第七章多元积分学

1、第七章 多元积分学一.二重积分的概念 多元函数的积分学是一元函数积分学的推广.一元函数的积分学中，大家知道，引入定积分概念的基本思想方法可以概括成九个字：分割-代替-求和-取极限.如果把这种思想方法推广到多元函数中去，就得到重积分的概念.先两个经典的引例.引例1.求曲顶柱体的体积.问题：设是定义在有界闭区域D上的非负连续函数.以D为底，以曲面为顶，侧面是以D的边界为准线，母线平行于Z轴的柱面的柱体.这个曲顶柱体如果用不等式来表示就是： 这里的V既表示这个曲顶柱体，同时也表示它的体积.现在的问题是：这个曲顶柱体的体积如何计算？ 分析一下求曲顶柱体的体积问题可以发现，这和求曲边梯形面积问题是类似的

2、.解：一.分割：把D任意分成n个小区域.（分的方法不受限制）（如图）第i个小区域记为（也表示第i个小区域的面积）（i=1,2,.）.分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于Z轴的柱面.这些柱面就把原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体.每个小曲顶柱体的体积记为：，显然有：二.代替：由于连续，当的直径很小时，对于同一个区域，的变化也就很小，这时，我们可以近似地以“平”代“曲”，即以“不变”代“变”.在第i个小上任取一点，我们用来近似代替第i个小曲顶柱体的体积，即：.三.求和：曲顶柱体体积 四.取极限：为了得到精确值，无限细分，让每个小区域的直径都趋于零，或者令为第i个小区域的直径. 则引例2.

3、求平面薄片的质量问题：设有一个薄片占有平面上的区域，它在点处的面密度为且在上连续.求薄片的质量由于许多几何问题与物理问题的解决，最后都归结为求这样一种和式的极限，因此，在数学上就把它加以抽象，撇开其几何与物理意义，对一个一般的二元函数来讨论这种和式的极限，并把它叫二重积分.其一般定义是：二重积分的定义：（只读不写）设是定义在平面有界闭区域上的有界函数.将任意分割成个小闭区域.其中，第个小区域记为，（同时也表示第个小区域的面积）.在第个小上任取一点，作乘积,记为第个小区域的直径.如果无论对区域如何划分，也无论如何选取，总存在且相等，则称此极限值为函数在区域上的二重积分.记为： =-（*）注意：（

4、1）（*）式中，叫作被积函数；叫作面积元素；叫做积分表达式；叫积分区域.叫积分和式.（2）在二重积分的记号中，象征着积分和式中的.因为在二重积分的定义中，区域的分法是任意的，所以，如果在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线段来划分区域，那么除了包含边界曲线的一些小区域外，绝大多数小区域都是矩形.设矩形小区域的边长为，则.因此在直角坐标系中，面积元素也常常记为：，因此直角坐标系下又可记为：. （3）二重积分的存在性：可以证明-当在有界闭区域上连续时，则必存在.我们总假设在上连续，所以，必存在，今后不再说明.（4）的几何意义：曲顶柱体的体积的代数和.（5）的物理意义：平面薄片的质量.二重积分的性质（

5、请大家把这些性质与定积分的相关性质进行类比） 1(为常数). 2 34为之面积.）5若在上，则推论：6（估值定理）设M和m分别是在上的最大值与最小值，则 7（积分中值定理）设在上连续，为之面积，则在至少存在一点，使 .例1确定积分的正、负号.解：由定义，所以只须确定被积函数在积分区域上的符号即可.为此，先画出积分区域的草图.（作图，为正方形区域）.我们说：在区域内任意一点都有事实上，由于对于任意的有：，（3）式两边同时积分，得：. 所以，取负号.注意：其实，通过作图可显见例2比较与的大小.其中，是圆域解：只须考察还是？（作图即可显见）由于对于任意的有：-（4），所以， 故，所以，.例3估计的大

6、小.其中，解：由性质6，问题的关键在于求被积函数在闭区域上的最值.1 因为，所以，在内无驻点，也无不可偏导的点.因此，最值必在的边界上达到.2 作拉格朗日函数，令 解之，或.由于，所以， 3由积分中值定理，知： 例4.利用重积分的几何意义，判断下述结论是否正确？ （1）. （2），同上. （3），同上.解：（1）对；（2）错；（3）对.注意：（6）关于重积分的对称性（i）如果积分区域关于轴（或）轴对称，且被积函数关于（或）为奇，则=0；（ii）如果积分区域关于轴（或）轴 对称，且被积函数关于y（或X）为偶，则（其中，为的上（右）一半区域）.二重积分的计算 二重积分的计算有两套系统，先讲（一）利

