第2章乘法公式与因式分解

1、2、1 平方差公式 教学目标 （一）知识与技能 1经历探索平方差公式的过程 2会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算 （二）过程与方法 1在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力 2培养学生观察、归纳、概括的能力（三）情感态度与价值观 在计算过程中发现规律总结规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美 教学重点 平方差公式的推导和应用 教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式 教学过程: 一、提出问题，创设情境 思考：你能用简便方法计算下列各题吗？ （1）20011999 （2）9981002 二、导入新课 计算下列多项式的积 （1）（x+1）（x-1） （2）（m+

2、2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y）观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现（学生通过自学探究合作学习后解决）三、学习过程 例1：运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：计算： （1）10298 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 师生共析运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a2-b

3、2同样的方法可以完成（2）、（3）如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征比如（2）应先作如下转化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b） 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则 （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的） 师我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？生（进行合作交流后由各小组轮流发言）我觉得应注意以下几点： （1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式 （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 （3）有些多项式与多项式的乘法表面上

4、不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式 （4）运算的最后结果应该是最简才行 师同学们总结得很好下面请同学们完成下面小测优胜组选派一名代表做总结发言 四、课堂小测 出示投影片： 计算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）五、反馈纠正找出错误原因，自行重新做一遍，组长提供变式训练六、小结（学生总结，教师点评） 通过本节学习我们掌握了如下知识 （1）平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等

5、于这两个数的平方差这个公式叫做乘法的平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2 （2）公式的结构特征 公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式； 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式； 有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式如：（x+y-z）（x-y-z）=（x-z）+y（x-z）-y=（x-z）2-y22.2完全平方公式教学目标：1.经历探索完全平方公式的过程，进一步培养符号感和推理能力。2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单计算。教学重点与难点：重点：完全平方公式的推导过程与结构特点。难点：完全平方公式的灵活应用.学习过程：一读一读：课本第36页：

6、1.利用多项式的乘法进行公式推导；(a+b)2=a2+2ab+b21）.公式特点：左边是两数和的平方的，右边是一个二次三项式。2）.文字描述：两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍。即首平方，尾平方，积的2倍在中央。3）.公式中的a,b可以表示任意的代数式。2.几何解释：如图（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和3小组讨论交流公式的特点，结合例题进行分析应用。1）找出公式中a,b所代表的代数式。2）对照公式进行计算。二查一查：做课本第38页练习1题2题3题。学生先自己做，小组代表板演，然后小组交流。注意

7、：1.开始练习时，步骤要求写全。2.纠正学生运算中出现的添括号与去括号的错误。强调括号的重要性。三. 议一议：1.完全平方公式的推导过程是怎样的？2.完全平方公式的特点是什么？3.你在利用完全平方公式计算是易出现哪些错误？四练一练：课本第40页习题A组第1题第3题。先由学生独立完成，部分小组代表板演，然后小组交流。教师点拨总结。五比一比.1. _2.=_3. ）2= 4.=_5.=_6.=_六谈一谈：本节课你有哪些收获？1. 完全平方公式的代数推导与几何解释；2. 熟悉完全平方公式的特点。3. 比较完全平方公式与平方差公式的异同。 七、评一评以小组为单位汇总学生参与学习的情况、小组达标检测成绩

8、，进行量化，记录在案并评出优胜小组。2.3 用提取公因式法进行因式分解 教学目标1理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的区别与联系。2知道什么是公因式，能确定一个多项式各项的公因式。3知道什么是提公因式法，会用提公因式法把多项式进行因式分解。重点难点.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式。提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成积的形式。过程与方法目标：通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想。情感与态度目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。学习过程

9、一、想一想： 1 m(a+b+c)=-(a+b)(a-b)=-(a+b)2=-2 ma+mb+mc=-a2-b2=-a2+2ab+b2=- 观察你能发现它们之间的联系与区别吗？学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别。二 谈一谈：1、与小学学过的因数分解与乘法之间的联系，概括，归纳得出什么是因式分解？2 因式分解与整式乘法有什么关系？结论：因式分解与整式乘法正好相反。问题：你能利用因式分解与整式乘法正好相反这一关系。举出几个因式分解的例子吗？3 多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式 ？你知道这个相同的因式怎样称呼吗？把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式

10、m和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法叫-三 做一做：例1 对下列多项式进行因式分解：（1）5a225a；（2）3a29ab；（3）25x216y2；（4）x24xy4y2.例2 分解因式：2x4y24x3y210xy4。四 比一比1选择题（1）以下由左到右的变形是因式分解的是 （ ）A(a3)( a3)a29By292y(y3)( y3)2yCb216(b4)( b4)D4x5y25y24x5y(15y)（2）下列提公因式法因式分解错误的是 （ ）A8x2y24xy28xy(x3y)Baxbxaybyx(ab)y(ab)Cgt12gt22g(t12t22)D15a225ab25a(

