空间点直线平面之间的位置关系高考数学总复习高中数学课时训

1、空间点直线平面之间的位置关系基础自测1.给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 .答案 42.对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案 垂直3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 部分.答案 74.（2007广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直

2、线，则f(4)= ;f(n)= .（答案用数字或n的解析式表示） 答案 8 n(n-2)5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 .答案 60例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEB=CFFB=21，CGGD= 31，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AHHD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点. (1)解 =2，EFAC.EF平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH，EF

3、GH.而EFAC，ACGH.=3,即AHHD=31.（2）证明 EFGH,且=，=，EFGH，四边形EFGH为梯形.令EHFG=P，则PEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，PBD.EH、FG、BD三线共点.例2 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解 （1）不是异面直线.理由如下：M、N分别是A1B1、B1C1的中点.MNA1C1，又A1A D1D，而D1D C1C，A1A C1C，四边形A1ACC1为平行四边形.A1

4、C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，这与正方体ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾.假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.例3 （16分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解 （1）在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD

5、，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO=60，2分在RtPOB中，BO=ABsin30=1，又POOB，PO=BOtan60=,底面菱形的面积S=222=2.四棱锥PABCD的体积VPABCD=2=2.8分（2）取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.10分在RtAOB中，AO=ABcos30=OP，在RtPOA中，PA=6，EF=.12分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，由余弦定理得cosDEF= 14分=.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.16分1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、C

6、D、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.证明 EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFG=O，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，所以B、D、O三点共线.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FG直线A1B1.证明 由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于A平面ABCD，E平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AEBC=F，从而F平面ABCD.同理G平面ABCD，所以FG平面A

7、BCD.因为EC AB，故在RtFBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FGCD.又CDAB，ABA1B1，所以直线FG直线A1B1.3.如图所示，等腰直角三角形ABC中，A=90，BC=，DAAC，DAAB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解 取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD，BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在RtEAB中，AB=AC=1，AE=AD=，BE=， 在RtEAF中，AF=AC=，AE=，EF=，在RtB

8、AF中，AB=1，AF=，BF=，在等腰三角形EBF中，cosFEB=，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.一、填空题1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 .答案 平行、相交或异面2.给出下列命题：若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；一定存在平面和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .答案 3.已知a，b是异面直线，直线c直线a,则c与b的位置关系 .一定是异面直线一定是相交直线不可能是平行直线不可能是相交直线答案 4.若P是两

9、条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有 （填序号）.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直过点P有且仅有一条直线与l、m都相交过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案 5.（2008辽宁文）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有 条.答案 无数6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .答案 7.如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角是 .

10、答案 308.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面，则a、b在上的射影可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.答案 二、解答题9.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点.证明 （1）如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EF=A1B，又A1D1 BC,四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，E，F，C，D

11、1，即E，C，D1，F四点共面.（2）由（1）知EFCD1，且EF=CD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点.10.定线段AB所在的直线与定平面相交，P为直线AB外的一点，且P不在内，若直线AP、BP与分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.证明 设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点，即l=O.由题意可知，AP=C，BP=D，C，D.又APBP=P,AP、BP可确定一平面且C，D.CD=.A，B,l,O.O，即OCD.不论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线.解 在平面AA1D1D内，延长D1F，D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1，PDA.又FD1平面BED1F，AD平面ABCD，P平面BED1F，P平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所