(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练5新人教A版

1、最新 料推荐名校专题 -圆锥曲线培优训练 5x2y21a2b22 ） ， N( 6 ,1)1、设椭圆 E:（ a,b0 ）过 M（ 2，两点， O为坐标原点（）求椭圆 E 的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点 A,B,且 OAOB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB | 的取值范围，若不存在说明理由。x2y21解 : （ 1）因为椭圆 E: a2b26 ,1)（ a,b0 ）过 M（ 2， 2 ）， N(两点 ,42111a2b2a28a2861111x2y21所以 a2b2解得b24 所以 b24 椭圆 E 的方程为 844分（ 2）假设存在圆心

2、在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且 OAOB , 设该圆ykxmx2y2122ykxm 解方程组842(kxm)8 ,的切线方程为得 x即 (12k 2 ) x24kmx 2m280 ,则 =16k2 m24(12k 2 )(2 m28) 8(8k 2m24)0 , 即 8k 2m240x1x24km12k 22m28x1x22k 21228)8)22288kk2yyyy(kx(kxmm)()(kxkx2 2kmkm(xx2 2 kk(2(2mm44kkmm2 2mmmm) kk xxxxxx) ) mm2 22 2mm2 21 1 2 21 12 21 1

3、2 21 12 21122kk1122kk1122kk2m28m28k 20要使 OA OB , 需使 x1x2y1 y20 , 即 1 2k 21 2k28k28 0 , 所以 3m2k 23m2802m20 ,所以8又 8k4m22m28m26m2628 , 所以所以 3m3 , 即3或3,因为直线 ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线,1最新 料推荐22mr 2m2m 2826r1k13m83r1k 2,3,所以圆的半径为8,x2y28ykxmm2 6m2 6所求的圆为3, 此时圆的切线都满足3或3,x26x2y2126263与 椭 圆 84(,3)而 当 切 线 的 斜 率 不 存 在

4、 时 切 线 为的 两 个 交 点 为3或2626(,)OB ,33满足 OAx2y 28综上 ,存在圆心在原点的圆3 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB x1x24km12k 2x1 x22m28因为1 2k 2,( x1x2 )2(x1x2 )24x1 x2(4km2 )242m288(8k 2m24)12k12k2(12k2)2,所以| AB |( x1x2 )2y1y22(1k 2 )( x1x2 )2(1k 2 ) 8(8k2m24)(12k2 )2324k 45k 2132 14k 4k 23 4k 44k 2134k 2 1 ,8分| AB |32

5、11011321214k21484k44k48当 k0 时k 2k 2k 2,，因为所以323211123321424k46 | AB |2 3kk 2, 所以 32时取“ =”所以当且仅当| AB |46 k 0 时,32最新 料推荐26,262626)(3)(,3当 AB 的斜率不存在时 ,两个交点为3或3,| AB | 46所以此时3,12分4 6 | AB | 2 3| AB | 4 6, 2 3综上 , |AB |的取值范围为 3即 :314分2、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点M(2,1) ，平行于 OM的直线 l在 y 轴上的截距为 m(

6、 m 0) ， l交椭圆于 A、 B 两个不同点（ 1）求椭圆的方程；（ 2）求 m的取值范围；（ 3）求证直线 MA、 MB与 x 轴始终围成一个等腰三角形a2b解得a 28x 2y 2412解：（ 1）设椭圆方程为 a 2b 21( ab0)则 a 2b 21b22分x2y21椭圆方程824分平行于 OM，且在 y 轴上的截距为K OM1（ 2）直线 lm，又2y1 xm l 的方程为：2y1x m2x22m 2x22mx40y 2由 8126分直线 l 与椭圆交于 A、 B 两个不同点，(2m)24(2m24)0, m的取值范围是 m | 2 m2且 m0（ 3）设直线 MA、 MB的斜

7、率分别为 k1， k2，只需证明k1 k2=0 即可A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 k1y11y21x1, k2x22设2由 x 22mx2m 240 可得 x1x22m, x1 x22m248分k1k2y11y21( y11)( x22) ( y21)( x12)x1,x22( x12)( x22)而23最新 料推荐( 1 x1m1)( x22)( 1 x2m 1)( x1 2)22(x12)( x22)x1 x2(m2)( x1x2 )4(m1)( x1 2)( x2 2)2m24(m2)(2m)4( m1)( x12)( x22)2m242m24m4m40(x12