7、用直角坐标计算二重积分 根据我们上次课讲的二重积分的概念知道，二重积分是一种和式的极限，即：= 为了清楚起见，我先把这种计算方法写出来，然后，再加以几何解释.定理：设在上连续，且为所谓的X-型区域则有：完全类似，设在上连续，且为所谓的Y-型区域，则有： 使用公式时应注意的事项：（i）要注意两公式各自所适用的积分区域的特点.（ii）如果积分区域既是X-型区域，又是Y-型区域，理论上讲，两公式都可以用，但其实未必.大家以后可以看到：如果选择的两次积分的次序不合适，可能第一次积分积不出来；或者虽然第一次积分可做出来，但太过麻烦，使第二次积分很难继续进行.因此，要综合考虑被积函数和积分区域的因素，选择

8、合适的积分次序.（iii）如果积分区域既非X型区域，又非Y-型区域，这时，需要将分割成若干小的区域，使每一个小的区域或为X型区域，或为Y-型区域.然后，在每一个小区域上分别积分.最后，原积分之值等于各小区域上积分之和.（iv）另外，如有可能，尽量使用对称性以简化运算.例5.计算，其中是由轴、轴和抛物线所围成的在第一象限内的区域.解一：画出积分区域的草图.（视D为X型区域） 解二：画出积分区域的草图.（视为Y型区域） 注意：此题虽然两公式都可行，但显然解（二）更简单.例6.计算，其中是由抛物线及直线所围成的区域.解一：画出积分区域的草图.（视为Y型区域） 解二：画出积分区域的草图. 因为虽然是X

9、-型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次改变，故不得已对进行分块.（作图：用直线将分成其中， 于是，有 .注意；由例2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦.我们说有些时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来.请看下面的例7.求，其中是由抛物线及直线所围成的区域.解一：画出积分区域的草图.（视为Y型区域） 第一次积分就积不出来了.可见，这种次序行不通，让我们换一种次序再试试.解二：画出积分区域的草图.（视为X-型区域）. .总结：计算二重积分的一般步骤 （一）.先画出积分区域的草图； （二）.根据积分区域及被积函数的特点，恰当地选择积

10、分次序，并定出两次积分的上、下限； （三）.计算累次积分.注意：选择积分次序的原则 （一）.选择的积分次序使积分区域尽可能的少分块，以简化计算过程. （二）.第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二次积分. （三）.确定上、下限是重积分的关键.例8对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序.解：（1）这里 .画出草图如右. （2）更换积分次序，即要将积分区域视为X-型区域.为定限方便，需将积分区域分为三块： ，则其中， 于是，有： 例9.对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序.解：（1）这里 记 ，.分别画出草图如右.则 （2）更换积分次序，即要将积

11、分区域视为X-型区域.为定限方便，需将积分区域分为四块： ，则其中， 于是，有： 例10.计算解：此题中积分区域本来是非常规范的矩形域（画图） 但由于被积函数为分段函数，故需要用抛物线将积分区域分成两个小区域.即，则原式=其中， 于是，有原式=例11.设在闭区间上连续且恒大于零.试利用二重积分证明： 证明一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有： 以及所以， 其中， 同时， （1）+（2），得： 即：.证明二：因为，所以，即： （5）式左边是的非负二次三项式，因此必有判别式，故计算二重积分还有另一套系统即（二）极坐标下计算二重积分前面我们学习了利用直角坐标计算二重积分的方法，介绍了两个公式.但是

12、，我还要告诉大家：并非所有的二重积分都可以在直角坐标下计算.请看下面的：例12.计算解：显然，积分区域既非X-区域，又非Y-区域,需要将分块.以将分块，使之成为为X-区域为例.（将分块，使之成为Y-区域的方法、难度类似）.将分为四块. ，则其中， ， 于是，有： 显然，上述解法即使可以得到结果，也将是非常麻烦的.其实，这种做法不仅仅是麻烦的问题，这四份积分中的任意一份都不可积.因此，此种解法是行不通的，须另寻其他方法.其实，如果用下面我们将要介绍的计算二重积分的第二种方法-极坐标下计算二重积分，上述例子将很容易解决. 1.由直角坐标到极坐标计算二重积分的变换公式： -（*） 2.公式（*）的解

13、释.3.将极坐标系下的二重积分化为二次定积分 （1）极点O在区域D的外部，则 （2）极点O在区域D的边界上，则 （3）极点O在区域D的内部，则 注意：（1）在极坐标下化二重积分为二次积分一般都是先对r后对积分.当积分区域是圆域或圆环域或它们的一部分时，可以优先考虑在极坐标下来做. （2）如欲利用对称性，应先在直角坐标系下用完对称性后，再用极坐标计算.例13.解： 注意：若利用对称性 例14计算，其中D是由圆周所围成的区域.解：画出积分区域的草图.从而， 注意：对上例，如先在直角坐标系下使用对称性，问题将大大地简化. 例15求球面与圆柱面所包围的立体的体积（指含在柱体内的部分）.（作图）解：利用

