第2讲两条直线的位置关系(教师版

1、第2讲两条直线的位置关系【高考会这样考】1考查两直线的平行与垂直2考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式【复习指导】1对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系2熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离基础梳理1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行 (2)两条直线垂直 如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21. 如果l

2、1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直2两直线相交 直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解3三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|. (2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d. (3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d.一条规律 与直线AxByC0(A2B20)平行、垂

3、直的直线方程的设法： 一般地，平行的直线方程设为AxBym0；垂直的直线方程设为BxAyn0.两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑 (2)在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等三种对称 (1)点关于点的对称：点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0) (2)点关于直线的对称：设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点P(x，y)， 则有可求出x，y. (3)直线关于直线的对称 若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的

4、直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点 P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2； 若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系 和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线双基自测1直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为() A3 B C2 D32原点到直线x2y50的距离为() A1 B. C2 D.3过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是() Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y104点(a，b)关于直线xy10的对称点是() A(a1，b1) B(b1，a1) C(a，b) D(b

5、，a)5平行线l1：3x2y50与l2：6x4y30之间的距离为_考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】(1)已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则实数a_. (2)“ab4”是直线2xay10与直线bx2y20平行的()A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件审题视点 (1)利用k1k21解题(2)抓住ab4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab4.解析(1)由题意知(a2)a1，所以a22a10，则a1.(2)直线2xay10与直线bx2y20平行的充要条件是且1，即ab4且a1，则“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20

6、平行”的必要而不充分条件答案(1)1(2)C (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意(2)若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：直线l1l2的充要条件是k1k21.设l1：A1 xB1yC10，l2：A2xB2yC20. 则：l1l2A1A2B1B20.(3)注意转化与化归思想的应用【训练1】 已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得： (1)l1与l2相交；(2)l1l

7、2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合解(1)由已知13m(m2)，即m22m30，解得m1且m3. 故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m6(m2)或m2m36，即m1时，l1l2.(4)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合考向二两直线的交点【例2】求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程审题视点 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解解法一先解方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于

8、是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0. 其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10. 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是：AxBym0(mR且mC)；(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)；(3)过直线l1：A1x

9、B1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.【训练2】 直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20. 由得x.由得x. 则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.法三两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0， 将上述方程中(x，y)换成

10、(2x,4y)，整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0. 整理得3xy10.考向三距离公式的应用【例3】若O(0,0)，A(4，1)两点到直线axa2y60的距离相等，则实数a_.审题视点 由点到直线的距离公式列出等式求a.解析由题意，得，即4aa266，解之得a0或2或4或6.检验得a0不合题意，所以a2或4或6.答案2或4或6 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离【训练3】 已知直线l1：mx8yn0与l

11、2：2xmy10互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程解l1l2，或(1)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20.，解得n22或n18. 所以，所求直线的方程为2x4y110或2x4y90.(2)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，l2的方程为2x4y10，解得n18或n22. 所以，所求直线的方程为2x4y90或2x4y110.考向四对称问题【例4】光线从A(4,2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程审题视点 设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称

12、点为D，则直线AD经过点B与C.解作出草图，如图所示设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80. 解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上【训练4】 已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是() Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10解析l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则得即(1,0)、(1，1)为l2上两点，可得l2方程为x2y10.答案B难点突破两直线平行与垂直问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有