2011年江苏高考数学试题

1、高三数学附加冲刺练习一21.选做题在B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B选修42：矩阵与变换已知矩阵（1）求逆矩阵；（2）若矩阵X满足，试求矩阵XC.选修4 - 4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为，求的最大值。D.选修45：不等式选讲已知函数（为实数）的最小值为，若，求的最小值必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22、已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？23、已知，（其中）求及；试比较与的大小，并说明理由高三数学附加冲刺练习二B.（选修42：矩阵与变换）已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的

2、一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2求矩阵A，并写出A的逆矩阵C（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.D选修45：不等式选讲求函数的最大值22某中学选派名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示()从“青志队”中任意选名学生，求这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率； ()从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望活动次数参加人数23用四个不同字母组成一个含个字母的

3、字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为.（1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.江苏省太仓高级中学高三理科附加冲刺练习3B选修42：矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1）求矩阵M的逆矩阵；（2）设直线在变换M作用下得到了直线m：2xy=4，求的方程C.选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）选修4-4：坐标系

4、与参数方程求经过极点三点的圆的极坐标方程。D选修45：不等式选讲D（选修45：不等式选讲）已知，证明不等式：（1）；（2）22（本小题满分10分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证面；（2）求二面角的大小。22（本小题满分10分）已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行，该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 （1）求随机变量的数

5、学期望E； （2）记“关于x的不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。高三理科附加冲刺练习421B、变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是（）求点在作用下的点的坐标；（）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程21C已知曲线的方程，设，为参数，求曲线的参数方程21 D选修45：不等式选讲已知关于的不等式（）.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为，求实数的取值范围22.投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0a1），把这四枚硬币各投掷一次，

6、设孜表示正面向上的枚数.（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；（2）求孜的分布列及数学期望（用a表示）；（3）若出现2枚硬币正面向上的概率最大，试求a的取值范围.23（） 已知动点到点与到直线的距离相等，求点的轨迹的方程；（） 若正方形的三个顶点，()在()中的曲线上，设的斜率为，求关于的函数解析式；（） 求(2)中正方形面积的最小值。高三理科附加冲刺练习521B选修42矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值； （2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.21C选修44参数方程与极坐标已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参

7、数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由21D选修45：不等式选讲已知x，y，z均为正数求证：22. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知数列中，.求证：；(2)当时，.23必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知，（1）若，求的值；（3分）（2）若，求中含项的系数；（3分）（3）证明：（4分）江苏省太仓高级中学高三理科附加冲刺练习1参考答案21.B、（1）设=，则=解得=-6分（2）-10分C、原方程化为即3分圆的直角坐标方程为 5分圆心M(2 , 2)，半径为7分10分D、解：因为，2分所以时，取最小值，即，5分因为

8、，由柯西不等式得，8分所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 10分22、解：（1）将代入得，-2分 由可知， 另一方面，弦长AB，解得；-6分（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，-8分即，即位于（4，4）点处-10分【解】取，则；取，则，； -4分要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，；当时，；当时，；猜想：当时，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即，两边同乘以3 得：而，即时结论也成立，当时，成立.综上得，当时，；当或时， 江苏省太仓高级中学高三理科附加冲刺练习221B解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1可得， 6，即c

9、d6； 3分由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2， 6分解得即A， 8分A逆矩阵是21C解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆，4分直线方程的普通方程为，6分圆C的圆心到直线l的距离，8分故直线被曲线截得的线段长度为 10分21D.由柯西不等式，故当且仅当，即时，取得最大值为22、()这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为 4分 5分()由题意知6分7分8分的分布列：01210分的数学期望: 12分23解（1）：证明：（）当时，因为，所以等式正确.（）假设时，等式正确，即，那么，时，因为，这说明时等式仍正确.据（），（）可

10、知，正确.（2）易知，当为奇数（）时，因为，所以，又，所以；当为偶数（）时，因为，所以，又，所以.综上所述，.江苏省太仓高级中学高三理科附加冲刺练习31. 解:()设,则有=,=,所以,解得 3分所以M=,从而= 5分()因为且m：2， 8分所以2(x+2y)(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程。10分2.将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题 点的直角坐标分别为 故是以为斜边的等腰直角三角形， 进而易知圆心为，半径为，圆的直角坐标方程为 ，即 将代入上述方程，得 ，即3.证明：（1）由均值不等式可得，即，故所证成立 （5分）（2）因为 ， ， 式两边相加，得 即，故所证

11、成立 （10分）22. 解：取BC中点O，连AO，为正三角形，在正三棱柱中，平面ABC平面,平面，取中点为,以O为原点，,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.,。，,面。5分 （2）设平面的法向量为,。，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，为平面的法向量，二面角的大小为。10分 23、（1）由题意知的可能取值为0，2，41分指的是实验成功2次，失败2次.2分指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.3分指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.4分5分（2）由题意知：“不等式的解集是实数R”为事件A.当时，不等式化为10，其解集是R，说明事件A发生；6分当

12、时，不等式化为，所以解集是R，说明事件A发生；7分当时，不等式化为其解集，说明事件A不发生. 8分9分答：故随机变量的数学期望为.10分江苏省太仓高级中学高三理科附加冲刺练习41.解：（），所以点在作用下的点的坐标是。（），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是。解：将代入，得，即 当 x=0时，y=0；当时， 从而 原点也满足， 曲线C的参数方程为（为参数）D（选修45：不等式选讲）（1）当时,得, 即, 解得, 不等式的解集为 5分（2） 原不等式解集为R等价于 ， 实数的取值范围为 10分22.解：（）由题意，得2分（）着=0，1，2，3，4.3分4分 5分6分7分得孜的分布列为：孜01234p孜的数学期望为：8分（）9分10分0 .0 . 11分12分23.类似地，可设直线的方程为：， 从而得， 4分由，得，解得， 6分（）因为，8分 所以，即的最小值为，当且仅当时取得最小值10分江苏省太仓高级中学高三理科附加冲刺练习521.B解：（1）由=，（2分） . （3分）（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 （5分）令，得矩阵的特征值为与4. （6分）当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分） 当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）21C。解：（1）由得 分（2）由得曲线的普