11、3a5b2)2填空题（1）15a35a2的公因式是 。（2）4a3b6a2b22a2b的公因式是 。（3）分解因式：3x2y39x3y23x2y2( )。（4）分解因式：a9a72a63a5 (a4a22a3)。（5）分解因式：x2xy 。（6）分解因式：6a2b15ab230a2b2 。3把下列各式分解因式（1）mambmc （2）8a312a2（3）7x2y221y2z （4）15xyz5yz2（5）3m2x3mx6x （6）9a6x218a5x336a4x4五 创新能力应用1用提公因式分解因式（1）3am+212am+1（m为自然数）（2）xm+1y23xmy2xm12利用因式分解计算（

12、1）21.931.618.421.932021.93（2）3.1417.73.143.53.142.53求证：320043199103199是7的倍数吗？（提示：先因式分解、提公因式3199）六 谈一谈本节课的收获 2.4用公式法进行因式分解学习目标：1会用公式法进行因式分解。2了解因式分解的步骤。学习重难点：1、重点：会用公式法进行因式分解。2、难点：熟练应用公式法进行因式分解。突破措施:1、措施：加强学生对要分解的多项式结构特征的认识，分析各项与公式中字母的对应关系，在反复练习中掌握用公式法进行分解因式学法指导:1教学方法：讲练结合法、小组探究合作2学生学习本节时，要注意：（1）进一步弄清

13、因式分解与整式乘法的区别和联系。（2）分解因式时，要先观察题目的结构特征，看使用哪个公式，同时要养成及时检验的学习习惯。教材简析： 课本介绍了两个公式，这两个公式都是由前面学过的公式变形得到的，学生好掌握，关键是学生对要分解的多项式结构特征的认识，能分析各项与公式中字母的对应关系，课本给出了两个例题，要重视例题步骤的书写，“挑战自我”能够加深学生对完全公式的理解，对今后学习一元二次方程等内容做好铺垫。学习过程：一、探讨新知：1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为 2、(a+b)2 = 用语言叙述为 把这两个公式反过来，就得到（1） （2） 把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种

14、因式分解的方法叫做公式法。二、典例探讨例1：把下列各式进行因式分解: （1）4 x 2-25 (2) 16a2 -1/9 b2 解：(1) 4 x 2-25 =(2x)2-52 =(2x+5)(2x-5) (2) 16a2 -1/9 b2 = = 要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。 思考：（1）遇到例1题型时，使用哪个公式，注意什么事项? 例2：把下列各式进行因式分解: (1)25x2+20x+4 (2)9m2-3mn+1/4n2 解：(1) 25x2+20x+4 =(5x) 2+25x 2+22 (为什么这样变形？) =(5x+2)2教学要点引导学生观察原式,启发他们发现第一

15、步,可以用公式法分解因式了。学生自己完成（2），然后总结一下学例题的收获。 (2) 9m2-3mn+1/4n2 = =三、巩固练习 课堂练习一 课本44页练习1、2 课堂练习二用公式法进行因式分解： （1）-16+9x 2（2）x2-6x+9 (3) m2+2/3mn+1/9n2课堂练习三下列各式是不是完全平方式？ 四、挑战自我 1、多项式4 x2-x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25 x2+1呢？ 五、课堂小结谈谈你学到的知识。六、自我检测用公式法分解因式： （1）64m2-25n2 (2)a2b2-0.25c2 (3)-x2+81y2(4)(x+y) 2-6(x+y

16、)+9七、布置作业：课本46页第1题。2.4用公式法进行因式分解（2）教学目标1、会用公式法进行因式分解；2、了解因式分解的一般步骤。重点难点：综合运用平方差公式、完全平方公式分解因式。学会根据题目的结构特点，灵活选择公式。课时：两课时教学过程：活动一：做一做例3:分解因式：（1）(x+2y)2(x2y)2 （2）9（ab）2+6（ab）+1分析：（1）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x2y分别为公式中的a和b。解：（1）(x+2y)2(x2y)2(x+2y)+(x2y)(x+2y)(x2y)(x+2y+x2y)(x+2yx+2y)(2x)(4y)8xy注：此例可以用乘法公式展开，再经过合

17、并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。分析：（2）题9（ab）2+1可写成平方和3（ab） 2+12，就找到公式中的a和b项为3（ab）和1，6（ab）正好是23（ab）1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。 解：（2）9（ab）2+6（ab）+1 3（ab）2+23（ab）1+12 3（ab）+12 （3a3b+1）2练习：运用公式法因式分解（1）(3a+2b)2(2a+3b)2（2）（m2+n2+1）24m2n2（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16（4）（x22y2）22（x22y2）y2+2y4解：（1）(3a+2b)2

18、(2a+3b)2 (3a+2b)+(2a+3b)(3a+2b)(2a+3b) (3a+2b+2a+3b)(3a+2b2a3b) (5a+5b)(ab) 5(a+b)(ab) 注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。分析：（2）题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。解：（2）（m2+n21）24m2n2 （m2+n21+2mn）（m2+n212mn） (m2+2mn+n2）1（m22mn+n2）1 （m+n）212（mn）212 （m+n+1）（m+n1）（mn+1）（mn1）分析：（3）的题公式中的a和b为x2+4x和4，分解为（x2+4x+4）2后再将x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。 解：（x2+4x）2+8（x2+4x）+16 （x2+4x）2+2（x2+4x）4+42 (x2+4