菱形基础知识点及同步练习含答案

1、 学科：数学 菱形 【基础知识精讲】 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ：四边都相等的四边形是菱形 定理1 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理2 【重点难点解析】 菱形的性质 1 菱形具有平行四边形的一切性质； (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； (3) (4)菱形是轴对称图形 =对角线乘积的一半2菱形的面积=底高 A重点、难点提示 理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好） 1经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生 2 的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体

2、会说理的基本方法； 了解菱形的现实应用和常用的判别条件； 3 体会特殊与一般的关系 4 考点指要 B 菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 除具有平行四边形的一切性质具有平行四边形的一切性质 菱形是特殊的平行四边形， 外，菱形还具有以下性质： 菱形的四条边都相等； 两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起） 每一条对角线都平分一组内角（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起） （不是对角线，而是 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴 其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段） （学会利用轴对称

3、的方法研究菱形） 菱形的判别方法： 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形 【难题巧解点拨】ADACBCEDBCADBAC=90ABC4-24：例 1如图，在中，于，平分，交 于G，交AB于E，EFBC于F求证：四边形AEFG是菱形 思路分析 由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等 证明：BAC=90，EFBC，CE平分ACB， AE=EF，CEA=CEF （这是略证，并不是完整的证明过程） ADBC，EFBC， EFAD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行） CEF

4、=AGE，（两直线平行，内错角相等） CEA=AGE， AE=AG， EFAG，且EF=AG， 四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又AE=EF， 平行四边形AEFG是菱形 例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数 已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm求ADC、ABC、BCD、DAB的度数 思路分析 利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25 解：在菱形ABCD中， AB=BC=CD=DA ， 又AB+BC+CD+DA=20cm， AB=BC=CD=DA=5cm，

5、又AC=5cm ， AB=BC=AC，CD=DA=AC， ABC和DAC都是等边三角形， （本题将边之间的长度关系转化为角的关系） ADC=ABC=60，BCD=DAB=120 例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，BAE=FAE，FBA=FBE求证：四边形ABEF是菱形 证法一：AFBE， FAE=AEB （两直线平行，内错角相等） 又BAE=FAE， BAE=AEB ， AB=BE （等角对等边） 同理，AB=AF ，BE=EF， AB=BE=EF=AF， 四边形 ABEF是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 证法二：AFBE ， FAE= AEB， 又BAE=FAE ， BAE=A

6、EB，AB=BE 又FBA= FBE， AO=OE，AEFB，（等腰三角形三线合一） 同理，BO=OF， 四边形ABEF是菱形 （对角线互相垂直平分的四边形是菱形） （你还有其他的证明方法吗？不妨试一下） 例 4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_ 思路分析 本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用： 解法一：如图4-27， B：A=1：2， ABCD是菱形，四边形 BC， AD ， A+ B=180 ， B=60，A=120 ， AEBC 于E过A作 ，BAE=30 11BE?AB?，（直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半） 2222232?AB?BE1?AE?，

7、 （勾股定理）3?2?BC?AE?S （平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） ABCD菱形 4-28， 解法二：如图 ，A=12 B ABCD四边形 是菱形， BC， AD B=180 ， A+ A=120 ，B=60 ， O，连结 AC 、BD交于点1?ABD?30?B? ，ACBD 2 （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）1?AB?1AO中， ， 在RtABO 222223?1?2?BO?AB?AO? ， 32BD? ， AC=2，1132?23?ACBD?2?S ABCD菱形2223答：菱形的面积为 【典型热点考题】 例1 如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是B

8、C、CD上的点，且B=EAF=60，BAE=18，求CEF的度数 点悟：由B=60知，连接AC得等边ABC与ACD，从而ABEADF，有AE=AF，则AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求CEF 解：连接AC 四边形ABCD为菱形， B=D= 60，AB=BC=CD=DA， ABC与CDA为等边三角形 AB=AC，B=ACD=BAC=60， EAF=60， BAE=CAF AE=AF 又 EAF=60， EAF为等边三角形 AEF=60， AEC=B+BAE=AEF+CEF， 60+18=60+CEF， CEF=18 例2 已知如图4-14，在ABC中，BAC=90，ADBC