8、)( x22)10分 k1k2=0故直 MA、 MB与 x 始 成一个等腰三角形12 分x2y213 已知 E ： a2b2F1 , F2 ，且( a b 0 ) 点 P(3, 1) ，其左、右焦点分 F1 PF2 P6 （ 1）求 E 的方程；（ 2）若 M , N 是直 x 5 上的两个 点， 且 F1M F2 N ， 以 MN 直径的 C 是否 定点？ 明理由解：（ 1） 点 F1, F2的坐 分 (c,0),( c,0)( c0) ，则 F1 P(3c,1), F2 P(3c,1),故 F1 PF2 P(3c)(3c)110c 26 ，可得 c4 ，2 分所以 2a| PF1 | PF

9、2 |(34) 212(3 4)2126 2 ，4 分故 a 3 2, b2a2c218 16 2 ，x2y21所以 E 的方程 1826 分（ 2） M , N 的坐 分 (5, m),(5, n) ， F1 M(9,m), F2 N(1,n) ，又 F1 MF2 N ，可得 F1MF2 N 9mn 0 ，即 mn9 ，8 分(5,mn| mn |又 C 的 心 2),2半径 ，故 C 的方程 ( x 5)2( ym n )2( | m n |)222，4最新 料推荐即 (x 5)2y2(mn) ymn0 ，也就是 ( x 5)2y2(mn) y9 0 ， 11 分令 y 0 ，可得 x8

10、或 2，故 C 必 定点(8,0) 和 (2,0) 13 分（另法：（1）中也可以直接将点P 坐 代入 方程来 行求解；（ 2）中可利用 C 直径的两端点直接写出 C 的方程）4、已知点P 是直角坐 平面内的 点，点P 到直 l1： x2 的距离 d1 ，到点 F ( 1，0) 的距离 d2 ，d22且 d12 (1) 求 点 P 所在曲 C的方程；(2) 直 l 点 F 且与曲 C 交于不同两点A、 B( 点 A 或 B 不在 x 上 ) ，分 A、B 点作直 l1 : x2 的垂 ， 的垂足分 M、 N ， 判断点 F 与以 段 MN 直径的 的位置关系( 指在 内、 上、 外等情况 )

11、；(3) 记 S1S FAM ，S2S FMN ， S3S FBN (A 、B、M 、 N 是 (2)中的点 ) ， 是否存在 数S2SS，使 21 3成立若存在，求出的 ；若不存在， 明理由a2x2y2l1 : xa 2b 2 )、点 F (1(ab0，cc 一步思考 ： 若上述 中直 c，0) 、曲 C： a2b2， 使等式 S22S1 S3 成立的的 仍保持不 出你的判断(填写“不正确” 或“正确”)( 限于 ， 里不需要 反例，或 明) 222( x1)y2xy21解 (1) 点 P(x， y) ，依据 意，有| x2 |2 ，化 得2 3分x2y21因此， 点 P 所在曲 C 的方程

12、是：24 分(2) 点 F 在以 MN 直径的 的外部理由：由 意可知，当 点F 的直 l 的斜率 0 ，不合 意，故可 直 l ：xmy1 ，如 所示 5 分5最新 料推荐x2y212，可化 (2m2 ) y22my 10 ， 立方程 x my1y1y22m2 m2y1 y212m27 点 A(x1， y1 )、 B(x2， y2 ) 的坐 足分又 AMl1 、 BNl1 ，可得点 M (2， y1 ) 、 N (2， y2 ) 1m20因 FM(1，y1) ， FN(1， y2 ) ， FMFN( 1， y1) (1，y2 ) 1y1 y2 = 2m2 9 分于是，MFN 角，即点 F 在

13、以 MN 直径的 的外部10分可算出 x1x2m( y1y2 ) 24， x1 x2( my11)(my21)22m2(3) 依据 (2)2m22m2，S1 S312) | y1 |12) | y2 |( x1( x2则22111 1m24 2 m2 x1x22( x1x2 ) 42 (2 m2 )2，212121m2S2 (| y1 y2 | 1)( y1y2 )4 y1 y2 2m2 )224(2 14 分所以， S224S1S3 ，即存在 数4 使得 成立 15 分 一步思考 的判断：正确 18 分点 P 到直 xp1p 是正常数 ) 的距离 d1 ，到点 F (p，0)5、已知点 P

14、是直角坐 平面内的 点，2(2的距离 d2 ，且 d1d21(1) 求 点 P 所在曲 C的方程；l1 : xp(2) 直 l 点 F 且与曲 C 交于不同两点2 的垂 ， 的垂足分A、 B，分 A、 B 点作直 别为 M 、N ，求 FMFN =0 ；(3) 记 S1S FAM ， S2S FMN ， S3S FBN (A 、B、 M 、N 是 (2)中的点 ) ，6最新 料推荐S22S1S3 ，求的 解 (1) 点 P(x， y) ，依据 意，有| xp1|(xp )2y21y22 px 4 分22，化 得因此， 点P 所在曲 C 的方程是： y22 px 6 分由 意可知，当 点F 的直

