第14讲向量空间向量的内积及正交性

1、授课时间第 周 星期 第 节课次14授课方式（请打）理论课 讨论课 实验课 习题课 其他课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第十四讲 向量空间、向量的长度、内积及正交性教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：了解向量空间的相关概念；掌握向量的内积、长度与夹角的定义；了解内积、长度与夹角的一些性质；掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；熟悉正交矩阵的定义及其正交矩阵的性质.教学重点及难点：重点：标准正交基；Schmidt正交化方法.难点：标准正交基的求法.教 学 基 本 内 容备注一、向量空间1、定义1 设是的一个非空子集，若满足：（1）对任意（对加法封闭）（2）对任意和任意

2、（对乘法封闭）则称为一个向量空间例1、 构成维向量空间例2、是空间2、向量空间的基与维数定义2 设是一向量空间，它的一个最大无关组，称为它的一个基：；其中向量个数称为向量空间的维数，记，称是维向量空间注 零子空间的维数是，的维数是3，是的自然基3、坐标及坐标变换定义3 对于向量空间的一组基，任一向量的线性表示系数是唯一确定的，称为在基下的坐标；而是在标准基下的坐标例3、证明是的一个基，求在此基下的坐标定义4 设是维向量空间，与是的两组基，且： ，其中是从基到基的过渡矩阵，上式称基到基的变换公式 定理 是维向量空间， 从基到基的过渡矩阵为，关于旧基的坐标为，关于新基的坐标为，则，称为从旧基到新基

3、的坐标变换公式例4、的一个基：，求自然基到的过渡矩阵，且求在基下的坐标二、欧氏空间引入：在三维空间中，设，则： （数量积），此处，将三维空间中的数量积推广到维向量空间中，称为内积：1、向量的内积：1）定义：设维实向量, , 定义与的内积为= 注 此处定义的内积是标准内积，还有其它不同的内积定义2）性质：, , 1) 2) （为常数） 3) 4) ；等号当且仅当时成立注 以上均是数量积（内积）特有的性质2、欧氏空间：定义了内积的实向量空间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间3、向量的长度：1）定义：实向量的长度（范数）定义为i) 时, ；时, ii) iii) 三角不等式：2）单位向量：若，则称为单

4、位向量3）单位化：若，则必是单位向量4、Cauchy-Schwarz不等式：设是欧氏空间，都有5、夹角：1）定义：设实向量, 称 为与之间的夹角 2）正交：若, 则称与正交（垂直）, 记作 i) ,时, ； ii) 零向量与任意一向量都正交 iii) 勾股定理：若，则三、标准正交基1、标准正交基：设是欧氏空间，是中个非零向量, 若它们两两正交,则称之为正交向量组；若还有它们的长度均为 ，则称之为标准正交向量组；由标准正交向量组作成的一组基称为.2、定理1：若组:是正交向量组，则组是线性无关的.证明：设，则 ，从而由有： ，再由得到： ，故组线性无关.3、Schmidt正交化方法：设线性无关，取：,则两两正交，且组组，. 若取：，则是标准正交向量组.例1：将向量组 , , 标准正交化分析 ：先正交化，再单位化.例2：设，求，使两两正交，并把标准化（即单位化）.四、正交矩阵1、定义：若实矩阵满足, 则称为正交矩阵1) 是正交矩阵2) 是正交矩阵2、定理2：是正交矩阵的列（行）向量组是标准正交向量组.证明：=所以：，（） ，（，）从而的列向量组是标准正交向量组.3、性质：1）若是正交阵，则，与也都是正交