第四章数据拟合法

1、第四章 数据拟合法一、内容分析与教学建议本章内容是对样条函数及其理论的简单介绍，主要介绍了三次样条和B样条。样条插值是分段多项式插值的深化和完善，是插值方法中最重要和最常用的方法。（一） 最小二乘法1、数值逼近的另一种重要方法数据拟合方法，它有别于插值法的主要特点是：不要求拟合曲线过插值点。而最小二乘法是最重要的数据拟合方法之一。2、阐明最小二乘法的最小二乘原理，由最小二乘原理得到超定方程组（又称矛盾方程组），解得超定方程组的解，即得所求拟合曲线的方程。3、使用最小二乘法，关键是根据已知数据点的大致走势，选好基函数，构造拟合函数。4、建议用多媒体演示，给出大量的数据，根据所给数据的特点，选择不

2、同的基函数，构造不同的拟合函数，用计算机现场演算，并画出拟合函数曲线及所给数据点，使学生直观地了解最小二乘法的精髓。（二） 正交多项式1、阐明正交多项式的一般定义。2、介绍几个常用的正交多项式：Legendre多项式、Tchebyshev多项式、Laguerre多项式、Hermite多项式，了解它们的表达式以及下列信息：Legendre多项式在上关于权正交；Tchebyshev多项式在上关于权正交；Laguerre多项式在上关于权正交；Hermite多项式在上关于权正交。（三） 最佳平方逼近1、了解最佳平方逼近及最佳平方逼近多项式的概念。2、通过具体例子讲解如何求函数的最佳平方逼近多项式。（四

3、） 最佳一致逼近1、简介Bernstein多项式的概念和性质，以及通过构造Bernstein多项式，人们非常简洁地证明了Weierstrass定理，并由此引如一致逼近的概念。2、阐述最佳一致逼近及最佳一致逼近多项式的概念，重点介绍描述最佳一致逼近多项式特征的Tchebyshev定理，并举例说明。3、讲解最小零偏差问题，通过具体例子介绍Tchebyshev多项式的应用降低逼近多项式的次数。4、这一节的内容理论性比较强，应多结合例子进行讲解。（五） B样条曲线B样条曲线是外型设计中最常用的造型曲线，它是计算几何的重要内容。可向学生简单介绍B样条曲线的基本概念和生成过程，最好用多媒体动画演示，使学生

4、能直观地了解B样条曲线在外型设计中的运用。这一部分可视课时情况，安排介绍内容的深度和广度。本章结束时，建议安排一次上机实习，加深和巩固学生对数据拟合方法，尤其是最小二乘法的了解和掌握。二、补充例题例1 利用正交化方法求上带权的前三项正交多项式，.分析：本题主要是为了进一步熟悉正交多项式的构造方法。这里要求带权正交，可利用首项系数为1的正交多项式的关系式来求：其中；.解 ，利用公式以及内积定义，得所以 ；再由 得 故.例2 求超定方程组（或矛盾方程组）的解.分析：求解超定方程组，一般用最小二乘法。由教材知：直接用正规方程组求解。解 由题设知，故正规方程组的系数矩阵和右端项分别为.解正规方程组 得

5、.例3 求形如为常数，且的经验公式，使它能和下表数据相拟合：分析：经验公式不是多项式，应设法将其变为多项式。本题可通过取对数的方法将变为，若令，则有. 求出后在变回即可。解 对经验公式两边取自然对数，得. 令，则有.取. 为了求出，需将数据转化为，即根据最小二乘法，需求出正规方程组，经计算有故由解得.于是最小二乘拟合曲线为.例4 选取常数，使达到最小。又问这个解是否惟一？分析：本题可以这样理解：即把常数0看作是函数在上的最佳一致逼近多项式，然后按照零为的最佳一致逼近多项式的充要条件去确定常数.解法一 要使达到最小，只要使0为函数在上的最佳一致逼近多项式。由于0为函数在上的最佳一致逼近多项式的充

6、要条件是：0在上有2个轮流为正、负的偏差点。若设，则与0的偏差点使达到最大，且这些偏差点一定是使取最大或最小或取极值的点，因此需考察这些点。由得：当时，在点处取极小值，且极小值为；在区间端点有.显然，不能使达到最大。故令，即，整理得，分解得 ，所以或.当时，；当时，.由，解得. 另一方面，又有，从而产生矛盾。所以使达到最小时，有惟一解.解法二 设，因为在上是奇函数，所以，根据最小；零偏差多项式定理，有，故得. 从而达到最小时，有惟一解.例5 设为的Bernstein多项式，试证：当时，恒有.分析：本题结论实际上是：的Bernstein多项式不会产生新的最大值和最小值。利用的Bernstein多项式及常数函数的Bernstein多项式可以证明题中的结论。证 因为，及 ，所以 ，即 .又因为，故 .例6 设，分别为在上的最小值和最大值，则在上的零次最佳一致逼近多项式为.分析：连续函数在闭区间上一定可达到，故存在，使. 只要能够证明是与的一对