第二章一元函数微分

1、第二章 一元函数微分学一导数与微分1知识要点1 导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率 2 导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率。曲线在点处的切线方程为： 法线方程为：3 在经济学中，的边际函数是指关于自变量的变化率。例如表示边际成本函数，表示边际收入函数，表示边际利润函数。4 函数可导与连续的关系：如果函数在点可导，则在点处连续。但是，连续却不一定可导。5 求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则。6 微分的定义与运算法则。 2典型例子 例1：求函数 的一、二阶导数并讨论其连续性。

2、例2：设 （为实数），问在什么范围内（1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导例3：设是可导函数，对于任意实数有 ，且，求函数的表达式。例4：求的不可导点的个数。（答案：2）例5：设，则在点可导的充分必要条件是（）存在；（）存在；（）存在；（）存在。例6：设是由方程所确定的隐函数，求 （答案：）例7：设且二次可微，求（答案：）例8：设函数的导数与二阶导数均存在，并且均不为零，其反函数为，求。 （答案：）例9：作已知曲线的切线，使其平行于直线，使求此切线方程。 （答案：）例10：已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于的切线与法线的直线方程。（答案：，）例11：设在上连续，且，则下列

3、结论中错误的是（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得（答案：（） （2004年数学三）例12：以下命题中，正确的是（）若在内连续，则在内有界。（）若在内连续，则在内有界。（）若在内有界，则在内有界。（）若在内有界，则在内有界。（答案：（） （2005年数学三）二微分中值定理1知识要点 微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦。 1定理：设在闭区间上连续，在内可导，且，则存在，使得，即方程在内至少存在一个实根。定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法。2中值定理：设内可导在

4、闭区间上连续，在内可导，则存在，使得 即 中值定理将函数和导数联系在一起了。3中值定理：设函数与满足：在闭区间上连续，在内可导，。则存在，使得很明显，定理是中值定理的一种特殊情况，而中值是中值定理的一种特殊情况。4带余项的公式：设在点的阶导数存在，则 带余项的公式：设在点的某邻域内具有阶导数，则，有其中公式将函数和高阶导数连续在一起了。公式的基本思想是利用多项式逼近函数。2典型例子 例1：如果 为满足的实数，证明方程在内至少有一个实根。例2：设在上连续，在内可导，且，试证：（1） 存在，使；（2） 对任意实数，必存在，使 例3：设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得 例4：设在上可导，且，

5、求证：存在使得，例5：设在上连续，在内二阶可微，求证：例6：设在上可导，且，证明在上存在两点，使 例7：设在上具有三阶连续导数，且，证明：在上至少存在一点，使例8：设在上存在二阶导数，且，证明：存在，使例9：证明：例10：设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明存在，使得.(2007年数学一)三导数的应用1知识要点 利用导数和中值定理，我们可以研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性与拐点，可以证明不等式、可以研究方程实根的个数等等。2典型例子 例1：设，证明： 例2：求证：例3：对任意实数，证明不等式例4： 设的导数在处连续，又，则（）是的极小值点；（）是的极大值点； 是曲线的拐点； 不是的极值点，也不是曲线的拐点例5：已知在点的某邻域内有定义，且有，其中为正整数，讨论在点处是否有极值。例6：设函数对于一切实数满足微分方程（1） 若在（）有极值，证明它是极小值；（2） 若在有极值，则它是极大值还是极小值？例7：设，求证：（1）（2）例8：设在内有定义，存在，且满足如果，求证： 例9：求方程 在区间 内的实根的个数。例10： 讨论方程 的实根的个数。例11： 设，求证：（1）对任意自然数，方程 在内只有一个