第16讲___相似三角形的存在性

1、第十六讲：相似三角形的存在性（讲义）一、 知识点睛相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形间的对应关系及不变特征考虑分类一般地，确定或特征明显的三角形被称作目标三角形2. 画图求解：目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助比例列方程；目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果二、精讲精练1. 如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD=10，OB=8将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点

2、A重合（1）若抛物线经过A，B两点，则该抛物线的解析式为_（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MNx轴于点N是否存在点M，使AMN与ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由2. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB=5t，且（1）点C的坐标是_，b=_，c=_（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，说明理由3. 如图，已知ABC中，A

3、CB=90，以AB所在直线为x轴，过点C的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时，A点坐标为(-1，0)，B点坐标为(4，0)（1）试求点C的坐标（2）若抛物线过ABC的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点D(1，m)在（2）中的抛物线上，过点A的直线交该抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与ABE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图，已知抛物线过点A(0，6)，B(2，0)，C(7，)（1）求抛物线的解析式（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称求证：CFE=AFE（3）在y轴上是否存在这样的点

4、P，使AFP与FDC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【参考答案】1. （1）（2）2. （1） ， ，（2）（3）存在，或或3. （1） （2）（3）4. （1）（2）证明略 （3）学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定有哪些？问题2：在相似三角形存在性问题中，什么样的三角形是目标三角形？图1相似三角形的存在性（一）1.如图1，已知二次函数的图象经过三点，直线与x轴交于点D，与抛物线交于点E连接AC，BE，若BDE与AOC相似，则点E的坐标为( )图2A.B.C.D.2.如图2，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C

5、处，抛物线过A，B两点M为第一象限内的抛物线上一点，过点M作MN垂直于x轴，垂足为点N若以M，O，N为顶点的三角形与BOC相似，则点M的坐标为( )A.B.C.D.图33.如图3，在平面直角坐标系xOy中，RtAOB的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线经过A，B，C三点若P是第二象限内的抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接PE，交CD于点F若CEF与COD相似，则点P的坐标为( )A.B.C.D.图44.如图4，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，AB=DC，BC在x轴上，点A

6、在y轴的正半轴上，且点A，D的坐标分别为，连接AC抛物线过A，C，D三点，为抛物线上一点，过点P作PM垂直于x轴，垂足为点M，连接PC，若以C，P，M三点为顶点的三角形与RtAOC相似，则点P的坐标为( )A.B.C.D. 学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：相似三角形的判定有哪些？问题2：在相似三角形存在性问题中，什么样的三角形是目标三角形？问题3：结合第1题考虑，目标三角形是_，不变特征是_问题4：结合第1题考虑，对于相似三角形的存在性问题，一般根据什么进行分类？问题5：结合第1题考虑，若BDE与AOC相似，画图找点求解的依据是什么？问题6：结合第1题考虑，相似三角形的存在性问题的处

7、理思路是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定有哪些？问题2：在相似三角形存在性问题中，什么样的三角形是目标三角形？相似三角形的存在性（二）图11.如图1，已知二次函数的图象经过A(-4，3），B(4，4)两点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）P为第二象限内的抛物线上一动点，过点P作PHx轴于点H，若PHD与ABC相似，则点P的坐标为( )图2A.B.C.D.2.如图2，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C连接AC，过点B作BDAC交抛物线于点D，连接BC，AD，若P是x轴上方抛物线上一点，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，若BPE与CBD相似，则点P的坐标为(

8、 )A.B.C.D.图33.如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点若P为坐标轴上一点，且PAC与BCD相似，则点P的坐标为( )A.， B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：相似三角形的判定有哪些？问题2：在相似三角形存在性问题中，什么样的三角形是目标三角形？问题3：结合第1题考虑，目标三角形是_，不变特征是_问题4：结合试题1考虑，PHD与ABC相似用到相似三角形的哪一个判定？如何确定分类标准？问题5：结合试题1分析，相似三角形的存在性问题的处理思路是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：研究二次函数时需要关注哪些信息？如何

