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文档简介

1、第1讲 与三角形有关的角知识定位讲解用时:5分钟A、适用范围:人教版初二,基础一般;B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习三角形的知识,包括与三角形有关的线段和角,本次课重点讲述与三角形有关的角,这是几何题目中出现概率较为频繁的,要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。知识梳理讲解用时:20分钟与三角形有关的线段 1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 三边都不相等的三角形三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形2、 三边关系: 三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边3、 高:从三角形的一个顶点向它的对边

2、所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高4、中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、 三角形的稳定性: 三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性与三角形有关的角1、 三角形内角和定理:三角形的内角和是180 2、 三角形的外角性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、 三角形的几种特殊模型:两内角角平分线夹角 两外角角平分线 一内角、一外角角平分线夹角 P=90+A

3、 P=90-A P=A 4、 直角三角形的性质:(1) 两锐角互余(2) 等面积法计算S=ab=ch(3) 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明方法如左图 课堂精讲精练 【例题1】下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1、2、3 B.3、3、7 C.20、15、8 D.5、15、8【答案】C【解析】根据三角形的三边关系进行判断,若任意两边之和大于第三边则成立讲解用时:2分钟解题思路:利用三角形的三边关系做题教学建议:熟记三角形中任意两边之和大于第三边难度: 2 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:2018【练习1.1】 若a、b、c分别为三角形的三边,化简:|a-b-c|+|b-c-

4、a|+|c-a+b| 【答案】-a+b+3c【解析】根据三角形的三边关系可以得出:b+ca,a+cb,b+ca,再去绝对值符号,化简合并同类项讲解用时:2分钟解题思路:利用三角形的三边关系做题.教学建议:熟记三角形中任意两边之和大于第三边.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018【练习1.2】 a、 b、c分别为ABC的三边,且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6(1) 求c的取值范围;(2) 若ABC的周长为18,求c的值.【答案】(1)2c6;(2)c=5【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2c,两边之差小于第三边a-b=2c-6c,求出c的取值范围.

5、讲解用时:3分钟解题思路:利用三角形的三边关系做题.教学建议:熟记三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018【例题2】一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则的度数是()A165B120C150D135【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理可求出1的度数,由三角形外角性质可得出2的度数,再根据2与互补,即可得出结论解:给图中标上1、2,如图所示1+45+90=180,1=45,1=2+30,2=15又2+=180,=165故选:A讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质,熟练掌握三

6、角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键教学建议:熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:2018【练习2.1】在ABC中,A=B+C,B=2C6,则C的度数为()A90B58C54D32 【答案】D 【解析】根据三角形的内角和等于180求出A=90,从而得到B、C互余,然后用C表示出B,再列方程求解即可解:A=B+C,A+B+C=180,A=90,B+C=90,B=90C,B=2C6,90C=2C6,C=32故选:D讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了三角形内角和定理,熟记定理并求出A的度数是解题的关键教学建议:熟练使用三角形内角和定理

7、.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018【例题3】如图所示,A=50,B=20,D=30,则BCD的度数为()A80B100C120D140 【答案】B【解析】延长BC交AD于点E,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出CED的度数,再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出BCD的度数解:如图所示,延长BC交AD于点E,A=50,B=20,CED=A+B=50+20=70,BCD=CED+D=70+30=100故选:B讲解用时:3分钟解题思路:本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,作出辅助线是解题的关键教学建

8、议:熟练使用三角形的外角性质难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:2018【练习3.1】如图所示,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63,求DAC的度数 【答案】24 【解析】ABD中,由三角形的外角性质知3=22,因此4=22,从而可在BAC中,根据三角形内角和定理求出4的度数,进而可在DAC中,由三角形内角和定理求出DAC的度数解:设1=2=x,则3=4=2x因为BAC=63,所以2+4=117,即x+2x=117,所以x=39;所以3=4=78,DAC=18034=24讲解用时:3分钟解题思路:此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用

