高数实验指导手册

1、高等数学实验实验一 函数的计算、绘图与极限一、实验目的1、熟悉Matlab数学软件；2、加深对数列极限和函数极限概念的理解；3、掌握Matlab求解极限的命令、绘图命令和程序设计。二、实验的基本理论与方法1、数列极限的定义；2、函数极限的定义。三、实验使用的函数与命令conv(u,v) 求多项式u,v的乘法decove(u,v) 求多项式u,v的除法root（u） 求多项式的根plot(x,y) 绘制变量为x，函数y的二维图形plot(x,y,z),mesh(x,y,z) 绘制三维图形limit(f,x,a) 求变量x趋于a时的极限四、实验指导1、多项式的运算多项式一般用向量表示，向量的元素表

2、示多项式的系数，缺少的项用0补足。例如x2+x+1可以表示为1,1,1，x4+x2+x+1可以表示为1,0,1,1,1。多项式u,v的乘法用命令conv(u,v)实现,除法用命令decove(u,v)实现,求多项式的根用命令root（u）实现。例：设p=x4+x2+x+1,q= x2+x+1,求p*q,p/q.p=1,0,1,1,1; q=1,1,1; w=conv(p,q)w = 1 1 2 2 3 2 1 r=deconv(p,q)r = 1 -1 1s=roots(p)s = 0.5474 + 1.1209i 0.5474 - 1.1209i -0.5474 + 0.5857i -0.5

3、474 - 0.5857i2、二维图形的绘制二维图形绘制可以使用plot(x,y)命令实现，其中x,y均为向量。例：绘制函数y=arctanx在区间（-100， 100）上的图形 x=-100:100; plot(x,atan(x)回车如果想把几个函数的图形绘制在一起，可以如下操作。 x=0:0.1:pi; y1=cos(x); y2=sin(x);Hold on %开启图形保持功能以便重复画点plot(x,y1)plot(x,y2)（或直接用plot(x,y1,x,y2)绘制）3、三维图形的绘制三维图形可以用plot(x,y,z),mesh(x,y,z)命令来绘制，前者为以x,y,z为坐标的

4、曲线图，而后者为曲面。例：绘制螺旋线 t=0:0.1:5*pi; x=cos(t); y=sin(t); plot3(x,y,t)例：t=0:pi/100:2*pi; x=sin(t);sin(t); y=cos(t);cos(t); z=(sin(t).2+(cos(t).2;(sin(t).2+(cos(t).2+1; plot3(x,y,z) x=cos(t); y=sin(t); z=x;y; %x,y必须为向量，其长度分别为m,n，则z必须为m*n矩阵。 mesh(z)4、函数的极限x=sym(x) %建立符号变量xsyms x y z %建立多个符号变量x，y，z，注意各符号变量之

5、间必须用空格隔开limit命令的使用格式如下：limit(f,x,a) %执行后返回函数f在符号变量x趋于a时的极限（缺省a默认为x趋于0）limit(f,x,inf) %执行后返回函数f在符号变量x趋于时的极限limit(f,x,a,left) %执行后返回函数f在符号变量x趋于a时的左极限limit(f,x,a,right) %执行后返回函数f在符号变量x趋于a时的右极限例：求函数y=x2+x,y=n/(n2+n)当x分别趋于1和时的极限 syms x y=x2+x; limit(y,x,1) ans = 2 y=n/(n2+n); limit(y,n,inf) ans =0 实验二 一元

6、函数的微积分一、实验目的1、掌握符号函数求导2、从几何直观上理解微分中值定理3、掌握函数的积分计算二、实验的基本理论与方法1、函数求导的定义2、函数微分中值定理3、函数积分的定义三、实验使用的函数与命令diff(y) 求函数y的导数int（f,a,b）计算函数f在区间（a,b）上的定积分四、实验指导1、符号函数求导求一个函数的导数可以用diff(y)来实现，其中y表示函数。例：求函数cos2(x)和cos2(x)+sin(x)*ex的导数syms x；diff(cos(x)2)ans =-2*cos(x)*sin(x)diff(cos(x)2+sin(x)*exp(x) ans =-2*cos

