第4章非线性方程求根

1、第4章 非线性方程求根问题的引入我们知道，在多项式方程中，求根公式有一、二、三、四次方程，当n大于等于已经证明不能用公式计算，因此需要寻找另一种计算方法；同时在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式的问题，非线性方程的解法也需要给出一种方法，本章来讨论这个问题。例1 关于真实气体的状态方程为 如果p与T都已知，则求体积V的方程为 这是一个非线性方程，如何求解呢？通常，非线性方程的根不止一个，对于非线性方程一般用对分法与迭代法求解。在用迭代法时，要给定初始值或求解范围。4.1 实根的对分法设有非线性方程 为a,b上的连续函数，且（不妨设方程只有一个实根），二分法叙述如下：第1步：，如

2、果 则根一定在区间。于是我们得到长度缩小一半的含根区间，即 设已经完成了第1，第2，第k-1步，得到分半计算的含根区间 且满足： （1） （2），现我们看第k步： 否则有根区间为 且有 一般这样的过程不会一直下去，通常预先给定一个精度，使得 ，取对数计算得，来控制二分的次数。 例： 用二分法小数点后第3位（即要求解：显然，由，算得，k=11。计算结果如下表。 1 1.0 2.0 1.5 8. 2 1.0 1.5 1.25 1. 3 1.0 1.25 1.125 -0. 4 1.125 1.25 1.1875 0. 5 1.125 1.1875 1.15625 0. 6 1.125 1.1562

3、5 1. 0. 7 1.125 1. 1. -0. 8 1. 1. 1. 0. 9 1. 1. 1. 0. 10 1. 1. 1. -0. 11 1. 1. 1. -0.A注意：若函数在给定区间上有几个零点时，对分法只能算出其中一个，且是实根。对分法求根算法计算的一般步骤如下：1. 输入有根区间a，b和误差控制量，定义函数。 2.(1) 计算中点以及的值(2) 分情况处理 停止计算，转向步骤4 修正区间 修正区间 3. 得根4. 输出近似根。X2X0X1YX 在算法中，常用代替的判断，以避免数值的溢出。4.2 迭 代 法 对给定的方程，将它转换成等价形式：。给定初始值，由此来构造迭代序列，如果

4、迭代收敛，即有，则就是方程的根。在计算中当小于给定的精度控制量时，取为方程的根。例： 求方程的等价形式解： （a）(b) A注意：在方程转化为不同的等价形式后，会有不同的迭代函数，从而有不同的迭代序列，由此产生的迭代效果也可能不同：例： 对上例中的方程，考察用迭代法求根： （a）(b) 解：取初始值，分别代入迭代公式 计算结果如图。0 1.0 1.01 1. 0.2 1. 0.3 1. -0.4 1. -1.5 1.6 1.7 1. -0.由计算看出，我们选取的两个迭代函数构造的序列的收敛情况不一样，一个收敛到1.，另一个的值无意义。问题在于迭代函数的选取上。A因此，我们需要解决两个问题：（1

5、） 如何选取迭代函数，使迭代过程收敛。（2） 若收敛较慢，怎样加速收敛。让我们再看迭代方程发现：方程的根可以看成是曲线与直线的交y=x点的横坐标。画图来看看：P0Q0 x*x2x0x1x3x0x1x*x2 (1) (2) y=g(x)y=x x2x1x-0x*x3x2x1x*两个图形的意思？ (3) (4) 定理 设有方程，若满足下面三个条件：（1） 设迭代函数于a,b上一阶导数存在；（2） 当时，有（3） 满足条件：，当则有（1） 迭代方程在上有惟一解；（2） 对于任意选取的初始值，迭代方程收敛即 （3） 证明 （1）由假设条件（2），即有当时有。作函数，显然在上连续，存在且满足： 于是由连

6、续函数性质，则有下面证明惟一性，设有两个解 由中值定理有 其中， 又有假设条件（3），则有。（2）由定理假设条件（2），当取。记误差，由中值公式有问题：图形的意思？b y=g(x)a bx*aox即 （3）由迭代公式显然有 其中即 （3） 反复利用上式，有 A注意：定理4中的假设条件一般情况下，可能对于大范围的含根区间不满足，而在根的邻近是成立的，为此，有下述的迭代过程局部收敛性定理。定理 （迭代法的局部收敛性）设给定方程（1）设是方程的解。（2） 设在的邻近连续可微，且有则对任意的初值（是的某一邻域）迭代过程收敛于。（说明：）条件2即为存在的一个邻域，使得成立。与定理4的（3）对应。证明：取

