2412垂直于弦的直径--谷显亮（自制精品）

1、24.1.2垂直于弦的直径,O,.,C,A,E,B,D,O,C,E,D,.,.,.,.,永川中学 谷显亮,圆 是 _对 称 图 形 ， _ 是圆的对称轴.,1圆的基本性质,轴,任何一条直径所在的直线,如何证明呢？,圆 是 _对 称 图形， _是对称中心 圆 绕_旋转任意一个角度，都能够与原来 的图形重合，这种性质叫_,1圆的基本性质,圆心,圆心,中心,旋转不变性,如何证明呢？,看一看,AEBE,AEBE, AEBE,已知：在O中,动动脑筋,叠合法,结论：,CD是直径，, AB是弦且CDAB于E。,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直

2、于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的一条弧 （5）平分弦所对的另一条弧,O,C,A,E,B,D,.,.,.,.,（1）过圆心(直径）圆心O,（2）垂直于弦垂足E,（3）平分弦中点E,（5）平分弦所对的另一条弧弧的中点D,（4）平分弦所对的一条弧弧的中点C,动动脑筋,根据垂径定理与推论可知： 对于一个圆和一条直线来说，如果具备：,（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦， （4）平分弦所对的一条弧 （5）平分弦所对的另一条弧,上述五个条件存在“知二求三，求一找二”的关系 （“平分弦的直径”作为条件时，“弦”不能是直径）,统一：,结论,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两

3、条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.,结论,推论（1）,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径.,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE

4、4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。,.,A,E,B,O,典例精析,例题：如图 ，某居民区一处圆形水泥管下水管道破裂塌陷，修理人员准备更换一段新管道，现量得污水面宽度为 60 cm，水面到管道顶部距离为 10 cm，问修理人员应准备内径是多少的水泥管道？,思路导引：利用已知条件，把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形,针对练习,反思提炼,两个基本图,两个基本数量关系:,例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,典例精析,典例精析,推论（2）,圆的两条平行弦所夹的弧相等,小结:,解决有关弦的问题，经常作辅助线： 过圆心作弦的垂线、直径或弦心距， 连结半径等，构造RT。,学生练习,已知：AB是O直径，CD 是弦，AECD，BFCD 求证：ECDF,一个定理,反思提高,两个推论,三 条 辅 助 线,两个基本应用 （计算、证明、作图）,一 个 基 本 构 造,三 个