7、(x)*sin(x)+cos(x)*exp(x)+sin(x)*exp(x)2、从几何图形直观地观察微分中值定理研究函数cos2(x)+sin(x)*ex在区间0,pi上的图形，观察导数为0的点。左边是cos2(x)+sin(x)*ex在0,pi上的图形，右边是cos2(x)+sin(x)*ex的导函数在0,pi 上的图形3、函数的一重积分计算计算定积分可以用int（f,a,b）命令来实现。例 计算下列不定积分（1）；（2）；（3）。 syms x y z a b %定义符号变量 S=(2*x-7)/(4*x2+12*x+25); %定义符号表达式 int(S) %对符号表达式求不定积分ans

8、 =1/4*log(4*x2+12*x+25)-5/4*atan(1/2*x+3/4) S=1/(x4*sqrt(1+x2); int(S) ans =-1/3/x3*(1+x2)(1/2)+2/3/x*(1+x2)(1/2) S=exp(2*x)*cos(3*x)； int(S) ans =2/13*exp(2*x)*cos(3*x)+3/13*exp(2*x)*sin(3*x)求定积分（1）（2）（3）解 matlab命令为 syms x %定义符号变量 S=x2/sqrt(1-x2); %定义符号表达式 y1=int(S,0,1/2) %计算符号表达式在区间0，1/2上的定积分ans =

9、-1/8*3(1/2)+1/12*pi S=x*sin(x)2; %定义符号表达式y2= int(S,0,pi/2) %计算符号表达式在区间0，/2上的定积分ans =1/16*pi2+1/44、函数的二重积分求二重积分z=sin(x+y)+xy2在1x2,2y z1= int(z,1,2); z2= int(z1,2,3) z2 = -sin(5)+19/2+2*sin(4)-sin(3)求二重积分z=ex+y+cos(xy)在0x1,0ysyms x y; z=exp(x+y)+cos(x*y); int(int(z,0,1),0,1) ans = exp(1)2+sinint(1)-2*

10、exp(1)+15、函数的三重积分求三重积分w=sin(x+y)+zxy2在1x2,2y3,0z syms x y z; w=sin(x+y)+z*x*y2; int(int(int(w,0,4),2,3),1,2) ans = -sin(7)+76+sin(3)+sin(6)-sin(2)求三重积分w=ex+y+z3在0x1,1y2,0z syms x y z; w=exp(x+y)+z3; int(int(int(w,0,1),1,2),0,4) ans = 4*exp(3)+64-8*exp(2)+4*exp(1)实验三 符号方程的求解一、实验目的1、掌握微分方程符号求解的方法2、掌握代

11、数方程符号求解的方法二、实验的基本理论与方法1、微分方程的定义；2、代数方程的定义。三、实验指导1. 符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve（s）:求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。solve（s，v）：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve（s1，s2，sn,v1,v2，vn）：求解符号表达式s1，s2，sn组成的代数方程，求解变量分别为v1,v2，vn。例1 解下列方程解：f=sym(log(1+x)-5/(1+sin(x)=2);x=solve(f,x)x=-2.-1.983*i2.

12、符号常微分方程求解 在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示,D2y表示,Dy(0)=5表示。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：dsolve(e,c,v)该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c,则求方程的通解。dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：dsolve（e1,e2,，en,c1,，cn,v1,，vn）该函数求解常微分方程e1,e2,，en在初值条件c1,，cn下的特解。若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,，vn给

13、出求解变量。例2求微分方程初值问题的符号解，并与数值解进行比较解：y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y,y(0)=0,Dy(0)=15,t)y=3*exp(-2*t)*sin(5*t)实验四 多元函数及其微积分一、实验目的1、了解多元函数、多元函数积分的基本概念，多元函数的极值及其求法；2、理解多元函数的偏导数、全微分等概念；3、掌握MATLAB软件有关求导数的命令；4、掌握MATLAB软件有关的命令.二、实验的基本理论与方法1、多元函数的偏导数，极值；2、计算曲线积分，计算曲面积分；三、实验使用的函数与命令1、建立符号变量命令为sym和syms，调用格式为:x=sym(x) 建立符号

