空间向量专题复习

1、空间向量本节重点：掌握空间直角坐标系，平面、空间向量相关知识点及用法空间直角坐标系学习结论：(1) 空间中两点P1(1，1，1)、2(2，2，2),则P12的中点P（）(2) 熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。（3）空间中两点P1(1，1，1)、2(2，2，2)之间的距离为例题1、如图，长方体中，于相交于点分别写出，的坐标 练习1、在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2、向量

2、的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母、等表示；用有向线段的起点与终点字母：；坐标表示法：3、向量的模：向量的大小长度称为向量的模，记作|. 4、特殊的向量：长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与长度相同、方向相反的向量记作 -6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量与相等，记作；7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则叫与的夹角说明：（

3、1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q1809、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积） 规定11、向量的投影：定义：|cosq叫做向量在方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |；当q = 180

4、时投影为 -|，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：，是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使（1）平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，（2） 若，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量与非零向量共线的

5、充要条件是：有且只有一个非零实数，使 设，则3、两个向量垂直的充要条件设，则4、平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A、B，那么(平面内两点间的距离公式)5、两向量夹角的余弦（） 三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ，运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则（首尾相接，首尾连）向量的减法三角形法则（首首相接，尾尾相连，指向被减）向量的乘法实数与向量的积是一个向量，记作：（1）（2）时，与同向；当时，与异向；当时，。任意方向 向量的数量积，1或时, 2且时, 向

6、量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积或线段的定比分点公式: 设点P分有向线段所成的比为，即，则 (线段定比分点的坐标公式)当1时，得中点公式：（）或平移公式： 设点P(x，y)按向量（，）平移后得到点P（x，y），则+a或曲线yf（x）按向量（，）平移后所得的曲线的函数解析式为：yf（x)三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量例题2、已知的三个内角A、B、C所对的边的长分别为、，设向量，且（1）求 （2）若，求的面

7、积练习2-1、已知三个点，点C在上，且，连结DC并延长至E，使，则E点的坐标为（ ） A（0，1） B（-8，） C（0，1）或 D（，）练习2-2、已知点A关于R 对称点是，则点到原点的距离是（ ） A B C4 D空间向量及其运算本节知识点是：1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法则： (4) 向量减法法则： (5) 数乘向量法则： 2线性运算律(1) 加法交换律：ab (2) 加法结合律：(ab)c (3) 数乘分配律：(ab) 3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相

8、 或 (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab等价于存在实数，使 (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 4共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P 共面向量定理的推论： 5空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间

9、中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 6空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模： (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则ab 空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b ； (b) a2 ；(c) ab (4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律ab ； (b) 分配律a(bc) 例题3已知两个非零向量e1、e2不共线，如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2.求证：A、B、C、D共面.练习3 某人骑车以每小时公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向例题4 如

10、图9-5-3(1)，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.（1）用向量法证明E、F、G、H四点共面；（2）用向量法证明BD平面EFGH.练习4-1 如图9-5-4，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角. 练习4-2（2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证：C1CBD；(2)当的值为多少时,能使A1C平面C1BD?请给出证明.（课外思考题） 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体

11、的重心）一、选择题1.点O、A、B、C为空间四个点，又、为空间一个基底，则下列结论不正确的是（ ）A.O、A、B、C四点不共线 B. O、A、B、C四点共面，但不共线C. O、A、B、C四点中任三点不共线 D. O、A、B、C四点不共面2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为的共有( ) （+）+ （+）+（+）+ （+）+A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.设命题p：a、b、c是三个非零向量;命题q：a,b,c为空间的一个基底，则命题p是命题q的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.设A、B、C、D是空间不共面的四点

12、，且满足=0，=0，=0,则BCD是（ ）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.下列命题中，正确的是（ ）A.若a与b共线，则a与b所在直线平行B.若a平面，a所在直线为a，则aC.若a,b,c为空间的一个基底，则a-b,b-c,c-a构成空间的另一个基底D.若=+,则P、A、B三点共线6.若a=e1+e2+e3，b=e1-e2-e3，c=e1+e2，d=e1+2e23e3，且d=xa+yb+zc，则x、y、z分别为（ ）A.,-,-1 B.,1C.-,1 D.,-,17.O为空间任意一点,A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足=+(),0,+),则P的轨迹一定通过

13、ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心8.（2002,上海,5分）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是( )A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)c=ac+bcC.m(a+b)=ma+mb D.(ab)c=a(bc)二、填空题9.设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .10.已知向量=2a，a与b的夹角为30，且|a|=，则+在向量b的方向上的射影的模为 .11.如图9-5-8，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点,G是ABC的重心，则用基向量、表示向量的表达式为 .12.已知P、A、B、C四点共面且对于空间任一点O都有=2+,则= .三、解答题13.如图9-5-9，已知点O是平行六面体ABCDA1B1C1D1体对角线的交点，点P是空间任意一点.求证：+=8. 14.如图9-5-10，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB,且与所成角是30.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.15如图9-5-11所示，已