7、只要验证满足定理4中条件（2）成立，定理5即得证。事实上，设是邻域S内的一点，只要证明也在这个邻域。令，是邻域的半径。说明。例：求代数方程在附近的实根。解： 所以迭代法收敛。取 准确解为 所以迭代格式不能保证收敛。这样，我们讨论了一般的迭代方法。下面，学习一些具体的迭代方法。A想一想：迭代函数当满足一定条件时，迭代过程是收敛的，问迭代函数满足的条件是什么？我们是如何发现这个条件的？4.3 牛顿迭代法牛顿-雷扶生方法是一种将非线性函数线性化的方法，例如将高次多项式化成一次多项式；牛顿-雷扶生方法的优点是在单根附近具有较高的收敛速度；牛顿-雷扶生方法可用来计算方程的实根，也可计算代数方程的复根。牛

8、顿法公式及误差分析设非线性方程是a,b 上一阶连续可微，且；又设是方程的根，是根的近似值（设），则（1）求过曲线上的点P（的切线方程 （2）用切线近似代替曲线，切线的零点近似代替，作为方程根的近似值，即求解 得到 重复上述的过程，得到牛顿-雷扶生计算公式 X0X1X*牛顿法的几何意义：用切线与X轴的交点的序列去逼近函数与X轴的交点。（牛顿法又称切线法）牛顿迭代法对应于方程的等价格式是： 若是单根，则有，只要初值充分接近，有，所以牛顿迭代收敛。当为的p重根时，取下面的迭代格式： 例： 用牛顿法计算的根。解：容易看出，方程在0，2内有一根。，牛顿法的计算公式为（） 取；（2） 取，两次计算的结果见

9、下表 0 1 0 81 -1. 1 34.2 0. 2 869.15193 0. 4 0.5 0.6 0. 发散求得的近似根例： 用牛顿法计算下列函数在1，2内的一实根。解： ，得到迭代公式 例： 设试用牛顿法建立计算的公式解：我们知道，只能对有限个数算出它的平方的准确值，例如4，9，16等等；对于一般的数我们当然可以算出它的近似数，比如用泰勒公式等，现在用牛顿法给出它的迭代公式。 令由牛顿迭代公式有例取，代入上式进行迭代，结果如下： 0 1 1 5.5 2 3. 3 3. 4 3. 5 3. 6 3.由此看出， 可取例10 用牛顿法求方程的正根解：由方程形式上看出，除4.3外，在7，8之间有

10、一正根。用牛顿法进行迭代 ，（略）通过计算，得例11：将10题改成 求方程 5487解：（1）描点画图； （2）从图形上看出，方程在4，5，7，8有实根 （3）分别用牛顿法进行迭代计算，结果如下0 7.0 0 4.0 1 7. 0. 1 4. 0. 2 7.36041 -0. 2 4.22138 0.389523 7.34857 -0.0118 3 4.26033 0.389524 7.34847 -0. 4 4.28007 0.5 7.34847 -0. 5 4.29001 0. 19 4.30000 0.牛顿迭代的局限性。在牛顿法中，选取适当的迭代初值是求解的前提，当迭代的初值在某根的附近

11、时迭代才能收敛到这个根，有时会发生从一个根附近跳向另一个根附近的情况，尤其是在导数数值较小时，如图所示。 如果没有实根，初始值是实数，则迭代序列不收敛。牛顿迭代算法1. 定义函数，输入或定义迭代初始值和控制精度2. 3. 输出：在附近无根。 4.4 弦截法A问题的导入：在上节课我们发现牛顿法需知道函数的导数。如果函数的形式复杂，导数不易求得，甚至函数不可导时，牛顿法就很困难甚至变得不可行，而数值微分为我们提供了函数导数的近似形式，因此有以下由导数的近似计算公式 ，代入牛顿迭代式，得到弦截法的迭代公式：初值 弦截法的迭代公式的几何意义：用过两点的割线与X轴的交点的序列逼近根。上式迭代公式与牛顿法比较，收敛速度较慢。弦截法的几何意义 弦截法的算法 4.5 非线性方程组的牛顿方法为了简单起见，我们先以二阶非线性方程组为例。设二阶方程组 其中x，y为自变量。为方便将方程组写成向量形式 将在附近作二元泰勒展开，并取线性部分，得到方程组 从而可以求出即