F2|=|PF2|,即又7.【解析】双曲线方程为: ,其渐近线方程为:y=2x,又ax+y+2=0与渐近线平行,a=2,两平行线之间的距离为:答案：8.【解析】双曲线的两个焦点F1(-4,0)、F2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r1=2,r2=1.由题意得|PM|max=|PF1|+2,|PN|

9、min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.答案：5【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.9.【解析】错误，当k0且k|AB|，表示以A、B为焦点的双曲线的一支；当k0且k=|AB|时表示一条射线；当k0且k|AB|时，不表示任何图形；当k0时，类似同上错误，P是AB中点，且P到圆心与A的距离的平方和为定值故P的轨迹应为圆方程两根为和2,可以作为椭圆和双曲线的离心率

10、，故正确.由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为()，故正确.答案:10.【解析】(1)|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a.PF1PF2，(4a)2(2a)2(2c)2，即5a2=c2, (2)由(1)知双曲线的方程可设为，渐近线方程为y2x.设P1(x1,2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)，点P在双曲线上，化简得双曲线方程为11.【解析】(1)由题意知，l的方程为yx2.代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则由M(1,3)为BD的中点知故即b23a2，故c2a，所以C的离心率e2.(2)由知，C的方程为：3x2y23a2，故不妨设x1a，x2a.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1或 (舍去)故连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，从而|MA|MB|MD|，且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.【探究创新】【解析】（1）以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(-3, 0),B(3,0),C(5,)，则即A、C两个救援中心的距离为 km.（2）|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.又|PB|-