第1章一元线性回归

1、第1章、一元线性回归1、经济学与计量经济学：一个笑话和一个例子1、理论（原假设）：世界上没有黑天鹅计量经济学家A和B分别得到了100个样本：观察并记录了100个天鹅的颜色。A的样本是100个白天鹅。B的样本中有1个黑天鹅。那么，A得出结论：“_”，B得出结论：“_”。2、Keynes消费函数和生命周期/持久收入假说哪一个是对的？如何理解使用计量经济学估计出来的Keynes消费函数。（1）Keynes消费函数：Consumptionb1b2incomee，0 b21其中b2是MPC，b1是自发消费。注意：自发消费是不可观察的。Keynes消费函数模型，无法理解如下3个图形（计量方程）：（见Rom

2、er的Advanced Economics，P313）。 C 白人 Y 45o 黑人(a) (b) (c)（a）静态数据（截面数据）：家庭消费收入数据服从模型的形状。但是无法理解（b）（c）（b）国家的总量时间序列数据：近似比例线，过原点（c）分组数据：白人和黑人思考：请你解释这个现象。（2）生命周期/持久收入假说（life-cycle/permanent income hypothesis）代表性个体的规划问题：subject to求解模型：拉格朗日（Lagrangian）方程一阶条件：得到从而有，即消费流是平滑的（smooth）。因此，也就是，消费Ct不是由当前收入Yt决定，而是由持久收入

3、决定。（3）下面用上述模型来解释经验数据。：持久收入：现在收入持久收入临时收入如果用消费对收入进行回归，那么计算收入和消费之间的协方差，系数的估计值为常数项系数的估计值为（a）可知，因此，即如图形（a）（b），因此（c）白黑，但是白黑，所以白黑2、一元线性回归模型：OLS1. 基本假定（1）线性。例1：，取对数，得到例2：，取对数，得到（2）（3）的方差相等。同方差性：homoscedasticity异方差性：heteroscedasticity，（4）之间不相关（5）正态性（在OLS中不是必须的，但在MLE中是必须的）2. 一元线性回归模型的OLS估计， 如果得到了参数和估计值和，那么的估计

4、值（estimate）为因此，我们的任务之一是求解和。显然，下面的等式为恒等式其中是冲击或扰动（disturbance），是残差（residual）。定义：残差平方和（sum of squared residuals，有时简称SSR），最小二乘原则（least squares）：最小化残差平方和也就是这是一个关于和的二元函数极值问题。一阶条件（FOC）是，即为即为（我们略去二阶条件，在多元线性回归中再回到这个问题）对方程求和，有对方程两边乘以，求和，有这一对方程称为正规方程组（normal equations）。求解正规方程组即可得到系数的估计值。3. 计算例子（19521956年的中国消费函

5、数）YearDisposable IncomePersonal Consumption1952299.6290.11953343.4331.81954368.7362.81955377.8376.41956437.8437.9省略小数点后的数，请用手机计算系数b1和b2。4. OLS（ordinary least squares）解正规方程组得到OLS估计 5. OLS估计量性质（1）线性。其中这说明，是的线性函数。线性估计量（linear estimator）。同理b1也是的线性函数。（2）无偏性：，证明：因此，。从而，此处利用了。也即是的无偏估计量。同理。（3）b1和b2的方差由于，所以有

6、而因此，同理（4）的估计：sum of squared residuals，残差平方和，【eviews记号】：S.E. of regression，standard error of regression，回归的标准误差【eviews记号】注意：分母是n2，如果是多元回归，那么分母将会变化。可以证明，。即是的无偏估计量（见古p83）（5）b2和b1分别是和的最小方差线性无偏估计量证明：以b2为例。回忆OLS估计估计量：，其中定义的另外线性估计量为，其中。将y的回归方程的定义代入，得到取期望，得到最后一个等号是为了满足无偏性。那么，必须有取方差，得到，其中第二个等号是利用了由于，而其中最后一个等

