笛卡尔坐标系

1、.笛卡儿坐标系（在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用表示；而其大小则用来表示。）在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。参阅图 1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。例如，一个圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。圆圈可以用公式表达为：。图1 历史笛卡尔坐标系

2、是由法国数学家勒内笛卡尔创建的。1637年，笛卡尔发表了巨作方法论。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在方法论的附录中，他增添了另外一本书几何。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于几何这本书内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。二维坐标系统参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为 x-轴 和 y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 O ，既有

3、“零”的意思，又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右对掉的性质有关。图2 为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设

4、，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是 刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出 离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标 和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为。任何一个点 P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点

5、P的 x-坐标。同样地，可以找到点 P 的 y-坐标。这样，我们可以得到点 P 的直角坐标。例如，参阅图 3 ，点 P 的直角坐标是。直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间(higher dimension) 。参阅图 3 ，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为，。依照惯例，象限的两个坐标都是正值；象限的 x-坐标是负值， y-坐标是正值；象限的两个坐标都是负值的；象限的 x-坐标是正值， y-坐标是负值。所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限编到象限。图3 三维坐标系统在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于 x-轴，y-轴的坐标轴，称为z-轴。假若

6、，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。这 z-轴与 x-轴，y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点 P ，可以用直角坐标来表达其位置。例如，参阅图 5 ，两个点 P 与 Q 的直角坐标分别为与。三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限(octant) 。与二维空间的四个象限不同，只有一个卦限有编号。第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。图 4 - 直角坐标系的几个坐标曲面。红色平面的。黄色平面的。蓝色平面的。z-轴是竖直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为。图 5 - 三

7、维直角坐标系。y-轴的方向是远离读者。图 6 - 三维直角坐标系。x-轴的方向是亲近读者。取向二维空间直角坐标系的 x-轴与 y-轴必须相互垂直。称包含 y-轴的直线为 y-线。在二维空间里，当我们设定了 x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了 y-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在 y-线的以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？任何一种选择决定了 xy-平面的取向。参阅图 1 。通常，我们选择的取向是，正值的 x-轴横地指向右方，正值的 y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向，标准取向，或右手取向。右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将

8、一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从 x-轴指向 y-轴。另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向，或左手取向：将一只半握拳的左手放在 xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从 y-轴指向 x-轴。不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。三维空间直角坐标系的 x-轴，y-轴，与 z-轴必须相互垂直。称包含 z-轴的直线为 z-线。在三维空间里，当我们设定了 x-轴，y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了 z-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在 z-线以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系，或正值坐标系。图 7右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直。然后，将中指指向往手掌的掌面 半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的 x-轴，y-轴，与 z-轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。图 8 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。因为我们用二维画面