赋值法在高中数学中的应用

1、赋值法在高中数学中的应用康乐一中 倾转莉（一）判断函数的奇偶性例1 已知函数y（x）（xR，x0），对任意非零实数x1x2都有（x1x2）（x1）（x2），试判断（x）的奇偶性。 (二)讨论函数的单调性例2 设（x）定义于实数集R上，当x0时，（x）1，且对任意x，yR，有（xy）= （x）（y），求证（x）在R上为增函数。 (三)求函数的值域例3 已知函数（x）在定义域xR上是增函数，且满足（xy）=（x）（y）（x、yR），求（x）的值域。 (四)判断函数的周期性例4 函数（x）定义域为R，对任意实数a、bR，有（ab）=2（a）（b），且存在c0，使，求证（x）是周期函数。 (五)求函数

2、的解析式例5 设对满足| x |1的所有实数x，函数（x）满足，求（x）的解析式。有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。二 赋值法在二项式定理中的应用在二项式定理（a+b)n=an+an-1b+abn-1+bn(nN)中，给a,b赋予一些特殊值，或者在（1+x)n=1+x+xn-1+xn中给x一些特殊值，可以得到相应的系数,所以“赋值法”在二项式定理求系数和中最常见。例题6： 在的展开式中,求:二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和;的奇次项系数和与的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数,故

3、在,中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,.定理：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系三赋值法在算法中的应用赋值是算法中的难点之一， 理解赋值对于理解算法是非常重要的。例如，a=5,就表示变量a被赋予的值是5，这个被赋值的变量可以与其他的值进行运算。对于被赋值的变量a，还可以赋予其它的值取代原来的值。我们可以用磁带录音来比喻赋值，在我们录音时，是把磁带上旧的录音材料冲掉之后，才能把新的录音材料加载上去。同样的道理，我们这里的赋值也是先把原来的值清零之后

4、，再把新的值赋上去。下面我们通过一个例子来说明如何设置变量和给变量赋值。 例8：设计一个算法，从5个不同的数中找出最大数。解：记这5个不同的数分别为a1,a2,a3,a4,a5,算法步骤如下： 1、比较a1与a2将较大的数记作b. （在这一步中，b表示的是前2个数中的最大数） 2、再将b与a3进行比较，将较大的数记作b. （执行完这一步后，b的值就是前3个数中的最大数） 3、再将b与a4进行比较，将较大的数记作b. （执行完这一步后，b的值就是前4个数中的最大数） 4、再将b与a5进行比较，将较大的数记作b. （执行完这一步后，b的值就是前5个数中的最大数） 5、输出b，b的值即为所求得最大数

5、。 分析：上述算法的4个步骤中，每步都要与上一步中得到的最大数b进行比较，得出新的最大数。b可以取不同的值，b就称之为变量。在第1步到第4步的算法过程中，我们都把比较后的较大数记作b，即把值赋予了b，这个过程就是赋值的过程，这个过程有两个功能，第一，我们可以不断地对b的值进行改变，即把数值放入b中；第二，b的值每变化一次都是为下一步的比较服务。四在恒成立问题中的应用例9、是否存在实数a,b c,使得函数f(x)=ax2+bx+c对于任意实数a均满足下列条件：（1）f(sin)2;(2)f(2-cos)2;(3)f(4) c,若存在，找出一组数a,b c，并画出函数的图象，若不存在，说明理由。分

6、析：若直接把sin、2-cos、4代入原函数化简，方程个数较多，自变量形式复杂，给解题带来一定难度，注意到题目中条件对一切实数均能使等式恒成立，故不妨令为特殊值为突破口。解：在（1）中令sin=1,则有f(1)2,在（2）中令cos=1,则有f(1)2，1o2xyf(1)=2,即a+b+c=2； 由f(4) c,得4a+b0,在（2）中令cos=-1,可得f(3) -2,化简即得4a+b0，可得4a=-b,则可求得c=3a+2;f(x)=ax2-4ax+3a+2=a(x-2)2+2-a-(1)在（2）中令cos=0,有f(2)=2-a2, a0,则（1）式表示开口向上，对称轴为x=2的抛物线，

7、取a=1,此时b 4,c=5,所得抛物线符合题意。五在解选择题及填空中的特殊应用选择题、填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可，故其应用相当普遍。例10、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）A、1 B、-1 C D -。略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1。例11、当aR时，关于x,y 的方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形，则它们的公共对称轴方程 （ ）A x+2y+1=0 B 4x+2y+1=0 C 4x-2y+1=0 D 2x-

8、4y+1=0略解：既然上述对称轴对一切aR都成立，不妨令a=0，则方程变为：x2+y2+x+y=0，即（x+)2+(y+)2=,此曲线为圆，圆心坐标为（，），只适合于C，故答案为C。例12、ABC中，角A，B，C依次成等差数列，则a+c与2b的大小（ ）A a+c2b C a+c2b D a+c2b略解：题中没有给定三角形的形状，不妨令A=B=C=600，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为300，600，900，可排除C，故答案为D。例10、定义在实数集上的函数f(x)=(x+a)3, 满足f(x+1)=-f(1-x),则f(2)+f(-3)= 。 略解：f(x+1)=-f(1-x)对一切

9、xR都成立，当然可以把x+1和1-x分别代入函数关系式得：(x+1+a)3=(1-x+a)3，化简后得到a的值。然而既然f(x+1)=-f(1-x)对一切xR都成立，不妨令x=0,可得f(1)=0,代入原函数关系可得a=-1,即f(x)=(x-1)3，故f(2)+f(-3)=-63。参考文献：例1.解：取x11，x21得（1）= （1）（1），所以（1）=0又取x1=x2=1，得（1）=（1）（1），所以（1）=0再取x1=x，x2=1，则有（x）= （x），即（x）=（x）因为（x）为非零函数，所以（x）为偶函数。 例2.证明：由（xy）=（x）（y）中取x=y=0得（0）=2（0）。若（0

10、）=0，令x0，y=0，则（x）=0，与（x）1矛盾。所以（0）0，即有（0）=1。当x0时，（x）10，当x10，而，又x=0时，（0）=0，所以（x）R，（x）0。设x1x2，则x10，（x2x1）1，所以（x2）= x1（x2x1）=（x1）（x2x1）（x1），所以y=（x）在R上为增函数。 例3. 解：因为x=y=1时，（1）=2（1），所以（1）=0又因为（x）在定义域R上是增函数，所以x1x20时，令x1=mx2（m1），则（x1）0。得以对于x1有（x）0。又设x1=mx20（0m1），则0x1x2。所以由函数在R上递增可得（x1）（x2）0,即（mx2）（x2）=（m）（x2）（x2）=（m）0。所以对于0x1有（x）0。综上所述：当xR时，（x）的值域为R。 例4证明：令，代入（ab） （ab）=2（a）（b）可得：（xc）=（x）。所以（x2c）= （xc）c= （xc）= （x），即（x2c）= （x）。则（x）是以2c为周期的函数。. 例5. 解：将x取为代入原等式，有， （1）将x取为代入原等式，有。 （2）（1）（2），且将原等式代入即得 例6. 解：设(*),各项系数和即为,奇数项系数