坐标系与参数方程2016高考复习

1、选修4-4：坐标系与参数方程1. 极坐标系极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。【例1】在极坐标系中

2、，描出点，并写出点M的统一极坐标。2.极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：极点与直角坐标的原点重合；极轴与x轴的正方向重合； 两种坐标系中取相同的长度单位。（2）互化公式，注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【例2】极坐标方程化为直角坐标方程为 ( ) A. B. x2 +（y+）2 = C. x2 +（y）2 = D. （x）2 + y2 = 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1) (2）3. 简单曲线的极坐标方程1极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上

3、，那么方程叫做曲线C的极坐标方程。(由于都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁)圆心在（，0）半径为的圆的极坐标方程为： 以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为 : (是定值，是任意的)（1）过极点，极角为的射线的极坐标方程： （2）过极点，极角为的射线的极坐标方程： 直线极坐标议程可以用表示极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为： 【例4】极坐标方程（）=0（0）表示的图形是（ ）（A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和

4、一条射线【例5】过极点且关于极轴的倾斜角是的直线的极坐标方程是_过点且与极轴垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 过点且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A. B. C. D. 过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是 4.参数方程：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。定义：一般地，在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。即且满足(1)对于a，b中的任何一个t1，则得到的(x1，y1)点都在曲线C上；(2)曲线上的任意一点P(x

5、0，y0)的坐标x0，y0通过在a，b上可求得一个t.那么上述方程叫曲线C的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线C的直角坐标方程，简称普通方程。直线的参数方程问题：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程.解：直线的普通方程为把它变形成进一步整理令该比例的比值为，即【问题】：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程.解：在直线上任取一点M(x,y),则设是直线的单位方向向量，则因为所以存在实数使即于是即过点，倾斜角为的直线的参数方程为参数的几何意义所以,直线参数方程中参数的绝对值等于直线上动点到定点的距离.利用直线参数方程中参数的几何意义,简化求直线上两点间的距离.，只有时，才

6、具有此几何意义。【结论】【例6】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与交于两点，求【例7】（08新课标卷）已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）（）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线写出的参数方程与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由【例8】（09新课标卷）已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直

7、线 （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【例9】（10新课标卷）已知直线C1（t为参数），C2（为参数）（）当=时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。【例10】（11新课标卷）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【例11】【2012省联考题】在平面直角坐标系 中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，直线的方程为直线与曲线C的公共点为。（1） 求点的极坐标；（2） 过点作