14、对称性 ，其中，.即 例17将转化为极坐标下的二次积分.解：例18计算解：设则所以， 例19将二次积分化为极坐标下的二次积分.解；由积分限画出积分区域，如图所示. 例20将二重积分表为极坐标形式的二次积分.其中，为所围成的区域.解：作图.例21用极坐标表示，其中区域由不等式所确定.解：由题意知，在第一象限（因为）又这是四叶玫瑰线所围的区域.，故.例22计算由所围成的区域的面积.解：但此曲线用直角坐标则很难画出.为此，先把它转换为极坐标.极坐标方程为：.由曲线方程可知：图形对称于轴（且不能取负值），即图形在轴右边，且经过原点. 因为， 当当因此，当时，有最大值2;当时，有最小值0.从而可大致画出

15、来.如右所示.所以，由对称性，四.第一型曲线积分先看引例求曲线型构件的质量：已知曲线型构件位于平面内的一段曲线弧上，在点处，线密度是，在上连续.求此构件的质量解：（一）分割：在曲线段上按顺序任意插入个分点，将其分割成个小弧段：.（同时，也代表第个小弧段的弧长度.（）（二）代替：由于在上连续，所以当很小很小时，第i个小弧段可近认为是质量均匀的.因此，第i个小弧段的质量 ，其中. （三）求和：整个曲线型构件的质量. （四）取极限：规定 不再多举例子，这种形式的和式的极限在研究其它问题时也会遇到.第一型曲线积分的概念：设函数在光滑或分段光滑的曲线段上有界，用上的点把任意分成n个小弧段：（同时，也代表

16、第个小弧段的弧长度）.（.任取.如果无论对如何分割，也无论如何选取，极限总存在而且相等，则称此极限值为在的第一型曲线积分（又称对弧长的曲线积分）.记为： 几点注意：（1）在定义中，中不是独立的，共同受的方程的约束，即： .由此启发我们计算第一型曲线积分的方法是将其化为一元函数的定积分进行计算.其实，这点从第一型曲线积分的记号上也可以猜出.（ 2）.（3）如果是分段光滑的：，则.（4）如果是封闭曲线，特记为.（5）之长度.（6）的物理意义：把看成线密度时曲线型构件的质量.（7）的几何意义：当时表示以为底、以轴为母线的曲顶柱面的面积.（8）推广；空间曲线上的第一型曲线积分. （9）存在性：如果在上

17、连续，则必存在.（10）根据第一型曲线积分的定义，引例中.（11）（12）第一型曲线积分的计算方法 1. 设，在上有连续的一阶导数，则 注意：定限的原则是下限必须小于上限.例23求，L是解：.所以，注意：若计算（为什么用对称性如何解释？）例26.求，解： .于是， 例27.求，L为曲边三角形OAB(作图)的边界曲线.解：，其中： ， （另：）例28.求，L如图所示.解：由对称性2.L由极坐标方程给出 ，则例29.试求柱面包含在球面内部的那部分面积.解：由对称性其中，例30.试用曲线积分求平面曲线绕直线旋转所生成的旋转曲面的表面积.解：（微元法）在上任一点处取微元ds.ds绕旋转所生成曲面可近似

18、看成圆柱面，面积为：.其中， 为点到直线的距离.所以， 五.第二型曲线积分先看引例：变力沿曲线做功：设一个质点在平面内从点沿光滑的曲线弧移动到点.在此过程中，质点在点处受到力的作用，其中在上连续.求在上述移动过程中变力所做的功解：（分析：如果力是常力，且质点是沿直线段从点移动到点，那么力在此移动过程中所做的功.-（1）但现在不仅力是变力，而且质点是沿曲线段移动的，问题就复杂得多了，显然公式（1）不能用了.如何解决这个新问题？仍然是“元素法”！我们把它归纳为：）（一）分割：在有向曲线段上沿的方向从点到点任意插入个分点，把分割成个小的有向弧段，依次记为： .（二）代替：由于光滑而且很短，因此可用有

