微分方程模型经济数学建模课件西安交通大学,戴雪峰演示课件

1、1,数学建模,西安交通大学理学院 戴 雪 峰 E-mail: ,2,微分方程模型（动态模型）,3,一、人口模型,以前常用这样的方法： 设人口增长率为r，今年人口为a0， 那末一年后为a0(1+r)，两年后就为a0(1+r)2， ，k年后的人口为ak= a0(1+r)k。 这个公式的前提是年增长率r保持不变。,4,1、指数增长模型（Malthus model）,基本假设： 人口的增长率为常数或者说单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。,5,分析与建模： 记时刻t的人口为x(t).视x(t)连续、可微，记初始时刻t=0时人口为x0，人口的增长率r，r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系

2、数，,在t到t+t内，人口增量为,6,当 有,表明人口按指数规律无限增长（ ）,7,该模型与前面的模型区别在于：前面模型r为年增长率，而该模型r为单位时间的人口增长。,将t以年为单位离散化，模型表示:人口以er为公比的等比数列增长，这时r表示年增长率，而通常 ， ，代入模型得： ，可以看到，前面的模型不过是指数增长模型离散形式的近似表示。,8,2、阻滞增长模型（Logistic model）,将r表示为人口x(t)的函数r(x)，r(x)应为减函数。最简单假设r(x)=r-sx，r、s0，这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率。显然任意x0，r(x)r。为了确定s的意义，引入自然资源和环

3、境条件所容纳的最大人口数量xm（称最大人口容量）。,9,当x=xm时，增长率应为零，即r(xm)=0。,体现了对人口增长的阻滞作用。,10,称为阻滞增长模型。,指数增长模型修改为：,该模型缺点：xm不易得到（随着生产力的发展，xm可以变化）,11,前面两种模型都是确定型的，是只考虑人口总数的连续时间模型。现在还发展了考虑人口年龄分布模型（随机性模型），还有离散时间模型等等。,3、更复杂的人口模型,人口的增长与人口按年龄的分布有关。,12,设在时刻t，年龄小于r的人口数量为,为人口的年龄密度函数,年龄在r和r+r之间的人数为p(r,t)r。记 为时刻t年龄r的人单位时间的死亡率，即在t,t+t内

4、年龄在r,r+r内的死亡人数为,13,现考虑t时刻年龄在r,r+r内人数为p(r,t)r，当经过t时间后，这部分人年龄就在r+t，r+r+t内人数为p(r+t,t+t)r，,14,15,婴儿出生率记为f(t)，即,16,由此偏微分方程可解得p(r,t)，解为 :,对于人口问题，还可以考虑更多因数。 在此不作进一步讨论。,17,二、新产品销售量,一种耐用新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产品的生命周期（Product Life Cycle），简记为PLC。PLC曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型，试建立数学模型分析此现象。,18,1、问题分析,信息传播一般有两

5、个途径： 部分人使用而对产品有所评价并传播开来，使其周围的人们得到了有关产品的信息，这是来自消费者内部的信息。 广告、亲眼看到商品等来自消费者以外的信息；,由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，故产品的累计销售量可以认为是购买者人数。,19,2、建模与求解,设K为潜在的消费者总数， n(t)为t时刻购买了该产品的人数，在时间段 t , t+t 中，n由两部分组成，n1是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量；n2是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量。,20,21,22,三、放射性废物处理问题,美核管会这样处理放射性废物：把废物装入密封的圆桶中, 扔到水深300英尺的海里。这样

6、是否会造成放射性污染？自然引起了社会各界的关注。核管会一再保证,圆桶非常坚固,决不会破漏。人们却对此表示怀疑,认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。究竟谁的意见正确呢?,23,问题的关键：圆桶能承受多大速度的碰撞，圆桶在和海底相撞时速度有多大？实验发现：圆桶在40英尺秒的冲撞下会发生破裂.,圆桶重量：W527.436（磅），圆桶受浮力：B470.327（磅）圆桶受到的阻力：Dv（测得C0.08）。取垂直向下的坐标，以海平面为坐标原点，,24,25,26,27,28,四、药物在体内的分布,用微分方程研究实际问题时，常用一种“房室系统”的观点考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，把研究

7、对象看成一个整体（单房室系统），或将其剖分成若干个相互存在某种联系的部分（多房室系统）。,29,房室系统具有以下特征：考察对象均匀分布（一般并非均匀分布，采用了一种简化方法一集中参数法），房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在于介绍建模方法。,30,药物分布的单房室模型,假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立关系式,31,药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即,32,情况1：快速静脉注射,在快速

8、静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：,33,其解为：药物的浓度：（负增长律的Malthus模型）,34,与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：,35,情况2：恒速静脉点滴,药物以恒速点滴方式进入体内，即: 则体内药物总量满足：,36,解为：或易见：,37,对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次之间的间隔为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故：,38,（第一次）,类似可讨论以后各次点滴

9、时的情况，区别只在初值上的不同。(第二次点滴起，患者体内的初始药物浓度不为零)。,39,情况3：口服药或肌注,口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，,40,则y满足：因而：,D为口服或肌注药物总量,41,所以：,解得：,42,从而药物浓度：,上述三种情况体内血药浓度变化曲线:,43,容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰

10、值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同（为达治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。,已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。,44,上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，事实上并非这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。,45,五、传染病问题,某传染病正在流行，试问得病人数是如何变化的？,1 问题研究传染病流行期间，得病人数随时间的变化的规律。记 x(t)患病人数占总人数的百分比,46,47,48,49,50,51,小结：用微分方程建立数学模型的规则，常有以下几种：,1）工程师原则：在能解决问题的前提下，模型越简单越好。,52,2）房室系统：（隐含的假设：个体无差异）,（r=生育率-死亡率）,当r为常数时是指数模型(Malthus) 。,53,随着人口的增加，资源有限，人们的生活水平下降，身体体质下降，出生率下降，而死亡率增加，所以r会随时间变化，模型修改为,54,为了简单，设r(t)为线性函数：,为Logistic模型。,在房