14、变量x；symsxyz 建立多个符号变量x，y，z；2、matlab求导命令diff的调用格式:diff(函数f(x,y),变量名为x) 求f(x,y)对x的偏导数；diff(函数f(x,y),变量名为x，n) 求f(x,y)对x的n阶偏导数；四、实验指导1、多元函数的微积分多元函数的求偏导数、高阶偏导数，以及重积分、线积分等使用的命令和一元函数的微积分使用的命令相同。只是在命令中的参数设置时注意是对哪一个变量求导和积分即可。例1 求二元函数的二个一阶偏导数和三个二阶偏导数。解 S=2*x*y/(x2+y2); %定义二元符号函数 dfx=diff(S,x) %计算对x的一阶偏导数 dfx =

15、2*y/(x2+y2)-4*x2*y/(x2+y2)2 dfy=diff(S,y) %计算对y的一阶偏导数dfy =2*x/(x2+y2)-4*x*y2/(x2+y2)2 d2fx=diff(S,x,2) %计算对x的二阶偏导数d2fx =-12*y/(x2+y2)2*x+16*x3*y/(x2+y2)3 d2fxy=diff(dfx,y %计算对x、y的二阶交叉偏导数d2fxy =2/(x2+y2)-4*y2/(x2+y2)2-4*x2/(x2+y2)2+16*x2*y2/(x2+y2)3 d2fy=diff(S,y,2) %计算对y的二阶偏导数d2fy =-12*y/(x2+y2)2*x+

16、16*x*y3/(x2+y2)3 d2fy=diff(dfy,y) %通过对y的一阶偏导数求偏导来求对y的二阶偏导数d2fy =-12*y/(x2+y2)2*x+16*x*y3/(x2+y2)3 例2、 求下列二重积分（1），其中D是由直线及x=2围成的区域。（2），其中D为：。解 （1）若先对y积分则积分上下限为：，分二次操作完成该二重积分。 S=sin(x)/x; %定义被积符号表达式 s1=int(S,y,x/2,x) %先对符号变量y积分s1 =1/2*sin(x) int(s1,0,2) %再对符号变量x积分ans =-1/2*cos(2)+1/2 %最后的积分结果（2）将此二重积分

17、化为极坐标形式： syms r sita %定义符号变量 S=2*r*log(r); %定义被积符号表达式 s2=int(S,r,1,4) %先对变量r积分s2 =32*log(2)-15/2 int(s2,sita,0,2*pi) %再对变量sita积分ans =64*pi*log(2)-15*pi %最后的积分结果例3 求对弧长的曲线积分：解：利用公式进行计算：程序为：symst;x=2*cos(t);y=2*sin(t);z=0;f=y2;int(y2*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2),t,-2*pi,2*pi)结果为16*pi.实验五 无穷级数及曲线拟合一、实验目

18、的1、了解无穷级数及其和函数的概念；2、理解函数展开成幂级数的有关理论；3、掌握多项式的曲线拟合；4、掌握MATLAB软件有关的命令.二、实验的基本理论与方法1、无穷级数及其和函数的概念；2、函数展开成幂级数的有关理论；三、实验使用的函数与命令把序列u1，u2，un，依次相加而成的式子叫做无穷级数，简称级数。如果un（n=1，2，）都是常数，那么叫做数项级数，如果un（n=1，2，）都是函数，那么叫做函数项级数。MATLAB通过调用函数symsum对级数求和，通过调用函数taylor将一个函数展开为级数。现将这两种函数的各种调用格式列于下表（见表41）。表51级数操作函数的调用格式调用格式说明

19、symsum(s)对符号表达式s中的默认符号变量k从0到k-1求和。symsum(s,v)对符号表达式s中的指定符号变量v从0到v-1求和。symsum(s,v,a,b)对符号表达式s中的指定符号变量v从a到b求和。symsum(s,a,b)对符号表达式s中的默认符号变量k从a到b求和。taylor(f)将符号函数f展开成默认符号变量x的n-1阶麦克劳林展开式，并给出前六项taylor(f,m,v)将多元符号函数f展开成指定符号变量v的m-1阶麦克劳林展开式，并给出前六项taylor(f,m,v,a)将多元符号函数f在v=a处展开成指定符号变量v的m-1阶泰勒展开式，并给出前m项taylor(