7、号利用了。所以，当时，取等号。证明结束。注意：我们一直没有用到扰动项服从正态分布这个假定。3、一元线性回归：最大似然估计注意：本节需要假定：扰动项服从正态分布。1. 系数的最大似然估计由基本假定：可以得到y的分布为由正态分布的定义公式，得到y的pdf为其中是待估计的参数估计量。似然函数（likelihood function），即y的所有样本观察值的联合概率为最大似然法（ML）：ML含义：只有当分别取时，抽取n组样本观察值（xi，yi），i1,2,n的概率最大，即模型才最好地模拟了样本观察值。画图。例子：教师的小孩出现智力障碍的概率更大？将L取对数，有显然，MaxL等价于，为什么？规划问题的一

8、阶条件（FOC）为分别推出有，与OLS相同。求解方程得到OLS估计相同的MLE估计 2. 的ML估计不是无偏估计规划问题关于的一阶条件为将lnL变形，有因此，容易得到有此处是的OLS估计，是无偏的。因此，（不是无偏的）但是，即渐进无偏。4、例子1. 中国Keynes消费函数估计：十一界三中全会前后比较研究Consumptionb1b2incomee，0 b21以下是数据。YearDisposable IncomePersonal ConsumptionYearDisposable IncomePersonal Consumption1952299.6290.119721001.2 985.91

9、953343.4331.819731100.01063.41954368.7362.819741153.51122.61955377.8376.419751238.31220.61956437.8437.919761295.01287.41957480.5461.119771391.21387.11958558.7539.119781544.01515.41959653.6614.219791841.51744.21960669.4667.119802246.62077.81961639.1612.319812458.82279.21962565.0615.919822668.42490.71

10、963591.0610.019832998.82752.11964643.2636.719843646.93250.31965684.6669.819854674.84141.81966754.5722.319865425.54715.01967769.3753.519876483.05554.71968754.4727.119888376.57157.71969780.2784.519899352.67905.71970840.9848.1199010176.98151.51971923.4901.5199111590.19222.0回归结果：19521991年Dependent Varia

11、ble: COMethod: Least SquaresDate: 08/22/04 Time: 20:57Sample: 1952 1991Included observations: 40VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C164.299524.201666.0.0000Y0.0.124.71690.0000R-squared0. Mean dependent var2049.682Adjusted R-squared0. S.D. dependent var2390.019S.E. of regression119.5304 Ak

12、aike info criterion12.45372Sum squared resid.5 Schwarz criterion12.53817Log likelihood-247.0745 F-statistic15554.31Durbin-Watson stat0. Prob(F-statistic)0.回归结果：19521978年Dependent Variable: COMethod: Least SquaresDate: 08/22/04 Time: 20:59Sample: 1952 1978Included observations: 27VariableCoefficientS

13、td. Errort-StatisticProb. C0.9.0.0.9294Y0.0.91.465780.0000R-squared0. Mean dependent var760.9111Adjusted R-squared0. S.D. dependent var329.8559S.E. of regression18.36134 Akaike info criterion8.Sum squared resid8428.467 Schwarz criterion8.Log likelihood-115.8490 F-statistic8365.989Durbin-Watson stat1

14、. Prob(F-statistic)0.回归结果：19781991年Dependent Variable: COMethod: Least SquaresDate: 08/22/04 Time: 21:00Sample: 1979 1991Included observations: 13VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C414.492677.500235.0.0002Y0.0.64.361220.0000R-squared0. Mean dependent var4726.362Adjusted R-squared0. S.D.

15、dependent var2613.448S.E. of regression140.4767 Akaike info criterion12.86860Sum squared resid.8 Schwarz criterion12.95551Log likelihood-81.64589 F-statistic4142.366Durbin-Watson stat0. Prob(F-statistic)0.2. Growth Accouting：Solow模型和Solow残差3. 习题：美国通货膨胀是过度货币增长引起的吗？点击数据文件usinfseries dp=100*(log(p)-log

16、(p(-1)series dm1=100*(log(m1)-log(m1(-1)series dy=100*(log(y)-log(y(-1)series dmy=dm1-dyls dp c dmy回归结果为Dependent Variable: DPMethod: Least SquaresDate: 11/17/04 Time: 21:37Sample(adjusted): 1950:2 1983:4Included observations: 135 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0.13.859550.0000DMY-0.0.-1.0.1994R-squared0. Mean dependent var1.Adjust