第一章多项式练习题

1、第一章 多项式一填空题1、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。3、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b= 。4、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。5、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。6、f(x)没有重根的充分必要条件是 。7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。8若不可约多项式是的重因式，则是的 因式9、a是f(x)的根

2、的充分必要条件是 。10、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。11艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。答案1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f(x)=1 7、k=28. 单因式 9、x-a|f(x) 10、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 11. 充分 二判断并说明理由1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ）2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )3. 设，且，则 （ ） 4、设p(

3、x)是数域p上不可约多项式，如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是的k-1重因式。 （ ）5任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。6若一整系数多项式有有理根，则在有理数域上可约。7.若无有理根，则在上不可约。（ ）8. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的.（）9、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。（ ）答案 1、 2、 当f(x)是不可约时才成立 3. 4、 5. 6. 次数2时成立 7. 8. 9、 三选择题1、以下数集不是数域的是（ ）A、，i2= -1B、 ，i2= -1 C、D、2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ） A、若f

4、(x)|g(x)h(x),且f(x)g(x)则f(x)|h(x)B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)C、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)D、若f(x)g(x)，f(x)h(x)，则f(x)g(x)h(x)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）A、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C、若d(x)|f(x),且

5、有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x)=1，则(f(x),h(x)=1且(g(x),h(x)=1（ ）4、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x),c0C、p(x)是任何数域上的不可约多项式D、p(x)是有理数域上的不可约多项式5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）A、若p(x)是的k重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式B、若p

6、(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)，的公因式C、若p(x)是的因式，则p(x)是f(x)的重因式D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是的单因式6、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）A、是f(x)的根的充分必要条件是(x-)|f(x)B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约C、每个次数1的复数系数多项式，在复数域中有根D、一个三次的实系数多项式必有实根7、设f(x)=x3-3x2+tx-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。A、1 B、0 C、-1 D、3或-58、设f(x)=x3+tx2+3x-1是整系数多项式，当t=( )时

7、，f(x)在有理数域上可约。A、1 B、-1 C、0 D、5或-39、设f(x)=x5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）A、f(x)在有理数域上不可约B、f(x)在有理数域上可约C、f(x)有一实根D、f(x)没有有理根10 ，若分数(p,q互素)是的有理根，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 答案：1、B 2、C 3、D 4. C 5、D 6、B 7、D 8、D 9、B 10. C 四计算题1、求m，p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2解：用带余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即求得m= -6 p=32 求， 使能被整除。解法

8、1：因，故商满足，且设，则由，可得，从而。解法2：用带余除法于是，因，则，从而。3设 ， 求，并求使。； 4、判断f (x)=x4-6x2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数.解：=4x3-12x+8 (f(x), )=(x-1)2x-1是f(x)的三重因式 注：求重因式的方法：1. 求；2. 求。当，则无重因式。当，则有重因式，且即为一些重因式的乘积，据此，也可考察有无重根。6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并写出f(x)在有理数域上的标准分解式。解：有理根为（二重）分解式为f(x)=4(x+)2(x2-x-1)7、已知i, 2-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x

9、2+6x+5的两个根，求f(x)的全部根解：全部根为 i,-i,2-i,2+i, 8、求以1为二重根，1-i为单根的次数最低的实系数多项式f(x).解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+29、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。解：全部根为1+i,1-i,1+,1-五证明题1、试证用x2-1除f(x)所得余式为证明：设余式为ax+b，则有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b求得a=2、证明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x) 证明：(f(x), g(x)=d(x) 则d(x)

10、|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 设d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)的任一公因式 则d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),从而d1(x)|d(x) 得证3、设p(x)是次数大于零的多项式，如果对任意多项式f(x)，g(x)，由p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式证明：假设p(x)是可约的，设p(x)=p1(x)p2(x)其中 (p1 (x) (p(x), (p2(x) (p(x)显然p(x)|p1(x)p2(x) 但p(x)|P1(x), p(x)|p2(x)这与题设矛盾，即p(x)是不可约的。4. 设是中一个次数的多项式。如果对于，从可推出，或，则是中的一个不可约多项式。 证明：类似上题，用反证法。若可约，则可分解为，且，故由题设有或，矛盾。5. 设是中一个次数的多项式。如果对，都有或，则是数域上的不可约多项式。 证明：用反证法。如果在上可约，则可表成两个次数较低的多项式的乘积：，且可设的首项系数为1，于是，且，与题设矛盾。6、设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0