北京中考数学反比例函数综合题

1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，已知A（4， 12 ），B（1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 y=mx （m0，m0）图象的两个交点，ACx轴于C，BDy轴于D （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若PCA和PDB面积相等，求点P坐标 【答案】（1）解：当4x1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（4， ），B（1，2）代入y=kx+b得 ， 解得 ，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（1，2）代入y= 得m=12=2；（3）解

2、：如下图所示： 设P点坐标为（t， t+ ），PCA和PDB面积相等， （t+4）= 1（2 t ），即得t= ，P点坐标为（ ， ） 【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当4x1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= mx 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， 12 t+ 52 ），利用三角形面积公式可得到 12 12 （t+4）= 12 1（2 12 t 52 ），解方程得到t= 52 ，从而可确定P点坐标2已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）

3、为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数 y=kx （k0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式； （3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式 【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半

4、轴上时：正方形ABCD的边长为 2 （II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= 2 ，解得a= 23 ，此时正方形的边长为 23 所求“伴侣正方形”的边长为 2 或 23（2）解：如图，作DEx轴，CFy轴，垂足分别为点E、F，易证ADEBAOCBF点D的坐标为（2，m），m2，DE=OA=BF=m，OB=AE=CF=2mOF=BF+OB=2，点C的坐标为（2m，2）2m=2（2m），解得m=1反比例函数的解析式为y= 2x（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不

5、符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y= 37 x2+ 557 ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（1，3），对应的函数的解析式是y= 18 x2+ 238 ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，3）时，对应的函数解析式是y=

6、740 x2+ 22340 ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（4，7）时，对应的抛物线为y= 37 x2+ 17 ；故二次函数的解析式分别为：y= 18 x2+ 238 或y= 740 x2+ 22340 或y= 37 x2+ 557 或y= 37 x2+ 17 【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值 ，即可得到反比例函数的解析式（3）由抛物线开口既可能向上，也可能

7、向下当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论3如图，RtABO的顶点A是双曲线y= kx 与直线y=x（k+1）在第二象限的交点ABx轴于B，且SABO= 32 （1）求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和AOC的面积 【答案】（1）解：设A点坐标为（x，y），且x0，y0， 则SABO= 12 |BO|BA|= 12 （x）y= 32 ，

8、xy=3，又y= kx ，即xy=k，k=3所求的两个函数的解析式分别为y= 3x ，y=x+2；（2）解：由y=x+2，令x=0，得y=2直线y=x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足 y=-x+2y=-3xx1=-1y1=3，x2=3y2=-1交点A为（1，3），C为（3，1），SAOC=SODA+SODC= 12 OD（|x1|+|x2|）= 12 2（3+1）=4 【解析】【分析】两解析式的k一样，根据面积计算双曲线中的k较易，由公式k=2SABO,可求出k；（2）求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割AOC为SODA+SODC，即可求出.4如图，一次函数y=k

9、x+b的图象交反比例函数y= ax （x0）的图象于A（4，-8）、B（m，-2）两点，交x轴于点C （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标 【答案】 （1）解：反比例函数y= ax （x0）的图象于A（4，-8）， k=4（-8）=-32双曲线y= ax 过点B（m，-2），m=16由直线y=kx+b过点A，B得： 16k+b=-24k+b=-8 ，解得， k=12b=-10 ，反比例函数关系式为 y=-32x ，一次函数关系式为 y=12x-10 （2）解：观

10、察图象可知，当0x4或x16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2）， 分三种情况：若OBAP，OABP，O（0，0），A（4，-8），由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；若OPAB，OABP，A（4，-8），B（16，-2），由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；若OBAP，OPAB，B（16，-2），A（4，-8），由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；以O，A，B，P为顶点

11、作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= ax （x0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出5如图，直线 y=kx与双曲线 y = 6x 交于A、B两点，点C为第三象限内一点（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k= 32 ，且CA=CB，ACB=90时，求C点的坐标； （3）当ABC

12、为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式 【答案】（1）解：把（a，3）代入 y = 6x ，得 3=-6a ，解得a=2；（2）解：连接CO，作ADy轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则ADO=CEO=90，DAO+AOD=90，直线 y=kx与双曲线 y = 6x 交于A、B两点，OA=OB，当CA=CB，ACB=90时，CO=AO，BOC=90，即COE+BOE=90，AOD=BOE，DAO=EOC，ADOOEC，又k= 32 ，由y= 32 x和y= 6x 解得 x1=-2y1=3 ， x2=2y2=-3 ，所以A点坐标为（2，3），由ADOOEC得，CE=OD=3

