石大线代17.ppt

1、定理 5 实对称矩阵的特征值为实数。,定理 6 设1,2 是实对称矩阵A的两个特征值，P1, P2 是对应的特征向量，若12，则P1, P2正交。,定理7 设A是 n 阶实对称矩阵, 是 A的特征方程的 r 重 根, 则特征值恰有 r 个线性无关的特征向量。,定理8 设A是 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使 ，其中 是以A的 n 个特征值为对角元 素的对角阵。,回顾：实对称矩阵的有关结论,重要题型 设A是 n 阶实对称阵, 求一个正交矩阵P使,1）解特征方程,得到A的全部特征值。,（注意共有 n 个特征值。）,2) 求出与每个特征值所对应的线性无关的特征向量 并将它们正交化、单位化

2、。,为对角阵.,解题步骤:,3）构造正交矩阵P（以上述得到的n个单位、正交的 特征向量为列向量构成）,则便有,为对角阵.,二次型化简，即,问题等价于：当实对称阵A给定后，如何求 一个可逆阵C，使得 成为对角阵。,有关二次型的 回顾,概念 二次型、标准形、二次型的矩阵、二次型的秩 合同变换,实二次型与实对称矩阵之间是一一对应的。,总有正交变换 ，使 化为标准形 其中 是 的矩阵 的特征值。,定理10 任给实二次型,1. 若 p 是A的对应于的特征向量,问将 p单位化后 还是不是A的对应于的特征向量?,Can You Answer Them?,3 证明 A与AT 有相同的特征值。,证: 只要证 A

3、与AT 有相同的特征多项式即可.,仍然是。,2 对角阵,的特征值是什么?,7 正定二次型,试回答下列问题： 二次型的标准形是否唯一？ 用正交变换法得到的标准形是否唯一？ 标准形中所含 (非零)的项数是否确定？,答 1 不唯一，这从配方法所得的标准形即可知。,2 除顺序可能不同外，唯一。,3 确定，为二次型的秩。,则 中正数的个数与 中正数的个 数相等。,定理11 （惯性定理） 设有二次型 ，它的秩为 ，有两个 实的可逆变换,注：此定理不予证明。,若设 中正数的个数为 p,则负数的个数为 r-p. 于是 f 的标准形可写为：,再作线性变换：,问下列二次型正定性如何？,由定理11可引出一个较为重要

4、的概念，即正定性。,（非负定）,（正定）,定义,正定（非负定）二次型， 并称对称阵A是正定（非负定）的， 记作A0; 如果对于任何 都有,则称 f 为负定二次型，并称A 是负定的，记作,二次型、实对称阵的正定性判别,证明略。,定理12 实二次型 为正定的充分必要条件 是：它的标准形的 n 个系数全为正。,推论 对称阵A (或实二次型 f =xTAx)为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。,定理13 对称阵A（或实二次型f = xTAx）为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正；对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。,定理12 实二次型 为正定的充分必要

5、条件 是：它的标准形的 n 个系数全为正。,二次型、实对称阵的正定性判别,顺序主子式 即矩阵沿其主对角线方向所取的子式。,如 n 阶方阵,即各阶主子式依次为：,1 证明 ：若A、B皆正定，则A+B也正定。,由于A、B皆正定，知,从而,由定义，即A+B是正定的。,补充例题,证 对于任意,2 证明：若A正定，则 也正定。,从而,中每一个矩阵的 n 个 特,征值也全部大于零。（为什么？）,于是，由推论知,为正定的。,补充例题,证 因为 A 正定，故A的 n 个特征值皆大于零，,由定理13知此二次型是负定的。 #,解 二次型的 矩阵为,各阶主子式依次为,补充例题,3 判别二次型的正定性：,第五章 小

6、结,概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、标准形、正定矩阵,习题类型 1 施密特正交化及规范化 2 将一个(或几个线性无关的)向量扩充为正交规范基 3 方阵的特征值、特征向量的讨论 4 用正交阵化对称阵为对角阵（或用正交变换化二 次型为标准形。） 5 用配方法化二次型为标准形 6 判别二次型（或对称阵）的正定性,第一章-第五章：复习要点,第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算； 第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质、用矩阵的初等 变换解题； 第三章 向量的线性相关性讨论、矩阵及向量组的秩 的讨论； 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的结

7、构的讨论； 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换 化二次型为标准形）、正定性判别。,一、填空,1、6 阶行列式中项,的符号为 。,+,2、已知向量组,线性相关。则t= 。,3,3、设A，B同为 n 阶矩阵，,。,5、设向量组,等价，且,线性无关，则 r 与 t 间满足 。,4、设,= 。,。,7、若二次型,是正定的，则t的取值范围是 。,8、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 。,2，- 4，8,2 设A为n阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d是A的特征值； （2）A的逆也是各行元素之和皆相等的矩

8、阵。,证,故,由题知,故有,这表明,的各行元素之和相等，皆为 .,证毕,2 设A为n阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d是A的特征值； （2）A的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵。,3 设有方程组,问为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多 解？并在有无穷多解时求其通解。,解 增广矩阵,当= 4时，,因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多解。,同解方 程组为：,通解 为：,故当4且1时，方程组有唯一解。,当= 1时，,因为R(A)=2，而R(B)=3，故此时无解。,综上：,4 1）设,是其伴随矩阵，计算,解 1）,故向量组的秩,解2）,为3，且,为一个最大无关组,2）求向量组,的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关 组线性表示。,5 设A为 n 阶方阵，,为其特征值，,为其,对应的特征向量，证明当,