第8讲函数与方程

1、A级课时对点练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1(2010岳阳模拟)设x0是函数f(x)ln xx3的零点，则x0在区间 () A(3,4)内 B(2,3)内 C(1,2)内 D(0,1)内 解析：令f(x)ln x3x， 由f(1)20，f(2)ln 210， f(3)ln 30，f(4)2ln 210， 即可得函数f(x)在区间(2,3)上有零点 答案：B2设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x) () A在区间，(1，e)内均有零点 B在区间，(1，e)内均无零点 C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D在区间内无零点，在区间(1

2、，e)内有零点 解析：f10，f(1)00， f(e)10，f(x)， 当f(x)在(0,3)上是减函数根据闭区间上根的存在性定理与函数的单调性 答案：D3(2010潍坊模拟)函数f(x)ln xx22x5的零点的个数是 () A0 B1 C2 D3解析：如图，在同一坐标系内分别作出yln x，yx22x5 的图象，观察图象易知两函数图象有两个交点，即原函数有2个零点 答案：C4若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()Af(x)4x1 Bf(x)(x1)2Cf(x)ex1 Df(x)ln解析：4个选项中的零点是确定的A：x；B；x1；C；x

3、0；D：x.又g(0)4020210，g42210，g(x)4x2x2的零点介于之间，从而选A.答案：A5若函数f(x)x22x3a没有零点，则实数a的取值范围是()Aa Ba Ca Da解析：由题意，函数f(x)x22x3a没有零点，即方程x22x3a0无解，即方程的判别式小于零，解不等式2243a0，解得a.答案：B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0可得其中一个零点x0_，第二次应计算_解析：f(x)x33x1是R上的连续函数，且f(0)0，f(0.5)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零

4、点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号答案：(0,0.5)f(0.25)7设函数f(x)，则函数F(x)f(x)的零点是_解析：当x1时，f(x)2x22x0，x.当x1时，x22x0，410，x，又x1，x.函数F(x)f(x)有两个零点和.答案：，8若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值是_解析：若a0，则f(x)x1为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a0，则函数f(x)为二次函数，若其中有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根，故判别式14a0，得a.综上可知a0或a.答案：0或三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9m为何值时，f(x)x22mx3

5、m4(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比1大解：(1)若函数f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点，则等价于4m24(3m4)0，即4m212m160，即m23m40，解得m4或m1.(2)若f(x)有两个零点且均比1大，设两零点分别为x1，x2，即x1x22m，x1x23m4，故只需，故m的取值范围是m|5m110已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点解：f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合

6、题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1(2010上海卷)若x0是方程lg xx2的解，则x0属于区间()A(0,1) B(1,1.25)C(1.25,1.75) D(1.75,2)解析：令f(x)lgxx2，知f(2)lg20，410.lg4lg 10，即4lg1，lg，lg0.25，f(1.75)lg0，f(x)在(1.75,2)上有零点答案：D2 .若函数yf(x)(xR)满足f(x

7、2)f(x)，且x(1,1时，f(x)1x2，函数g(x)，则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,10内零点的个数为()A12 B14 C13 D8解析：如右图，当x0,5时，结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点，故在区间5,0上共有5个交点；当x(0,10时结合图象知共有9个交点故函数h(x)f(x)g(x)在区间5,10上共有14个零点答案：B二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3若方程ln x2x100的解为x0，则不小于x0的最小整数是_解析：令f(x)lnx2x10，则f(5)ln 50，f(4)ln 4204x05不小于x0的最小整数是5.答案：54已知函数f(x

8、)x|x4|5，则当方程f(x)a有三个根时，实数a的取值范围是_A5a1 B5a1Ca5 Da1解析：f(x)x|x4|5，在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线ya与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是5a1.答案：A三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点若存在，求出范围，若不存在，说明理由解：(3a2)24(41)0若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解之得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a或a1.6已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)2x3.令2x30，得x1,1f(x)在1,1上无零点，故a0.