20、f,m)将符号函数f展开成默认符号变量x的m-1阶麦克劳林展开式，并给出前m项（m为正整数）taylor(f,a)将符号函数f在x=a处展开成默认符号变量x的n-1阶泰勒展开式，并给出前六项（a为实数）taylor(f,m,a)将符号函数f在x=a处展开成默认符号变量x的m-1阶泰勒展开式，并给出前m项四、实验指导1、级数求和与级数展开例1、求级数的前n项和与的级数和。 syms n k %定义符号变量 r1=symsum(1/2n,n) %计算的前n项和r1 =-2*(1/2)n r2=symsum(1/n2,n,1,inf) %计算的级数和r2 =1/6*pi2例2、求级数和级数的和函数。

21、 r3=symsum(-1)(n-1)*xn/n,n,1,inf) %计算级数的和函数r3 =log(1+x) r4=symsum(-xn/(2n*(n+1),n,0,inf) %计算级数的和函数r4 =2/x*log(1-1/2*x)例3、函数展开成的幂级数 syms x y a b %定义符号变量 f=x2*log(1+2*x); %定义符号表达式 taylor(f,5,2) %将函数在x=2点展开成5阶Taylor级数ans =4*log(5)+(8/5+4*log(5)*(x-2)+(32/25+log(5)*(x-2)2+62/375*(x-2)3-38/1875*(x-2)4 ta

22、ylor(f,6,x,2) %将函数在x=2点展开成6阶Taylor级数ans =4*log(5)+(8/5+4*log(5)*(x-2)+(32/25+log(5)*(x-2)2+62/375*(x-2)3-38/1875*(x-2)4+184/46875*(x-2)5例4、将二元函数展开为x的5阶、y的8阶麦克劳林级数、在x=2展开为6阶的泰勒级数。 syms x y a %定义符号变量 f=a/(x+y); %定义符号表达式 taylor(f,5,x) %计算x的5阶麦克劳林级数ans =a/y-a/y2*x+a/y3*x2-a/y4*x3+a/y5*x4 taylor(f,5) %利用

23、默认符号变量计算x的5阶麦克劳林级数ans =a/y-a/y2*x+a/y3*x2-a/y4*x3+a/y5*x4 taylor(f,8,y) %计算y的8阶麦克劳林级数ans =a/x-a/x2*y+a/x3*y2-a/x4*y3+a/x5*y4-a/x6*y5+a/x7*y6-a/x8*y7 taylor(f,6,x,2) %计算x的6阶泰勒级数ans =a/(2+y)-a/(2+y)2*(x-2)+a/(2+y)3*(x-2)2-a/(2+y)4*(x-2)3+a/(2+y)5*(x-2)4-a/(2+y)6*(x-2)52、泰勒级数运算器MATLAB7.0带有泰勒级数运算器，其调用格式

24、有两种：（1）在命令窗口输入:taylortool打开的泰勒级数运算器显示默认函数在的麦克劳林级数的图形，并在级数显示框显示该级数的前7项（见图41）。图51 泰勒级数运算器默认状态（2）在命令窗口输入：taylortool(f)这时打开的泰勒级数运算器显示指定函数f在相应区间上的级数的图形，并在级数显示框显示该级数的前7项，如输入taylortool(x*sin(x)2)后显示的图形界面见图42。图52 泰勒级数运算器自定义函数显示状态不管在何种状态，用户只要在泰勒级数运算器的函数输入框输入函数表达式，在各参数输入框输入相应的参数，泰勒级数运算器即刻在级数显示框显示该函数用户要求的级数展开项，在图形显示框显示该函数的图形。3、多项式的简单运算及曲线似合MATLAB中一个多项式是通过行向量表示的。多项式的行向量可以通过命令ploy创建，若A是矩阵，则ploy(A)创建矩阵A的特征多项式；若A是向量，则ploy(A)创建多项式的展开式的系数向量。有关多项式基本运算的命令与函数如下表（表42）表52 多项式运算命令与函数命令与函数功能与意义Polyval(p,x)计算以向量p为系数的多项式在变量为x时的值。Poly2sym(p)将多项式的向量形式p表示为符号多项式形式。Poly(A)计算矩阵A的特征多项式向量