第一章空间几何体

1、2010年默认标题 - 2011年7月18日 2011 菁优网一、选择题（共12小题）1、下列说法中正确的是（）A、棱柱的侧面可以是三角形B、正方体和长方体都是特殊的四棱柱C、所有的几何体的表面都能展成平面图形D、棱柱的各条棱都相等2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A、一个圆台、两个圆锥B、两个圆台、一个圆柱C、两个圆台、一个圆柱D、一个圆柱、两个圆锥3、如图，PA、PB、DE分别与O相切，若P=40，则DOE等于（）度A、40B、50C、70D、804、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是（）A、B、C、D、

2、5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S，则长方体的侧面积等于（）A、2S2+h2SB、22S2+2h2SC、2S2+2h2SD、S2+2h2S6、设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60，则长方体的体积是（）A、272B、82C、83D、167、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则（）A、S1S2S3B、S3S2S1C、S2S1S3D、S1S3S28、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的（）A、12B、13C、14D、159、若圆台两底面周长的比是

3、1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）A、1：16B、3：27C、13：129D、39：12910、（2004广东）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A、23B、76C、45D、5611、（2005广东）已知高为3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1ABC的体积为（）A、14B、12C、36D、3412、向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A、B、C、D、二、填空题（共4小题）13、下列有关棱柱

4、的说法：棱柱的所有的面都是平的；棱柱的所有的棱长都相等；棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；棱柱的上、下底面形状、大小相等正确的有_14、一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为_15、一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为_cm216、一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为_cm三、解答题（共6小题）17、画出图中两个几何体的三视图18、在图中，M、N是圆柱体的同

5、一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？19、倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为1cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？20、棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？21、小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间

6、的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22、如图在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的一边将其倾倒，随着容器的倾斜度不同，水的各个表面的图形的形状和大小也不同试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在的各种规律（不少于3种）答案与评分标准一、选择题（共12小题）1、下列说法中正确的是（）A、棱柱的侧面可以是三角形B、正方体和长方体都是特殊的四棱柱C、所有的几何体的表面都能展成平面图形D、棱柱的各条棱都相等考点：棱柱的结构特征。专题：阅读型。分析：从棱柱的定义出发判断A、B、D的正误，找出反例否定C，即可推

7、出结果解答：解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正确；所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，所以D不正确；故选B点评：本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练情况，是基础题2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A、一个圆台、两个圆锥B、两个圆台、一个圆柱C、两个圆台、一个圆柱D、一个圆柱、两个圆锥考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。专题：分类讨论。分析：由等腰梯形的结构特点，我们可得等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰，分类讨论后，根据旋转体的定义，我们可以得

8、到两种情况下旋转后得到结合体的组成，分析四个答案，易得到结论解答：解：等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰当较长的边是下底时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆柱、两个圆锥当较长的边是腰时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆锥，一个圆台再挖掉一个圆锥故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义，熟练掌握旋转体的结构特征是解答本题的关键3、如图，PA、PB、DE分别与O相切，若P=40，则DOE等于（）度A、40B、50C、70D、80考点：弦切角。专题：证明题。分析：连接OA、OB、OP，由切线的性质得AOB=140，再由切线长定理求得DOE的度数解答

9、：解：连接OA、OB、OP，P=40，AOB=140，PA、PB、DE分别与O相切，AOD=POD，BOE=POE，DOE=12AOB=12140=70故选C点评：本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知识，要熟练掌握4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是（）A、B、C、D、考点：空间几何体的直观图。专题：作图题。分析：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，得到结果解答：解：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确故选A点评：本题考查空间几

10、何体的直观图，考查直观图的画法，要弄清楚正方形模型所放置的位置，本题是一个最基础的题目5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S，则长方体的侧面积等于（）A、2S2+h2SB、22S2+2h2SC、2S2+2h2SD、S2+2h2S考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：设长方体的底面边长分别为a、b，表示出底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S，然后求出侧面积解答：解：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S=ha2+b2，S=ab ，由得：（a+b）2=S2h2+2S，a+b=S2h2+2S，S侧=2（a+b）h=2hS2h2+2S=2S2+2h2

11、S故选C点评：本题考查长方体的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题6、设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60，则长方体的体积是（）A、272B、82C、83D、16考点：棱柱的结构特征。专题：计算题。分析：本题可以利用长方体的结构特征，求出三个边的长度，求出体积即可解答：解：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42得知x=22，V=2222=82点评：本题考查学生对棱柱的结构的认识和利用，是基础题7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则（）A、S

12、1S2S3B、S3S2S1C、S2S1S3D、S1S3S2考点：棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：根据“用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质”，可利用截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方（所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高）求解解答：解：SS1=（21）2S1=14SSS2=21S2=12S（SS3）2=21S3=134SS1S2S3故选A点评：本题主要考查棱锥的结构特征，特别考查了用平面分割几何体的问题，一般考查平行于底面，侧棱或侧面的问题，属常规题8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的（）A、12B、13C、14

13、D、15考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算。专题：综合题；数形结合。分析：连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可解答：解：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以413Sr=13Sh，r=14h（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）答案：C点评：主要考察知识点：简单几何体和球，考查计算能力，是基础题9、若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）A、1：16B、3：27C、13：129D

14、、39：129考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：常规题型。分析：根据条件分别设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有xr3r=12，从而寻求到x与r的关系，再由圆台体积公式求解解答：解：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有xr3r=12，x=52rV上V下=13h（r2+rx+x2）13h（x2+4rx+16r2）=39129故选D点评：本题主要考查圆台的结构特征及体积的求法，是常考类型，属中档题10、（2004广东）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A、