19、向小直线段来近似代替，其中分别是向量向轴、轴上的投影（注意，未必）;又由于在上连续，所以当很小很小时，可近似认为质点沿第个小弧段移动过程中所受的力所为常力 ，其中.因此质点沿第i个小弧段移动过程中力所做的功 （三）求和：质点沿整个有向曲线段L移动过程中力所做的功.（注意到功是标量）（四）取极限：规定 .定义：设为平面内从点到点的一条有向光滑的曲线弧.函数在上有界.在上沿的方向从点到点任意插入个分点，把分割成个小的有向弧段，记为： .设向轴、轴上的投影为，并任取点.如果当各小弧段长度的最大值时，无论对有向曲线弧如何分割，也无论如何选取，极限总存在而且相等，则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标的

20、曲线积分，记作： ；类似地，如果当各小弧段长度的最大值时，无论对有向曲线弧如何分割，也无论如何选取，极限总存在而且相等，则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标y的曲线积分，记作： 其中称作被积函数，称做积分弧段或积分路径.以上定义的两种积分称为对坐标的曲线积分（或第二型的曲线积分）.几点注意：（1）注意这里的积分曲线弧是讲究方向的！记号及中的相当于定义中的，是小有向线段向轴、轴上的投影，因此，未必，这一点与一元函数的定积分记号中的有本质的区别（那里，表第个小区间的长度！）;（2）中不是独立的，共同受的方程的约束，即：.由此启发我们计算第二型曲线积分的方法也是将其化为一元函数的定积分进行计算.其

21、实，这点从第二型曲线积分的记号上也可以猜出.（3）规定（ 4）.（5）如果是分段光滑的：，则.（6）如果是封闭曲线，特记为.（7）的物理意义：质点在变力作用下沿有向曲线弧移动过程中，力所做的功.（8）存在性：如在连续，则必存在.（9）根据第一型曲线积分的定义，引例中.第二型曲线积分计算方法 在对坐标的曲线积分中，设为xoy平面内从点到点的一条有向光滑的曲线弧.函数在上连续. 1. 设曲线的起点（横坐标为），终点 (横坐标为)，并设的方程为这时由定义得： ）上式后面的这个极限便是函数在区间上的普通定积分.即 完全类似， 故有：2.设曲线的起点（横坐标为），终点 (横坐标为)，并设的方程为： 类似

22、可得 完全类似， 故有：3.设曲线的参数方程为并设时对应于曲线的起点；时对应于曲线的终点，曲线上的对应点由变化到.类似地，可得： 注意：以上的公式中所有的下限都不必小于上限！例31.计算（1）；（2）解：（1）所以， （2）所以，例32计算，闭曲线BOAB(如图)解： （1）其中， （2）其中， （3）其中， 所以，=-1+0+1=0.例33计算，其中L的方程为（1） 抛物线上 从点O(0,0)到点B(1,1的一段弧；（2） 抛物线上 从点O(0,0)到点B(1,1的一段弧；（3） 有向折线段OAB，这里O,A,B依次是点O(0,0),A(1,0),B(1,1).解：（1）为抛物线上 从点O(

23、0,0)到点B(1,1的一段弧； 其中，（2）为抛物线上 从点O(0,0)到点B(1,1的一段弧其中，（3）为有向折线段OAB，这里O,A,B依次是点O(0,0),A(1,0),B(1,1). 其中，例34计算，其中L是圆周沿逆时针方向.解：，所以， 问题：如果是圆周沿顺时针方向，结果又如何？六.格林公式及其应用定理：设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有： 其中是的取正向的边界曲线.例35.利用格林公式计算逆时针方向.解：这里 所以由格林公式，可得： 例36.计算其中为闭区域的正向边界曲线；为之面积. 注意：由例36可推出一种计算平面闭区域面积的方法：例37.计算由椭

24、圆所围的面积.解： 例38计算，其中是椭圆，沿逆时针方向.解：利用格林公式： .其中，为由椭圆围成的区域.由于关于轴对称，而为的奇函数，故由对称性， .所以， (之面积).又由于是椭圆域，故=. 所以，.例39求其中为圆周的顺时针方向.解：注意到上的点满足，所以， 对（12）可以使用格林公式，（）即： 注意：例39告诉我们，虽然有些曲线积分不满足格林公式的使用条件，但通过转化，有时可以对转化后新的曲线积分形式使用格林公式.例40计算曲线积分，其中是由位于第一象限中的直线段与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由A(1,0)到B(0,1)再到C(-1,0).(作图)解：这个积分如直接用参数方程法计算是很困难的，同学们可以自己用此法试一下.所以不妨考虑使用格林公式，不过，这里的积分曲线不封闭，不能直接使用.增加辅助线，使得成为封闭曲线.记D为所围成的区域.由格林公式，得： 之面积）=又，故： 例41计算，其中L为的正向.解：这里在原点不连续，所以，不能直接应用格林公式.以原点为中心作一个充分小的椭圆取逆时针方向，使之完全包含在为