13、，EO=DA=2，所以C（-3，-2）； （3）解：连接CO，作ADy轴于D点，作CEy轴于E点，则ADO=CEO=90，DAO+AOD=90，直线 y=kx与双曲线 y = 6x 交于A、B两点，OA=OB，ABC为等边三角形，CA=CB，ACB=60，BOC=90，即COE+BOE=90，AOD=BOE，DAO=EOC，ADOOEC， ADOE=ODCE=AOOC ，ACO= 12 ACB=30，AOC=90， AOOC=tan30=33 ，C的坐标为（m，n），CE=-m，OE=-n，AD= 33 n，OD= 33 m，A（ 33 n， 33 m），代入y= 6x 中，得mn=18.【解

14、析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；（2）连接CO，作ADy轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出ADO=CEO=90，故DAO+AOD=90，根据双曲线的对称性得出OA=OB，当CA=CB，ACB=90时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO，BOC=90，即COE+BOE=90，根据等角的余角相等得出DAO=EOC，从而利用AAS判断出ADOOEC，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A点的坐标，由ADOOEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；（3）连接CO，作ADy轴于D点，作

15、CEy轴于E点，根据垂直的定义得出ADO=CEO=90，故DAO+AOD=90，根据双曲线的对称性得出OA=OB，ABC为等边三角形，故CA=CB，ACB=60，BOC=90，即COE+BOE=90，根据等角的余角相等得出DAO=EOC，从而判断出ADOOEC，根据相似三角形的旋转得出ADOE=ODCE=AOOC,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出AOOC=tan30=33,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD=33 n，OD=33 m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.6如图，一次函数y=kx+b（k0）与反比例函数y= mx （m

16、0）的图象有公共点A（1，a）、D（2，1）直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）求ABC的面积 【答案】（1）解：反比例函数经过点D（2，1），把点D代入y= mx （m0），1= m-2 ，m=2，反比例函数的解析式为：y= 2x ，点A（1，a）在反比例函数上，把A代入y= 2x ，得到a= 21 =2，A（1，2），一次函数经过A（1，2）、D（2，1），把A、D代入y=kx+b （k0），得到： 2=k+b-1=-2k+b ，解得

17、： k=1b=1 ，一次函数的解析式为：y=x+1（2）解：如图：当2x0或x1时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：过点A作AEx轴交x轴于点E，直线lx轴，N（3，0），设B（3，p），C（3，q），点B在一次函数上，p=3+1=4，点C在反比例函数上，q= 23 ，SABC= 12 BCEN= 12 （4 23 ）（31）= 103 【解析】【分析】由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AEx轴交x轴于点E，由直线l与x

18、轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案7如图，已知直线 y=-x+23 与x、y轴交于M、N，若将N向右平移 3 个单位后的N ， ， 恰好落在反比例函数 y=kx 的图像上（1）求k的值； （2）点P为双曲线上的一个动点，过点P作直线PAx轴于A点，交NM延长线于F点，过P点作PBy轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为m用含有m的代数式表示点E、F的坐标找出图中与EOM 相似的三角形，并说明理由 【答案】（1）解：当 x=0 时， y=-x+23=23 ， N(0,23) ， N(3,23) .把 (3,23) 代入 y=kx 得，k=6.（2）解：由（1）知 y=6

19、x . P(m,6m) .当 x=m 时， y=-x+23=-m+23 , F(m,23-m) .当 y=6m 时， -x+23=6m ， x=23-6m ，E(2 3 6m ， 6m ).ON=23 , EM=62m ， OM=23 , NF=2m ，OMNF=232m=6m ， EMON=62m23=6m ，OMNF=EMON ,由一次函数解析式得OME=ONF=45EOMOFN 【解析】【分析】（1）当 x=0时，求出y=23 ， 得出N(0,23) ，由平移的性质得出N(3,23) .把 (3,23) 代入 y=kx得k=6.（2）由（1）可设P(m,6m) .当 x=m时，求出y=m

20、+23 ,即F(m,23-m) ；当 y=6m时，求出x=236m ，即E(2 3 -6m ，6m).ON=23 , EM=62m ， OM=23 , NF=2m ，从而得出OMNF=EMON.由一次函数解析式得OME=ONF=45；推出EOMOFN.8在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q且规定：当ab时，Q为（b，a）；当ab时，Q为（a，b）（1）点（2，1）的变换点坐标为_；（2）若点A（a，2）的变换点在函数y= 1x 的图象上，求a的值；（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M 判断抛物线y=x2+c与

21、图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论【答案】 （1）（1，2）（2）解：当a2时，则A（a，2）的变换点坐标为（2，a），代入y= 1x 可得a= 1-2 ，解得a= 12 ；当a2时，则A（a，2）的变换点坐标为（a，2），代入y= 1x 可得2= 1a ，解得a= 12 ，不符合题意；综上可知a的值为 12 ；（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b得： 6a+b=0b=3 ，解得 a=-12b=3 ，直线l的解析式为y= 12 x+3当x=y时，x= 12 x+3，解得x=2点C的坐标为（2，2），点C的变换点的

