第十讲学习和运用数形结合的思想解决数学问题

1、第十讲学习和运用数形结合的思想解决数学问题数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，运用对立统一的规律“数”与“形”相互影响，相互渗透数形结合是研究数学的 重要思想方法。 解决代数问题时，要注意数轴、直角坐标系的作用，借助于数轴、直角坐标系，把形与数联系到一起。 数形结合的实质是把抽象的数量关系与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以精细的数学方法研究直观的细节。 例1 已知二次函数 y=ax2 -bx+c 的图像如图所示，下列结论中哪些是正确的，请你一一指出并说明理由 (1)c0 ， (3) 4a +2b+c0 ， (4)(a+c)2b2 解： (1)y=ax2 +bx+c 与 y

2、轴交于 c(0 ， c) ；点 C 在 y 轴的负半轴上， c0 (1) 是正确的 (2)y=ax2 +bx+c 的图像开口向下， a0 (2) 是正确的 (3) 由对称轴 x=1 ，得点 B 为 (2 ， 0) 当 x=2 时， y= 4a +2b+c0 (a+c)2 -b2 =(a+b+c)(a+c-b) a0 ， c0 ， -b0 a+c-b0 (a+c)2 -b20 ，即 (a+c)2b2 (4) 是正确的 正确的结论有三个，它们是 (1) ， (2) ， (4) 例2 如图，一次函数 y=kx+b 的图像与反比例函数的图像交于 A 、 B 两点 (1) 利用图中条件，求反比例函数和一

3、次函数的解析式； (2) 根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 解： (1) 由图中条件可知，双曲线经过点 A(-2 ， 1) ， 1=,m=-2 反比例函数的解析式为 y= 又点 B 也在双曲线上， n=-2 ， 点 B 的坐标为 (1 ， -2) 直线 y=kx+b 经过点 A 、 B ， 一次函数的解析式为 y=-x-1 (2) 根据图像可知，一次函数的图像在反比例函数的图像的上方时，一次函数的值大于反比例函数的值 当 x-2 或 0x0 ， n0) ，反比例函数 y=的图像与直线 AB 交于 C 、 D 两点， P 为双曲线 y=上任意一点，过 P 点作 PQ

4、 x 轴于 Q ， PR y 轴于 R (1) 用含 m 、 n 的代数式表示 AOB 的面积 S ； (2) 若 m+n=10 ， n 为何值时 S 最大 ? 并求出这个最大值； (3) 若 BD=DC=CA ，求出 C 、 D 、 D 两点的坐标； (4) 在 (3) 的条件下，过 O 、 D 、 C 三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为 x=-时，矩形 PROQ 的面积是多少。 解： (1) A( 3m ， 0) ， B(0 ， n)(m0 ， n0) OA= 3m ， OB=n S=mn ； (2) 由 m+n=10 ，得 m=10-n 代入 (1)S=-n2 +15n ， 当 n= =

5、5 时， S最大 = (3) 过 C 、 D 作 32 轴的垂线，垂足分别为 E 、 F 由 BD=CD=CA 根据平行线等分线段定理得 OF=EF=FA 又 OA= 3m ， OE= 2m ， OF=m 可设 C 、 D 两点坐标分别为 C( 2m ， y1 ) ， D(m ， y2 ) 又 C 、 D 在反比例函数 y=的图像上， C( 2m ，) ， D(m ， 1) ； (4) 设过 0 、 D 、 C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c 解这个方程组得该抛物线的对称轴为 m=1 y= P 点在反比例 y=的图像上， P(z ， y) xy=1. 即 S 矩形 OQPQ =

6、1 例4 已知如图， AB 是半圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点， PC 切半圆 O 于 C ， BD AB 于 B ， OC 交 BD 于 D ， AC 交 BD 于 E G 是半圆 O 上一点，且 CG=CB AG 交 PC 于 F ， CF=4 ， tan P= 解： PC 与 O 切于 C ， OC PC CG=CB 1= 2 又 2= 3 ， 1= 3 AF CO ， AF PF tan P= 设 OC=3x ， CP=4x ， 由勾股定理，得 OP=5x 解出 x= OC=5 ，又 DB AB 于 B 在 Rt 0DB 和 Rt 0PC 中， ODB OPC DB=CP