15、23B、76C、45D、56考点：组合几何体的面积、体积问题。专题：计算题；转化思想。分析：剩下的几何体的体积，就是正方体的体积求得8个正三棱锥的体积，求出体积差即可解答：解：由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得8个正三棱锥的体积，V正方体8V三棱锥=181312121212=56故选D；点评：本题考查多面体的体积的求法，考查转化思想，计算能力，是基础题11、（2005广东）已知高为3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1ABC的体积为（）A、14B、12C、36D、34考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：由直棱柱推知三棱锥B1ABC与直棱

16、柱同高，同底，再由体积公式求解解答：解：根据题意：棱柱ABCA1B1C1为直棱柱高为B1B2的长度，底为sABC=34V=13sh=13343=34故选D点评：本题主要考查直棱柱的基本特征及从中截取的几何体与原几何体的关系12、向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A、B、C、D、考点：函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。专题：数形结合。分析：本题利用排除法解从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项解答：解：如果水瓶形状是圆柱，V

17、=r2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小故A、C错故选：B点评：本题主要考察知识点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等简单几何体和函数的图象，属于基础题本题还可从注水一半时的状况进行分析求解二、填空题（共4小题）13、下列有关棱柱的说法：棱柱的所有的面都是平的；棱柱的所有的棱长都相等；棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；棱柱的上、下底面形状、大小相等正确的有

18、考点：棱柱的结构特征。专题：阅读型。分析：根据棱柱是多面体知棱柱的所有的面都是平的，棱柱的所有的棱长不一定都相等，棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形或是平行四边形，棱柱的侧面的个数与底面的边数相等，棱柱的上、下底面是两个全等的多边形，形状、大小相等解答：解：根据棱柱是多面体知棱柱的所有的面都是平的；正确，棱柱的所有的棱长不一定都相等；不正确，棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形或是平行四边形，不正确，棱柱的侧面的个数与底面的边数相等，正确，棱柱的上、下底面是两个全等的多边形，形状、大小相等，正确故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱的面，棱，棱柱的侧面与棱柱的底面边数之间的关系，本题是

19、一个概念辨析问题14、一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为（2）：4考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。专题：计算题。分析：直接求出水桶两种放置时，水的体积相等，即可得到水的高度与桶的高度的比值解答：解：横放时水桶底面在水内的面积为14R212R2V水=（14R212R2）h，直立时V水=R2x，x：h=（2）：4故答案为：（2）：4点评：本题考查简单几何体和球的知识，考查空间想象能力，计算能力15、一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为8（3+3）cm2考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：根据正三棱柱的三视图的

20、数据，求出三棱柱的高，底面三角形的高，即可求出表面积解答：解：由三视图知正三棱柱的高为2cm，由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为：23cm设底面边长为a，则32a=23，a=4正三棱柱的表面积S=S侧+2S底=342+212423=8（3+3）（cm）故答案为：8（3+3）（cm）点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键16、一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为50cm考点：构成空间几何体的基本元素。专题：数

21、形结合；转化思想。分析：由题意需要画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，在求出最短的距离解答：解：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O有图得：所求的最短距离是MB，设OA=R，圆心角是，则由题意知，10=R ，20=（20+R） ，由解得，=2，R=20，OM=30，OB=40，则MB=50cm故答案为：50cm点评：本题考查了在几何体表面的最短距离的求出，一般方法是把几何体的侧面展开后，根据题意作出最短距离即两点连线，结合条件求出，考查了转化思想三、解答题（共6小题）17、画出图中两个

22、几何体的三视图考点：简单空间图形的三视图。专题：作图题。分析：利用三视图的画法，直接画出几何体的三视图解答：解：（1）如图（2）如图点评：本题考查三视图的画法，考查作图能力，是基础题18、在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？考点：简单组合体的结构特征。专题：计算题；作图题。分析：画出圆柱的侧面展开图，利用弧长大于弦长的关系，说明MN最短即可解答：解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开辅平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N而两点间以线

23、段的长度最短所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线如图所示点评：本题考查简单几何体的结构特征，考查圆柱的侧面展开图，考查分析问题解决问题的能力是基础题19、倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为1cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题；应用题；作图题。分析：当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定解答：解：如图甲所示：OP=6cm，OO=1cm如图甲，设水

24、的体积为V1，容器的总容积为V，则容器尚余容积为VV1由题意得，OP=6，OO=1OP=7，OA2=493，OC2=12，V=13OA27=7949，V1=13OC26=24未放入铁块前容器中尚余的容积为VV1=79492444.3cm3如图所示，放入铁块后，EMNF是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面MN=42，O1M=22，O1P=26，GM=726，正方体位于容器口下的体积为44（726）=11232633.644.3，放入铁块后容器中的水不会溢出点评：主要考查知识点：简单几何体和球，考查计算能力，是基础题20、棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没然后再放

25、入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？考点：球的体积和表面积。专题：计算题。分析：先画出过正方体对角面的截面图，设小球的半径r，通过AS=AO1+O1S建立等式，求出r即可求出要使流出来的水量最多时这个铁球的半径解答：解：过正方体对角面的截面图如图所示，设两球的交点为SAC1=23，AO=3，AS=AOOS=31，设小球的半径r，tanC1AC=22在AO1D中，AO1=3r，AS=AO1+O1S，31=3r+r解得：r=23（cm）为所求要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为23点评：本题考查球与多面体相切问题，解决此类问题必须做出正确的截面（即截面一

26、定要过球心），再运用几何知识解出所求量21、小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算。专题：综合题。分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部由题中已知得MN=PQ=1