9、于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求证：四边形AEFG为菱形 点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直) 证明： BAC=90，EFBC， CE平分BCA， AE=FE， AEC=FEC EFBC ， ADBC， EFAD FEC=AGE ， AEC=AGE ， AE=AG 四边形AEFG为平行四边形 又 AE=AG 四边形AEFG为菱形 点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证 例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE求证：EB=OA 证明： 四边形ABCD为菱形， ABC=2

10、ABD ， ADBC， DAE=AEB， AB=AE， ABC=AEB DAE=2ABD DAE=2 BAE， ABD=BAE， OA=OB BOE=ABD+BAE ， BOE=2 BAE BEA=BOE ， OB=BE， AO=BE 说明： 利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路 例 4 已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5： 4，求菱形的各内角的度数 点悟：先作出菱形ABCD和对角线 AC、BD(如图 4-16) 解： 四边形ABCD是菱形， AC BD， 1+2=90，又 1：2=4：5， 1=40，2=50， DCB=DAB=2 2=100， 故 CBA=

11、CDA=21=80 【同步达纲练习一】 一、选择题 ( ) 1 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 120， 135 (B)60， (A)45 150 90 (D)30，(C)90 ，则它的边长倍，且此菱形的面积为S 2若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2 ( ) 为111SS5S3S (c)(A) (D) (B) 222 二、填空题 B=_. 是BC、 CD 上的点，且AE=EF=AF=AB，则3已知：菱形ABCD中，E、F_. b， 则此菱形周长为_ ，面积为4已知：菱形的两条对角线长分别为a、_. 5菱形具有而矩形不具有的性质是 338，则菱形的边1： 6平方厘米，

12、且两条对角线的比为已知一个菱形的面积为_. 长为 三、解答题 求M、NABMN过O且垂直BD，分别交CD、已知： 7O于为对角线BD的中点， 证：四边形DNBM是菱形 ，求菱形的高，BD=12cm，已知菱形8如图4-17ABCD的对角线交于点O，AC=16cm 【同步达纲练习二】) ，则BD：AC等于( 1 在菱形ABCD中，若ADC=1203:333:2 D： C1B A 2 ) ( 两对角线的长度之比为，3 ：4，则两对角线的长分别为2已知菱形的周长为40cm 32cm ，24cm 4cm C12cm，16cm D， ，A6cm 8cm B3cm) ( 菱形的对角线具有 3 A互相平分且不

13、垂直 B互相平分且相等 C互相平分且垂直 D互相平分、垂直且相等 （掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质） 2cm160 ，则菱形的周长等于4已知菱形的面积等于_，高等于8cm ，那么它的边长是_ 5已知菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则较短的对角线长是_cm40cm，两邻角的比是1：2 6菱形的周长是AGBD、AGBC，且，如图4-29，在ABC中，BAC=90，BD平分ABC 7 是菱形求证：四边形BC于FAEFD相交于点E，DF 分别交、ACAD、BCAC8如图4-30，平行四边形ABCD的对角线的垂直平分线与 AFCE是菱形、O求证：四边形于点E、F 参考答案 【同步达纲练习一】

14、 ；DB； 2 一、11ab22b2a? 380，；4二、 2 5对角线互相垂直，各边长相等 6 4 厘米 三、7 由已知MN为BD的垂直平分线， 有 DM=BM，DN=BN ， 又由DOMBON，得DM=BN ， DM=BM=BN=DN 四边形DNBM是菱形. DH为菱形的一条高于H，则过点D作DHAB 8 ，BD互相垂直平分于O AC 又、116?OB?BDAB?8OA 厘米， 厘米 22 由勾股定理，得 22?10?BOAB?AO ( 厘米 ) 11AB?DH?BD?OA， 又 2211?10?DH?12?8， DH=9.6厘米 22 【同步达纲练习二】 1B； 2C； 3C； 480cm； 55； 610； 7证法一：在RtABD和RtFBD中， BD为ABC的平分线，ABD=FBD，DAB=DFB=90， 又BD=BD，RtABDRtFBD AD=DF，ADE=EDF 又DFBC，AGBC，DF/AE， EDF=DEA，ADE=DEA，AD=AE， AE=DF，四边形AEFD是平行四边形 AD=DF，四边形AEFD为菱形 证法二：同证法一得DF=DA=AE， RtABDRtFBD，AB=BF，ABEFBE， AE=EF，DF=DA=AE=EF，四边形AEFD是菱形 证法