22、坐标为C（ 2，2 ），点（6，0）的变换点的坐标为（0，6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，3），当x2时，所有变换点组成的图形是以C（ 2，2）为端点，过（0，6 ）的一条射线；即：y=2x6，其中x2，当x2时，所有变换点组成的图形是以C（2，2）为端点，过（0，3）的一条射线，即y= 12 x3，其中，x2所以新的图形M是以C（2，2）为端点的两条射线组成的图形如图所示：由 y=12x-3y=x2+c 和 y=2c-6y=x2+c 得：x2 12 x+c+3=0和x22x+c+6=0讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C的位置关系可得：当方程无实数根时，即：当c 4716 时，抛

23、物线y=x2+c与图形M没有交点；当方程有两个相等实数根时，即：当c= 4716 时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；当方程无实数根，且方程有两个不相等的实数根时，即：当5c 4716 时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；当方程有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C时，即：当c=5或c=6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；当方程方程均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当6c5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；当c6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点【解析】【解答】解：（1）21，点（2，1）的变换点坐标为（1，2），故答案为：（1，2）；【分

24、析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x2和x2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可9如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= mx 的图象在第二象限交于C，CEx轴，垂足为点E，tanABO= 12 ，OB=4，OE=2（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DFy轴，垂足为点F，连接OD

25、、BF如果SBAF=4SDFO ， 求点D的坐标（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标【答案】（1）解：tanABO= 12 ， OAOB = 12 ，且OB=4，OA=2，CEx轴，即CEAO，AOBCEB， AOCE = BOBE ，即 2CE = 44+2 ，解得CE=3，C（2，3），m=23=6，反比例函数解析式为y= 6x（2）解：设D（x， 6x ），D在第四象限，DF=x，OF= 6x ，SDFO= 12 DFOF= 12 x 6x =3，由（1）可知OA=2，AF=x+ 6x ，SBAF= 12 AFOB= 12 （x

26、+ 6x ）4=2（x+ 6x ），SBAF=4SDFO ， 2（x+ 6x ）=43，解得x=3+ 3 或x=3 3 ，当x=3+ 3 时， 6x 的值为3 3 ，当x=3 3 时， 6x 的值为3+ 3 ，D在第四象限，x=3 3 不合题意，舍去，D（3+ 3 ，3 3 ）（3）解：D在第四象限，在BCD中，由三角形三边关系可知CDCBBC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得 b=24k+b=0 ，解得 k=-12b=2 ，直线AB解析式为y= 12 x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得 y=-12x+2y=-6x ，解得 x=6y=-1

27、或 x=-2y=3 （舍去），D（6，1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，1）【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由AOBCEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出BAF和DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在BCD中，由三角形三边关系可知CDCBBC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标10如图，在菱形ABCD中， C=60 ， AB=4 ,点E是边BC的中点，连接DE,AE. （1）求DE的长； （2）点F为边

28、CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 DAG=FEG , 求证： AGE DGF ；求DF的长. 【答案】 （1）解：连结BD 四边形ABCD是菱形 CB=CD=AB=4， C=60 CDB是等边三角形 DB=DC=BC=4 点E是边BC的中点 BE=EC=12BC=2 DEBC DE=CD2-CE2=23 （2）解： DAG=FEG，AGD=EGF AGDEGF AGEG=DGFG 又AGE=DGF AGEDGF AGEDGF,DEBC EAG=GDF=90-C=30 AGD=EGF,AGE=DGF GFE=ADG=90 又DE=23 EF=12AE=12AD2+DE2=7 过

29、点E作EHDC于点H 在RtECH中，FH=EF2-EH2=2 CF=FH+CH=2+1=3 DF=CD-CF=1 【解析】【分析】（1） 连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DEBC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长； （2）首先判断出AGDEGF，根据相似三角形对应边成比例得出AGEG=DGFG ， 又AGE=DGF，故AGEDGF； 根据相似三角形的性质及含30直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EHDC于点H，在RtECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.11 （

30、1）如图1所示， 在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=BC ，点 D 在斜边 AB 上，点 E 在直角边 BC 上，若 CDE=45 ，求证： ACDBDE .（2）如图2所示， 在矩形 ABCD 中， AB=4cm ， BC=10cm ，点 E 在 BC 上，连接 AE ，过点 E 作 EFAE 交 CD (或 CD 的延长线)于点 F .若 BE:EC=1:9 ，求 CF 的长；若点 F 恰好与点 D 重合，请在备用图上画出图形，并求 BE 的长.【答案】 （1）证明：在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=BC ， A=B=45 ， ACD+ADC=135 ， CDE=4

