近世代数期末考试试卷及问题详解

1、实用标准文案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 ?33ea,ae,ae,a,aA 、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-

2、b| ?=，（14，）=（24、是三个置换，其中）=（12）（23）、4设（、13332211?=（ ） （1324），则3?22? C、A、 D、 B、1221215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。 2、一个有单位元的无零因子-称为整环。 4aGa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-同构。 5、A=1.2.3 B=2.5.6

3、 那么AB=-。 ?为-、若映射。既是单射又是满射，则称 6a,a,a?FF使果数一个代元，如存在的-得域、7叫做的n01n?a0?aa?。 n10 精彩文档实用标准文案 aax?a?x是代数系统的元素，。，8、对任何均成立则称 为-A?x)0A,(GG作成一个群，如果满足9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合对于乘法封闭；结合律成立、-。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。 ?）是一，中的运算，（是所有偶数做成的集合，“

4、E”是数的乘法，则“”是E2、设E? ）是不是群，为什么？个代数系统，问（E，3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当mab。 精彩文档实用标准文案 近世代数模拟试题三 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（

5、）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶 2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A、（N,） B、（Z,） ?) (P(A), D、C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D

6、、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。 ?1?ffaf aAAA-的一个元，则与。间的一一映射， 2、如果是是3、区间1，2上的运算的单位元是-。 ?mina,ba?b4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。 5、环Z的零因子有 -。 86、一个子群H的右、左陪集的个数-。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。 nammne?aG存在整除关系为-如果、9设群中元素的阶为，。，那么与

7、精彩文档实用标准文案 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S，S是A的子环，则SS也是子环。S+S也是子环吗？ 221121?(234)(456)?S?)?(1345)(1245、设有置换，3。 6?1?；和 1求?1?的奇偶性。和2确定置换 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。 2-1aeaabbaaba。和为含幺半群，证明2、M=的充分必要条件是 精彩文档实用标准文案 近世代数模拟试题一 参考答案 一、单项选择题。 1、

8、C；2、D；3、B；4、C；5、D； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。 ?122,1,102,?11,?1,1,0,；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、1、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） ?写成不相杂轮换的乘积： 和1、解：把?(123)(48)(57)(1653)(247)(8)6)? ?可以写成如下对换的乘积：和为奇置换，为偶置换。 可知 ?(13)(12)(48)(24)(27)(57)?(13)(15)(16 11?)?A?(A?AAB?)C 22是任意方阵，令、解：设AB

9、是对称矩阵，2，则A?B?CBCC?A?B分别为对称而，这里。若令有C是反对称矩阵，且和1111B?B?C?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵和反对称矩阵，则11B?BC?C，所以，表示法唯一。，即： ，矩阵，于是两边必须都等于011M?M中有两个不同的单位元素0和m）不是群，因为。、答：3（ ，mmm四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 2?1?1?1(xy)?exy?(xy)?yx?yx（对每y，由于，所以中任意元1、对于Gx，2?1x?ex?x）。可得 个x，从2、证明在F里 a11?(a,b?Ra?,bab?b?0) b a?Q?所有(a,b?R

10、,b?0)? b?的子集F 有意义，作?Q 证毕。的一个商域显然是R 精彩文档实用标准文案 近世代数模拟试题二 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。 1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：H的3个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 ) H的3个左陪集为：I,(

11、1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 ) ?）中无单位元。 ）不是群，因为（E，2、答：（E，3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。 然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明 设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a

12、*xb的解。 若x?G也是a*xb的解，则x?e*x?(a1*a)*x?a1*(a*x?)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。 Z 记上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合2、容易证明这样的关系是Za ，a或者也可记为；mx所在的等价类记为为Zm，每个整数aa=xZ称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。 精彩文档实用标准文案 近世代数模拟试题三 参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、C；2、C；3、D

13、；4、D；5、A； 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 a、；6、相等；57、商群；8、特征；3、2；4、24；1、唯一、唯一；2、 mn； 、9三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。 2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, abS1和a-b, abS2 ， 因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： ?1?)?(16524)?(1243)(56，、解：； 3 12两个都是偶置换。 四、证明题（本大题共2