7、= .在 Rt APF 中， PF=4+= ， tan P=-， AF=PF tan P AF=8 1= 2 ， F= ABE=90 ， Rt ACFc Rt AEB BE=5 DE=DB-BE=-5= 解决几何问题，要时刻抓住图形的位置关系和数量关系，位置影响数量；反过来数量也影响位置 在这道题当中，利用直径、切线、弧相等等条件产生的结果，就是构造平行和直角三角形，从而使问题得以解决 例5 已知：如图， AB 、 AC 、 ED 分别与 O 切于点 B 、 C 、 D ，且 AC DE 于 E ， BC 的延长线交直线 DE 于 F 若 BC=24 ， sin F= (1) 求 EF 的长；

8、 (2) 试判断直线 AB 与 CD 是否平行若平行给出证明，若不平行说明理由 解： (1) 在 Rt CEF 中， CEF=90 ，由 sin F=，设 CE=3x ， CF=5x 由勾股定理，得 EF=4x ED 、 EC 分别切 O 于点 D 、 C ， ED=EC=3x 由切割线定理，得 FD2 =FC FB (7x)2 =5x (5x+24) x2 -5x=0 x1 =5,x2 =0( 不符题意，舍去 ) EF=4x=20 (2) 答： AB 与 CD 不平行 连结 BD ED 与 O 切于点 D ， CBD= CBF 又 F= F ， BDF DCF CF=5x=25 ， DF=7

9、x=35 在等腰 Rt CDE 中， CE=3z=15 CD=15 BD=15BC=24 BD BC BDC BCD AB 与 O 切于 B ABC= BDC ABC BCD AB 与 CD 不平行 例6 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(-2 ， 0) ， B(3 ， 0) ， C(5 ， 6) ，过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 D (1) 若直线 y-kx+b 过 B 、 C 两点，求 k 、 b 的值； (2) 如图， P 是线段 BC 上的点， PA 交 y 轴于点 Q ，若点 P 的横坐标为 4, 求 S四边形 PCDQ ； (3) 设点 E 在线段 DC 上， A

10、E 交 y 轴于点 F ，若 CEB= AFB ，求 cos BAE 的值 分析：解决好这道题，要注意点的坐标和求的直线解析式，图形面积以及某个角的锐角函数值的关系 解： (1) 直线经过 B 、 C 两点， 解之，得： k=3 ， b=-9 (2) 由 (1) 知，直线 BC 的解析式为 y=3x-9 而点 P 在 BC 上，当 x-4 时， y=3 过点 P 作 PH x 轴于点 H ，则 QO PH ， ACQ AHP AO/AH=OQ/PH OQ=1 连结 PD ，则 S四边形 PCDQ=(3) DC OB ABE= CEB= AFB 而 FAB= BAE ， ABF AEB 即 AB

11、2 =AE AF 设直线 AE 的解析式为 y=k1 x+b1 ， A(-2 ， 0) 代入 -2k1 +b1 =0 ， b1 =2k1 注意：点在线段上和点在直线上是不一样的，所以在解决问题的时候一定要注意点和线段或者是直线的位置关系 因为点在线段 DE 上，所以长度就受到了限制，在审题的时候，就可以得到数量影响位置、位置限制了数量，抓住相互之间的影响来解决问题 例7 已知抛物线 y=ax2 +bx+c(a 0) 的顶点为 P ，与 x 轴的两个交点为 M 、 N( 点 M 在点 N 的左侧 ) ， PMN 的三个内角 P 、 M 、 N 所对的边分别为 p 、 m 、 n 若关于 x 的一

12、元二次方程 (p-m)x2 +2nx+(p+m)=0 有两个相等的实数根 (1) 试判定 PMN 的形状； (2) 当顶点 P 的坐标为 (2 ， -1) 时，求抛物线的解析式； (3) 平行于 x 轴的直线与抛物线交于 A 、 B 两点，以 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切，求该圆的圆心坐标 分析：由于 M 、 N 是抛物线与 z 轴的交点， P 是抛物线的顶点，所以 MPN 一定是等腰三角形但是 P 、 M 、 N 的对边分别是 p 、 m 、 n ，是关于方程的里边有两个相等的实数根，因此由判边式可以得到 p 、 m 、 n 之间的数量关系 解 (1) 关于 x 的一元二次方程 (p-m)x2 +2nx+(p+m)=O 有两个相等的实根， =(2n)2 -4(p-m)(p+m) 一 O 即 p2 =m2 +n2 又由二次函数的对称性可知，这个三角形是等腰直角三角形 (2) 抛物线的顶点为 (2 ， -1) ， 设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2 -1 即 y=ax2 -4ax+ 4a -1 由 (1) 知， MPN 为等腰直角三角形， PM=PN a=1 抛物线的解析式为 y=x2 -4x+3 (3) 设平行于 x 轴的直线为 y=k; y=k 与抛物线 y=x2 -4x+3 相交于 A 、 B 两点， 方