9、教学建议:熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018 【例题4】如图,在ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上DEBC,点B、C、F在一条直线上,若ACF=140,ADE=105,则A的大小为()A75B50C35D30【答案】C 【解析】根据平行线的性质得出DEC=140,进而利用三角形内角和解答即可解:DEBC,DEC=ACF=140,AED=180140=40,ADE=105,A=18010540=35,故选:C讲解用时:3分钟解题思路:此题考查三角形内角和,关键是根据平行线的性质得出DEC=140教学建议:熟练运用平行线的

10、性质和三角形的内角和定理.难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:2018【练习4.1】如图,在ABC中,CDAB,垂足为D,点E在BC上,EFAB,垂足为F1=2,3=105,求ACB的度数【答案】105【解析】证明CDEF,得到2=BCD,证明DGBC,根据平行线的性质证明即可解:CDAB,EFAB,CDEF,2=BCD,又1=2,1=BCD,DGBC,ACB=3=105讲解用时:3分钟解题思路:本题考查的是平行线的判定和性质,掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键教学建议:熟练掌握平行线的判定和性质.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018 【例题5】

11、 如图,ABC中,A=50,D是BC延长线上一点,ABC和ACD的平分线交于点E,则E的度数为()A40B20C25D30【答案】C 【解析】根据三角形的角平分线的定义得到EBC=ABC,ECD=ACD,根据三角形的外角的性质计算即可解:由三角形的外角的性质可知,E=ECDEBD,ABC的平分线与ACD的平分线交于点E,EBC=ABC,ECD=ACD,ACDABC=A=50,ACDABC=25,E=ECDEBD=25,故选:C讲解用时:3分钟解题思路:充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.教学建议:熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:201

12、8 【练习5.1】如图,在ABC中,点D在边BA的延长线上,ABC的平分线和DAC的平分线相交于点M,若BAC=80,C=60,则M的大小为()A20B25C30D35【答案】C【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出ABC=40,再根据角平分线的定义求出ABM,CAM,然后利用三角形的内角和定理求出M即可解:BAC=80,C=60,ABC=40,ABC的平分线和DAC的平分线相交于点M,ABM=20,CAM=,M=180205080=30,故选:C讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记定理和概念是解题的关键教学建议:熟记一内角、一外

13、角角平分线的模型.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018 【例题6】如图,在ABC中,B、C的平分线BE,CD相交于点F,A=60,求BFC的度数.【答案】120【解析】根据角平分线的定义可得出CBF=ABC、BCF=ACB,再根据内角和定理结合A=60即可求出BFC的度数解:ABC、ACB的平分线BE、CD相交于点F,CBF=ABC,BCF=ACB,A=60,ABC+ACB=180A=120,BFC=180(CBF+BCF)=180(ABC+ACB)=120讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了三角形内角和定理,根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关

14、键教学建议:熟记两内角角平分线的模型.难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:2018 【练习6.1】(1)如图,BD、CD是ABC和ACB的角平分线且交于点D,A=50,则D= (2)如图,BD、CD是ABC和ACB外角的平分线且相交于点D,请猜想A与D之间的数量关系: (3)如图,BD为ABC的角平分线,CD为ACB的外角的角平分线,它们相交于点D,请猜想A与D之间的数量关系,并说明理由【答案】 B(1)115;(2)90-A;(3)D=A【解析】(1)根据角平分线的定义得到DBC=ABC,DCB=ACB,根据三角形内角和定理和计算即可;(2)根据角平分线的定义得到DBC=EB

15、C,FCB=ACB,根据三角形内角和定理和计算即可;(3)根据角平分线的定义得到DBC=ABC,DCE=ACE,根据三角形的外角的性质解答解:(1)BD、CD是ABC和ACB的角平分线,DBC=ABC,DCB=ACB,D=180(DBC+DCB)=180(ABC+ACB)=180(180A)=90+A;A=50,D=115,故答案为:115;(2)BC、CD是ABC和ACB外角的平分线,DBC=EBC,FCB=ACB,D=180(DBC+DCB)=180(EBC+FCB)=180(180+A)=90A;故答案为:90A;(3)BD为ABC的角平分线,CD为ACB的外角的角平分线,DBC=ABC