9、研究函数背景？问题2：相似三角形存在性问题的处理思路是什么？问题3：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？图1相似三角形的存在性（三）1.如图1，直线与x轴、y轴分别交于点A，C，经过A，C两点的抛物线与x轴负半轴的另一交点为B，tanCBO=3，D为抛物线的顶点若P为射线BD上一点，且以P，A，B为顶点的三角形与ABC相似，则点P的坐标为( )图2A.B.C.D.2.如图2，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P若Q为x轴上一点，且以B，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，则点Q的坐标为( )A.B.C.D.图33.如图3，在平面直角坐标系x

10、Oy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，且OA=OB=2，AOB=120（1）连接OM，则AOM的度数为( )如图4A.160 B.120 C.135 D.150 （2）如图4如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，则点C的坐标为( )A.B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：研究二次函数时需要关注哪些信息？如何研究函数背景？问题2：相似三角形存在性问题的处理思路是什么？问题3：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？问题4：结合第4题考虑，为什么点C在点B右侧的x轴上？问题5：结合第4题考虑，相似三角形的存在性问题的分类标准是什么？学生做题前请先回答以下问题问题

11、1：具有什么特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？铅垂法的具体做法是什么？问题2：如何利用铅垂法表达三角形的面积？问题3：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？图1相似三角形的存在性（四）1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A，O，B三点，M为线段OB下方的抛物线上一动点（不与点O，B重合）（1）如图1设BOM的面积为S，则S的最大值为( )图2A.B.C.D.（2）.（上接第1题）如图2，当BOM的面积最大时，过点A作x轴的平行线，过点M作y轴的平行线交于点H，则的值为( )图3A.4 B.C.D.（3）图3当BOM的面积最大时

12、，若P为射线OM上一点，且BOP与OAM相似，则点P的坐标为( )A.B.C.D.图44.如图4，抛物线（k为常数，且）与x轴从左至右依次交于点A，B，与y轴交于点C若在第一象限内的抛物线上存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，则k的值为( )A.B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：具有什么特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？铅垂法的具体做法是什么？问题2：如何利用铅垂法表达三角形的面积？问题3：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？问题4：结合试题3分析，BOP与OAM相似的分类标准是什么？问题5：结合试题4分析，以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似的

13、分类标准是什么？图1相似三角形的存在性（五）1.如图1，直线OA与反比例函数的图象交于点，向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点C（1）经过A，B，C三点的抛物线的解析式为( )图2A.B.C.D.（2）如图2设（1）中抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为EP是抛物线对称轴上一点，若POE与BCD相似，则点P的坐标为( )图3A.B.C.D.3.如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，已知点是线段DO上的动点，过点E作PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H若以P，B，G为顶点的三角

14、形与DEH相似，则m的值为( )A.B.C.D.4.如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B在y轴正半轴上，点C在x轴负半轴上，四边形ABCO是平行四边形，且AB=4，OB=2，抛物线过A，B，C三点，与x轴交于另一点D动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿BA向终点A运动，同时动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，当点P到达点A时，点Q同时停止运动设点P运动的时间为t秒若以P，B，O为顶点的三角形与以Q，B，O为顶点的三角形相似，则t的值为( )A.B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合第3题考虑相似三角形存在性问题的处理思路是什么？问题2：分析

15、定点、动点，找不变特征的目的是什么？问题3：结合第2题考虑为什么会出现双重分类（动点问题的分类以及相似三角形存在性问题的分类）？分类标准是什么？问题4：相似三角形的存在性问题，既要考虑_，又要考虑_，二者缺一不可。学生做题前请先回答以下问题问题1：如何研究二次函数背景？问题2：相似三角形的判定有哪些？问题3：相似三角形的存在性问题，既要考虑_，又要考虑_，二者缺一不可图1问题4：结合试题4以C，B，D为顶点的三角形与CMN相似用到相似三角形的哪一个判定？如何确定分类标准？相似三角形的存在性（六）1.如图1，已知抛物线经过坐标原点O，交x轴于点A，顶点B的坐标为Q是x轴上方抛物线上的一动点，当AOQ与AOB相似时，点Q的坐标为( )图2A.B.C.D.2.如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B均在x轴正半轴上，连接OD，BD，B