15、 l 的斜率 0 ，不合 意，故可 直 l ： xmy1 ，如 所示 8分y22 pxxmyp22 立方程 2 ，可化 y2mpyp0 ，y1y22mp 点 A(x1， y1)、B( x2， y2 ) 的坐 足y1 y22p 10分又 AMl1 、 BNl1 ，可得点 M (pN (p，y2 )2， y1) 、2于是， FM(p，y1 ) ， FN( p， y2 ) ，因此 FM FN( p， y1 ) ( p， y2 ) p2y1 y20 12 分2m2 pp ， x1 x2y12y22p2(3)依据 (2)可算出 x1x2m( y1y2 )p2 p2p4 ，则S1 S31 ( x1p )

16、| y1 |1 ( x2p) | y2 |p2 x1 x2p ( x1x2 )p2 1 p4 (m21)22224244，212p2( y1y2 )24y1 y2 S2( | y1 y2 | p)4p4(122m ) 16 分S224所以，S1S3即 所求18分x 2y21a 2b 2b0 ）， 点 A(a,0) ， B(0,b) 的直 斜角 6 ，原点到 直6、已知： （ a7最新 料推荐3 的距离 2（ 1）求 的方程；（ 2）斜率大于零的直 D (1,0) 与 交于 E ， F 两点，若 ED2DF ，求直 EF 的方程；（ 3）是否存在 数 k ，直 ykx2 交 于 P ，Q 两点，

17、以 PQ 直径的 点 D (1,0) ？若存在，求出 k 的 ；若不存在， 明理由b31ab13a2b2解：（ 1）由 a3， 222，得 a3 ， b1 ，x2y21所以 方程是：3 4 分x 2y21，得 (m 23) y 2（ 2） EF： xmy1（ m0 ）代入 32my2 0 ，设 E(x1 ,y1 ) ， F ( x2 ,y2 ) ，由 ED2DF，得 y12y2 y1 y2y22my1 y22 y222m23 ，m 23 8 分由(2m) 213m1， m1 （舍去），（没舍去扣 1 分）得m 23m 2，直 EF 的方程 ： xy1即 xy10 10 分x2y21，得 (3k

18、 21) x2（ 3）将 ykx2 代入 312 kx9 0 （ * ）记P( x1 , y1 )， Q ( x2 ,y2 ) ， PQ 为 直 径 的 圆 过 D ( 1, 0) ， 则 PDQD， 即(x11, y1 ) (x21, y2 ) (x11)( x21) y1 y20 ， 又y1kx12 ，y2kx2 2， 得(k 21) x1 x2(2k1)(x1x2 )512k1403k 21 14 分7k7k0 ，6 ， 足 条件16 分解得6 ，此 （ * ）方程存在7、已知点 M ( 2,0), N (2,0)， 点 P 足条件PM PN 2 2 ， 点P 的 迹 W 。8最新 料推

19、荐（ 1）求 W 的方程；（ 2）过 N (2,0) 作直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点，使得 | AB | 22 ，求直线 l 的方程。（ 3）若从动点 P 向圆 C ： x2( y 4) 21作两条切线，切点为A 、 B ，令 |PC|=d,试用 d 来表示 PA PB ，并求PA PB 的取值范围。解：（ 1）由 PMPN22 ，知点 P 的轨迹是以 M ( 2,0), N (2,0) 为焦点，实轴长为2 2 的双曲线即设 2a 2 2, 2c4a2, c 2, b2 ，所以所求的 W 的方程为 x2y 22 4分（ 2）若 k 不存在，即 x=2时 , 可得 A(2, 2 )

20、， B(2,- 2 ),|AB|=22 满足题意；5 分若 k 存在，可设 l:y=k(x-2)yk ( x2)联立x 2y 22，(1 k 2 )x 24k 2 x 4k 22 01 k 20由题意知0kR 且 k16分则|AB|= | a |1k 28k 281k 2设 A(x1,y1),B(x2,y2),即|1k 2|=22k=0即 l:y=08 分所以直线 l的方程为 x=0 或 y=09分1221)(d22)2( d（ 3）PAPBPA PB cosAPB(d 21)(12sin 2 APO )( d1) 12 dd2又 d 2x2( y 4) 2y 22 ( y 4) 22 y28 y 1