16、,DCE=ACE,D=21=(ACEABC)=A讲解用时:5分钟解题思路:本题考查的是三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键教学建议:熟记三角形角平分线的3种模型.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018【例题7】 如图,在ACB中,ACB=90,CDAB于D(1)求证:ACD=B;(2)若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F,求证:CEF=CFE 【答案】(1)ACD=B;(2)CEF=CFE【解析】(1)由于ACD与B都是BCD的余角,根据同角的余角相等即可得证;(2)根据直角三角形两锐角互余得出CFA=90CAF,AED=9

17、0DAE,再根据角平分线的定义得出CAF=DAE,然后由对顶角相等的性质,等量代换即可证明CEF=CFE证明:(1)ACB=90,CDAB于D,ACD+BCD=90,B+BCD=90,ACD=B;(2)在RtAFC中,CFA=90CAF,同理在RtAED中,AED=90DAE又AF平分CAB,CAF=DAE,AED=CFE,又CEF=AED,CEF=CFE讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了直角三角形的性质,三角形角平分线的定义,对顶角的性质,余角的性质,难度适中教学建议:熟练掌握直角三角形的性质.难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无 年份:2018 【练习7.1】如图,已知D为ABC

18、边BC延长线上一点,DFAB于F交AC于E,A=30,D=40,求ACD的度数【答案】80【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答解:DFAB,B=40DFB=90,B=90D=9040=50,ACD是ABC的外角,A=30,ACD=B+A=50+30=80讲解用时:3分钟解题思路:此题考查三角形外角与内角的关系,关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形内角和定理:三角形的三个内角和为180教学建议:熟练掌握直角三角形的性质以及三角形内角和定理、外角性质.难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无 年份:2018课后作业【作业1】 如图,在ABC中,BF平

19、分ABC,CF平分ACB,BFC=115,则A的度数是()A50B57.5C60D65【答案】A【解析】先根据三角形内角和定理得出BCF+CBF的度数,再由角平分线的性质得出ABC+ACB的度数,根据三角形内角和定理即可得出结论解:BFC=115,BCF+CBF=180115=65BF平分ABC,CF平分ACB,ABC+ACB=2(BCF+CBF)=130,A+ABC+ACB=180,A=180130=50故选:A讲解用时:3分钟难度: 2 适应场景:练习题 例题来源:无 年份:2018【作业2】 在直角ABC中,C=90,沿图中虚线剪去C,则1+2=【答案】270【解析】首先根据三角形的内角

20、和定理求得A与B的度数的和,然后利用四边形的内角和定理即可求解解:A+B+C=180,A+B=180C=90,1+2+A+B=360,1+2=36090=270故答案是:270讲解用时:3分钟难度: 3 适应场景:练习题 例题来源:无 年份:2018【作业3】 一个三角形的最大角不会小于度 【答案】60【解析】因为三角形的内角和是180度,假设三角形的最大角小于60,那么此三角形的内角和小于180度,与三角形的内角和是180度矛盾,所以三角形的最大角不小于60度解:由分析可知:如果三角形的最大角小于60,那么此三角形的内角和小于180度,与三角形的内角和是180度矛盾所以三角形的最大角不小于6

21、0度;故答案为:60讲解用时:4分钟难度: 3 适应场景:练习题 例题来源:无 年份:2018【作业4】如图,是一个不规则的五角星,则A+B+C+D+E=(用度数表示) 【答案】180【解析】根据三角形外角性质,可得1=C+2,2=A+D,那么有1=C+A+D,再根据三角形内角和定理有1+B+E=180,从而易求A+B+C+D+E=180解:如右图所示,1=C+2,2=A+D,1=C+A+D,又1+B+E=180,A+B+C+D+E=180故答案是:180讲解用时:4分钟难度: 4 适应场景:练习题 例题来源:无 年份:2018【作业5】 如图,在ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,BOA=125,求DAC的度数【答案】20【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出CAB+CBA的度数,再求出C的度数,即可求出答案解:AE,BF是角平分线,OAB=BAC,OBA=ABC,CAB+CBA=2(OAB+OBA)=2(180AOB),AOB=125,CAB+CBA=110,C=70,ADC=90,CAD=20讲解用时:4分钟难度:3 适应场景:练习题 例题来源:无 年份:2018【作业6】已知:如图,点D、E分别在AB、AC上,DEBC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G求证:(1)EGHADE;(

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