31、5 ， ADC+BDE=135 ， BDE=ACD ， ACDBDE . （2）解：四边形 ABCD 是矩形， B=C=90 ， BAE+AEB=90 ， AEF=90 ， CEF+BEA=90 ， BAE=CEF ， BAECEF ， ABCE=BECF ， BE:EC=1:9 ， BE=110BC=1cm ， CE=9cm ， 49=1CF ， CF=94cm ；如图所示，设 BE=xcm ，由得 BAECEF ， ABCE=BECF ，即 410-x=x4 ，整理，得： x2-10x+16=0 ，解得： x1=2 ， x2=8 ，所以 BE 的长为 2cm 或 8cm .【解析】【分析】

32、（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明 BDE=ACD 即可证得结论；（2）仿（1）题证明 BAECEF ，再利用相似三角形的性质即可求得结果； 由得 BAECEF ，设 BE=xcm ，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.12如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0， 92 ），点A在x轴正半轴上，且满足BAO30. （1）过点C作CEAB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O处，连接OC，求线段OF的长以及线段OC的最小值； （2）如图2，点D的坐标为D（1，0），将BDC绕点B顺

33、时针旋转，使得BCAB于点B，将旋转后的BDC沿直线AB平移，平移中的BDC记为BDC，设直线BC与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B、D、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标. 【答案】 （1）解：如图1中， AOB=90，OAB=30，CBE=60，CEAB，CEB=90，BCE=30，C（0，- 92 ），OC= 92 ，OF=OCtan30= 332 ，CF=2OF=3 3 ，由翻折可知：FO=FO= 332 ，COCF-OF，CO 332 ，线段OC的最小值为 332 （2）解：如图2中，当BD=BM=BD= 12+32=10 时，可得菱形MNDB. 在RtAMB中，AM

34、=2BM=2 10 ，OM=AM-OA=2 10 -3 3 ，M（3 3 -2 10 ，0）.如图3中，当BM是菱形的对角线时，由题意BM=2OB=6，此时AM=12，OM=12-3 3 ，可得M（3 3 -12，0）.如图4中，当BD是菱形的对角线时，由DBM=DBO可得 cosDBM=12DBBM=BOBD=310 ，所以BM= 12DB103=53 则在RTAM B中，AM=2BM= 103 ，所以OM=OA-AM=3 3 - 103 ，所以M（3 3 - 103 ，0）.如图5中，当MD是菱形的对角线时，MB=BD= 10 ，可得AM=2 10 ，OM=OA+AM=3 3 +2 10

35、，所以M（3 3 +2 10 ，0）.综上所述，满足条件的点M的坐标为（3 3 +2 10 ，0）或（3 3 -12，0）或（3 3 - 103 ，0）或（3 3 +2 10 ，0）【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出CBE的度数，由垂直的定义可求出BCE的度数，由点C的坐标求出OC的长，再在RtOCF中，利用解直角三角形求出OF的长；然后利用折叠的性质，可得到FO的长，然后根据COCF-OF，可求出线段OC的最小值。 （2）分四种情况讨论： 如图2中，利用勾股定理求出BM的长，可得到BD=BM=BD时 ，可得菱形MNDB.，再求OM的长，就可得点M的坐标；如图3中，当BM是菱

36、形的对角线时，由题意可知BM=2OB=6，再求出AM，OM的长，可得点M的坐标；如图4中，当BD是菱形的对角线时，由DBM=DBO；利用解直角三角形求出BM、AM、OM的长，从而可求出点M的坐标； 如图5中，当MD是菱形的对角线时，可得到MB=BD，再求出AM ，OM的长，然后可得到点M的坐标，综上所述，可得到符合题意的点M的坐标。13如图，已知直线y2x+6与抛物线yax2+bx+c相交于A ， B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P ， 使POBPOC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由

37、 【答案】 （1）解：由y2x+60，得x3 B（3，0）A（1，4）为顶点，设抛物线的解析为ya（x1）2+4，解得a1y（x1）2+4x2+2x+3；（2）解：存在 当x0时，yx2+2x+33，C（0，3）OBOC3，OPOP ， 当POBPOC时，POBPOC 作PMx轴于M ， 作PNy轴于N ， 则POMPON45PMPN 设P（m ， m），则mm2+2m+3，解得m 1132 点P在第三象限，P（ 1-132 ， 1-132 ）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先确定出点C坐标，然后根据POBPOC建立方程，求解即可14如图，抛物线y= x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0） （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点M(m ， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 【答案】 （1）解：点A（-1，0）在抛物线y= x2 +bx-2上 (-1 )2 +b (-1) 2 = 0解得b = 抛物线的解析式为y= x2- x-2.y= x2- x-2 = (x2 -3x- 4 ) = (x- )2- ,顶点D的坐标为 ( , -